Логарифмом числа N по основанию a (обозначается logaN) называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число N, т.е. b = logaN, если ab = N.
Логарифм определен для любого положительного числа N при любом отличном от единицы положительном основании a. Каждому положительному числу при данном основании соответствует единственный логарифм.
По определению логарифма справедливо равенство
,
из которого на основе свойств показательной функции устанавливаются основные свойства логарифмов (здесь M,N и k – положительные числа):
(1)
Эти свойства позволяют сводить умножение и деление чисел (представленных в виде степеней некоторого числа, принятого за основание) к сложению и вычитанию показателей степеней, а возведение в степень и извлечение корня – к умножению и делению на показатель степени, поэтому применение логарифмов упрощает выполнение умножения и деления. На этом основан очень популярный прежде счетный прибор логарифмическая линейка, которая сейчас всюду вытесняется микрокалькуляторами.
При нашей десятичной системе счисления самым удобным основанием является число 10. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg:
lg N = log10 N.
При основании, равном 10, только логарифмы целых степеней числа 10 представляются целыми числами (lg 103 = 3, lg 0,01 = lg 10-2 = -2), логарифмы же остальных чисел нецелые. Целая часть значения логарифма называется характеристикой, дробная мантиссой.
Любое положительное число N всегда можно представить в виде N = 10n·x, где n - целое число, а x заключено в пределах от 1 до 10. Из этого представления числа N следует, что lg N = n + lg x, где n - характеристика, a lg x – мантисса логарифма числа N.
Для числа, большего единицы, характеристика на единицу меньше числа цифр у целой части этого числа. Для числа, заключенного между нулем и единицей и записанного десятичной дробью, характеристика отрицательна и равна взятому со знаком минус числу нулей до первой значащей цифры, например для числа 0,0216 его характеристика равна -2.
Десятичные логарифмы используются в практике главным образом в силу исторической традиции. Гораздо более важными в математике и ее приложениях являются натуральные логарифмы, т.е. логарифмы с основанием e. Это число, к которому неограниченно приближаются числа вида (1+1/n)n при неограниченном возрастании числа n. Буквой e это число предложил назвать Л. Эйлер. Важность логарифмической функции с основанием объясняется тем, что в математике используется показательная функция, как правило, с основанием e, а поэтому важна и обратная к ней функция.
Логарифмы были введены шотландским математиком Дж. Непером (1550-1617) и независимо от него швейцарским механиком и математиком И. Бюрги (1552-1632). Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620 г.), и первой в 1614 г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов».
Первые таблицы десятичных логарифмов были составлены изобретательным и остроумным вычислителем, английским математиком Г. Брипсом (1561-1630).
На русском языке первые логарифмические таблицы были изданы в 1703 г.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Логарифмическая функция по основанию a (a > 0, a ≠ 1) обозначается y = logax и определяется как функция, обратная показательной функции y = ax с тем же самым основанием. Так как логарифмическая и показательная функции взаимно-обратны, то график логарифмической функции (он иногда называется «логарифмикой») получается из графика показательной функции симметрией относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 1). Логарифмическая функция определена для положительных x и при основании a, большем единицы, является монотонно возрастающей функцией. Из свойств логарифмов (1) и (2) (см. Логарифм) легко устанавливается, что
log1/a x = -loga x,
откуда следует, что графики функций y = log1/ax и y = logax симметричны друг другу относительно оси Ox. Свойства логарифмической функции хорошо иллюстрирует рис. 2. Заметим, что ординаты любых двух кривых на рис. 2 пропорциональны, это непосредственно следует из формулы
.
Рис. 1
Рис. 2
В математическом анализе особое значение имеет логарифмическая функция по основанию e, она называется натуральным логарифмом и обозначается y = ln x. Производная от этой функции имеет весьма простой вид, а именно (ln x)' = 1/x. На рис. 3 сопоставлены графики y = lg x и y = ln x.
Рис. 3
МАГИЧЕСКИЕ И ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ
Если внимательно присмотреться к числам от 1 до 16, расположенным в клетках квадрата на рис. 1, то можно заметить следующую закономерность: сумма чисел в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же. Такой квадрат и все квадраты, обладающие аналогичным свойством, получили название магических.
Рис. 1
Задачи составления и описания магических квадратов интересовали математиков с древнейших времен. Однако полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сего времени. Магических квадратов 2 × 2 не существует. На рис. 2 изображен единственный магический квадрат 3×3. Единственный в том смысле, что все остальные магические квадраты 3×3 получаются из него либо поворотом вокруг центра, либо отражением относительно одной из его осей симметрии.
2 | 9 | 4 |
7 | 5 | 3 |
6 | 1 | 8 |
Рис. 2
С увеличением размеров (числа клеток) квадрата быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например, различных магических квадратов 4 × 4 уже 880, а для размера 5 × 5 их количество приближается к четверти миллиона. Среди них есть квадраты, обладающие интересными свойствами. Например, в квадрате на рис. 3 равны между собой не только суммы чисел в строках, столбцах и диагоналях, но и суммы пятерок чисел по «разломанным» диагоналям, связанным на рисунке цветными линиями.
Рис. 3
Латинским квадратом называется квадрат n×n клеток, в которых написаны числа 1, 2,..., n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рис. 4 изображены два таких латинских квадрата 4 × 4. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными. Задачу отыскания ортогональных латинских квадратов впервые поставил Л. Эйлер, причем в такой занимательной формулировке: «Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и, кроме того, поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить этих офицеров в каре 6 × 6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?»
Рис. 4
Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что такого решения не существует. В то же время Эйлер доказал, что ортогональные пары латинских квадратов существуют для всех нечетных значений n и для таких четных значений n, которые делятся на 4. Решение задачи Эйлера для 25 офицеров изображено на рис. 5. Чин офицера символизирует цветной кружок в углу каждой из клеток. Здесь особенно хорошо видна связь между, задачей Эйлера и латинскими квадратами: рода войск соответствуют числам одного латинского квадрата, а чины (цветные точки) – числам ортогонального ему латинского квадрата. Эйлер выдвинул гипотезу, что для остальных значений n, т.е. если число n при делении на 4 дает в остатке 2, ортогональных квадратов не существует. В 1901 г. было доказано, что ортогональных квадратов размером 6 × 6 не существует, и это усиливало уверенность в справедливости гипотезы Эйлера. Однако в 1959 г. с помощью ЭВМ были найдены сначала ортогональные квадраты 10 × 10, потом 14 × 14, 18 × 18, 22 × 22. А затем было показано, что для любого n, кроме 6, существуют ортогональные квадраты размером n×n.
Рис. 5
«Часто воспроизводится магический квадрат, присутствующий на знаменитой гравюре А. Дюрера «Меланхолия».
Любопытно, что средние числа в последней строке изображают год 1514, в котором была создана эта гравюра». Д. Оре
Гравюра А. Дюрера «Меланхолия»
Магические и латинские квадраты – близкие родственники. Пусть мы имеем два ортогональных латинских квадрата. Заполним клетки нового квадрата тех же размеров следующим образом. Поставим туда число n(a-1) + b, где a – число в такой клетке первого квадрата, а b – число в такой же клетке второго квадрата. Нетрудно понять, что в полученном квадрате суммы чисел в строках и столбцах (но не обязательно на диагоналях) будут одинаковы.
Теория латинских квадратов нашла многочисленные применения как в самой математике, так и в ее приложениях. Приведем такой пример. Пусть мы хотим испытать 4 сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причем хотим учесть влияние степени разреженности посевов и влияние двух видов удобрений. Для этого разобьем квадратный участок земли на 16 делянок (рис. 6). Первый сорт пшеницы посадим на делянках, соответствующих нижней горизонтальной полосе, следующий сорт – на четырех делянках, соответствующих следующей полосе, и т.д. (на рисунке сорт обозначен цвет