, параллельный данной прямой (он называется направляющим вектором прямой). Тогда все точки этой прямой удовлетворяют соотношениям:
Каждому значению числа t (оно называется параметром, а поэтому и запись называется параметрическим заданием прямой) соответствует некоторая точка этой прямой. Если вектор имеет единичную длину, то модуль числа t равняется расстоянию соответствующей точки до начальной точки M0.
В соответствии с геометрическим смыслом чисел α, β и γ и здесь можно аналогично написать алгебраические условия перпендикулярности и условия параллельности прямых через координаты их направляющих векторов.
Трудно переоценить значение декартовой системы координат в развитии математики и ее приложений.
Кривые и поверхности, определяемые ранее геометрически, получили описание в виде формул. Более того, рассматривая различные уравнения и изображая соответствующие линии и поверхности, математики получили новые геометрические образы, оказавшиеся очень полезными в приложениях, например гиперболические функции.
Существуют на плоскости и другие системы координат, например полярная система координат. Чтобы ее ввести, выбирают начальную точку O, называемую полюсом, поэтому система и называется полярной. Из этой точки проводят луч, называющийся полярной осью. Чтобы определить координаты точки на плоскости, ее соединяют отрезком с полюсом и вычисляют длину этого отрезка и угол между ним и полярной осью (рис. 4).
Рис. 4
Таким образом, каждой точке M плоскости сопоставляется пара чисел (ρ, φ). Но если в декартовой системе координат эта пара определялась однозначно, то в полярной системе число φ определено уже неоднозначно: парам чисел (ρ, φ+2nπ) соответствует одна и та же точка при любом целом числе n. Направление полярной оси можно выбирать произвольно. Так, географы предпочитают направление полярной оси на север и соответствующий полярный угол называют азимутом, а артиллеристы отсчитывают азимут от направления на юг.
Существуют также координаты, задаваемые одним числом. Это координаты на прямой. Достаточно задать одно число – расстояние от точки до начала отсчета, чтобы указать на прямой положение этой точки.
А сколько координат зададут положение точки в пространстве? Естественно, три. Эти три числа можно получить, например, так. Соединим мысленно лучом центр Земли и нашу точку и рассмотрим широту и долготу пересечения луча с поверхностью Земли и расстояние от точки до центра Земли. Такая система координат называется сферической. Можно поступить по-другому. Выберем некоторую плоскость и введем на ней полярную систему координат, а нашей точке сопоставим полярные координаты ее проекции на эту плоскость и расстояние от нее до плоскости, взятое со знаком «плюс» для одной половины пространства и со знаком «минус» - для другой; так мы получим цилиндрическую систему координат.
Сферической системой координат обычно пользуются на аэродромах. Рядом с аэродромом ставят радиолокатор. Этот прибор определяет расстояние до самолета, угол, под которым самолет виден над горизонтом, и угол между направлением на самолет и направлением на север, т. е. определяет его сферические координаты.
РЕНЕ ДЕКАРТ
(1596-1650)
Декарт далеко не сразу нашел свое место в жизни. Дворянин по происхождению, окончив коллеж в Лa-Флеше, он с головой окунается в светскую жизнь Парижа, затем бросает все ради занятий наукой.
Декарт неторопливо продумывает контуры своего будущего учения – аналитического метода познания мира. Он накапливает жизненный опыт, несколько лет проводит в путешествиях. Декарт стремился и в философии и в любой другой науке найти математические законы, свести каждый вопрос или каждую задачу к математической. Он хотел создать такой универсальный математический метод, который позволил бы всякому овладевшему им решить любую задачу. В 1637 г. в Лейдене выходит 4 тома его «Философских опытов». Последний том назывался «Геометрия».
Декарт отводил математике особое место в своей системе, он считал ее принципы установления истины образцом для других наук.
Главное достижение Декарта – построение аналитической геометрии (термин предложил И. Ньютон, см. Геометрия), в которой геометрические задачи переводились на язык алгебры при помощи метода координат. Нужно отметить, что у Декарта в точном виде еще не было того, что сегодня называется декартовой системой координат. Декарт начал с того, что перевел на алгебраический язык задачи на построение циркулем и линейкой (см. Геометрические построения), затем обнаружил, что любимые древними конические сечения – это то же самое, что кривые второго порядка, т.е. с алгебраической точки зрения следующий по сложности за прямыми (кривыми первого порядка) класс кривых. При переходе на алгебраический язык многие трудные геометрические задачи становятся почти тривиальными.
Немалой заслугой Декарта было введение удобных обозначений, сохранившихся до наших дней: латинских букв x,y,z – для неизвестных; a,b,c – для коэффициентов, x2, y5, a7 – для степеней.
Он сформулировал основную теорему алгебры: «число корней алгебраического уравнения равно его степени», доказательство которой было получено лишь в конце XVIII в. К. Ф. Гауссом.
Интересы Декарта не ограничиваются математикой, а включают механику, оптику, биологию.
В 1649 г. Декарт после долгих колебаний переезжает в Швецию. Это решение оказалось для его здоровья роковым. Через полгода Декарт умер от пневмонии.
------------------------------------------
КОСИНУСОВ ТЕОРЕМА
Косинусов теорема – теорема тригонометрии, выражающая зависимость между сторонами и углами треугольника. Она утверждает, что во всяком треугольнике квадрат длины стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон без удвоенного произведения длин этих сторон на косинус угла между ними, т.е. в треугольнике ABC (см. рис.) имеет место соотношение
c2=a2+b2-2abcosC,
где a,b,c – длины сторон треугольника, а C – величина угла, противолежащего стороне c. Если угол C прямой, то теорема косинусов переходит в Пифагора теорему, так как косинус прямого угла равен нулю. Теорема косинусов чаще всего применяется в двух случаях: 1) если нужно узнать длину одной из сторон при известных длинах двух других сторон и величине угла между ними; 2) если нужно узнать величины углов треугольника, длины сторон которого известны.
Теорему знали еще древние греки, ее доказательство содержится во II книге «Начал» Евклида (см. Евклид и его «Начала»).
КУБ
Куб, или гексаэдр (шестигранник), - прямоугольный параллелепипед с равными измерениями, один из видов правильных многогранников. Ею легко склеить из развертки (рис. 1). Куб – единственный из правильных многогранников, которым можно замостить пространство, прикладывая один кубик к другому. Именно поэтому объем куба с единичным ребром принят за единицу объема. Удивительным образом куб связан с четырьмя другими видами правильных многогранников. Так, центры граней куба являются вершинами октаэдра и, наоборот, центры граней октаэдра суть вершины куба (рис. 2).
Рис. 1
Рис. 2
В куб можно вписать правильный тетраэдр – его вершинами являются концы скрещивающихся диагоналей двух параллельных граней куба (рис. 3). Остальные четыре вершины куба служат вершинами второго вписанного тетраэдра.
Рис. 3
Куб можно вписать в додекаэдр так, что ребра куба будут диагоналями граней додекаэдра (рис. 4). Ребром вписанного в додекаэдр куба может быть любая из пяти диагоналей какой-нибудь грани додекаэдра, так что в додекаэдр указанным образом можно вписать 5 одинаковых кубов. Наконец, на каждой из шести граней куба можно выбрать по паре точек так, что 12 выбранных точек будут вершинами икосаэдра, рис. 5 (выделенные отрезки лежат на гранях куба).
Рис. 4
Рис. 5
Среди прочих примечательных свойств куба отметим, что в точности четыре его сечения являются правильными шестиугольниками – эти сечения проходят через центр куба перпендикулярно четырем его диагоналям (рис. 6).
Рис. 6
Куб – пространственный аналог квадрата на плоскости. Особую четкость эта аналогия приобретает, если привлечь координаты. Квадрат на плоскости Oxy можно задать неравенствами
0≤x≤1, 0≤y≤1,
и его вершины будут иметь координаты (0;0), (0;1), (1;0) и (1;1). В координатном пространстве Oxyz куб задается неравенствами
0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1;
его 8 вершин имеют координаты (0;0;0), (0;0;1), (0;1;0), (0;1;1), (1;0;0), (1;0;1), (1;1;0) и (1;1;1). Квадрат имеет 4 стороны, лежащие на прямых x=0, y=0, x=1 и y=1. Куб имеет 6 (плоских, или двумерных) граней, лежащих в плоскостях, задаваемых уравнениями x=0, y=0, z=0, x=1, y=1 и z=1. Эту аналогию можно продолжить в две стороны.
Одномерный аналог куба и квадрата – это, конечно, отрезок 0≤x≤1 оси Ox. Четырехмерный же куб в четырехмерном пространстве, точки которого понимают как всевозможные (упорядоченные) четверки чисел (x;y;z;t), задается системой неравенств
0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1, 0≤t≤1.
Четырехмерный куб, или гиперкуб, имеет уже 16 вершин (точек с координатами (x;y;z;t), где x,y,z и t могут равняться 0 или 1) и 8 трехмерных граней, каждая из которых представляет собой обычный (трехмерный) куб, все 8 вершин которого удовлетворяют одному из уравнений: x=0, y=0, z=0, t=0, x=1, y=1, z=1 и t=1. Двумерных граней у гиперкуба 24 – это квадраты, у вершин которых зафиксированы (равны 0 или 1) уже две координаты (из четырех). Наконец, ребер, одномерных граней, у гиперкуба 32.
Аналогично тому, как обычный куб имеет плоскую – двумерную – развертку (рис. 1), гиперкуб может быть «развернут» в трехмерном пространстве. Эта развертка будет состоять из 8 трехмерных граней – обычных кубов – и может быть изображена так, как показано на рис. 7. В четырехмерном пространстве каждый из кубов развертки граничит с шестью другими. На рис. 8 дан плоский чертеж трехмерного «изображения» гиперкуба (само это изображение легко соорудить из спичек и пластилина). Пространственную проекцию гиперкуба можно представить и изготовить по плоскому чертежу