Статистика приводит к более общим зависимостям переменных, чем те, которые даются посредством функций. Приведем примеры. Изучается зависимость высоты сосен от их диаметра.
Если мы начнем сравнивать две эти характеристики, то найдем множество сосен одной и той же высоты, но разного диаметра или же одного диаметра, но разной высоты. Функциональной зависимости между высотой и диаметром нет, однако общая тенденция такова, что с увеличением высоты в среднем увеличивается и диаметр.
В табл. 3 приведены результаты замеров высоты и диаметра 250 сосен.
Таблица 3 Диаметр (см), y | Высота (м), x | |||||||||
18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | |
15 | 1 | 6 | 4 | 3 | ||||||
20 | 1 | 3 | 15 | 29 | 20 | 8 | ||||
25 | 1 | 8 | 18 | 49 | 20 | 6 | 1 | |||
30 | 1 | 4 | 5 | 12 | 8 | 5 | ||||
35 | 1 | 3 | 6 | 4 | 1 | |||||
40 | 1 | 3 | 3 | |||||||
45 | 1 |
По горизонтали отмечается высота в метрах, причем отмечается среднее значение высоты разных деревьев. Например, 18 означает, что под этой цифрой указывается число сосен, имеющих высоту от 17,5 до 18,5 м. По вертикали указывается диаметр в сантиметрах, причем в центре интервала группирования находятся как раз указанные числа. Например, 30 означает интервал группировки от 27,5 до 32,5 см. В клеточках таблицы указано число деревьев заданной высоты и диаметра. Так, например, на пересечении столбца 22 по вертикали и строки 25 по горизонтали стоит число 49. Это означает, что наблюдалось 49 деревьев высотой от 21,5 до 22,5 м и диаметром от 22,5 до 27,5 см.
В статистике для изучения связи между высотой дерева и его диаметром поступают следующим образом. Для каждого значения x вычисляют по таблице среднее арифметическое наблюденных значений y и для каждого y среднее значение наблюденных x. Нанесем теперь на плоскость полученные две группы точек и проведем вблизи от точек каждой группы близкие плавные кривые. Это будут линии регрессии y по x и x по y. Они дают приближенное представление об изменении средних значений y при изменении x и средних значений x при изменении y. Во многих случаях такое недостаточно полное знание оказывается очень полезным. Объясним это на примере. Предположим, нам известно, как изменяется вес зерна в колосе в зависимости от роста стебля. Это не точная зависимость, а такая, о которой мы только что говорили. Однако даже такое приблизительное знание позволяет нам судить, какой процент зерна будет теряться, если установить нож комбайна на той или иной высоте. Только что описанные зависимости называются корреляционными зависимостями.
В связи с развитием массового производства, когда изделия изготовляются в сотнях и тысячах штук, возникает серьезная экономическая задача: оценить качество всей партии, сделав небольшую выборку из нее. Так приходится поступать в силу двух причин. Во-первых, проверка качества всей партии требует значительных затрат времени и средств. А во-вторых, нередко испытание приводит к непоправимой порче изделия, например фотопленка или фотобумага после проверки ее качества станет полностью непригодной. В результате приходится проверять только часть всех изделий и по этим неполным данным высказывать суждение о качестве всей партии. Такие методы в настоящее время применяются в промышленности и носят наименование статистических методов контроля. Они приносят огромную экономию, исчисляемую миллиардами рублей.
Статистическими методами пользуются для выявления закономерностей наблюдений и для проверки соответствия построенных теорий реальных явлений с их фактическим протеканием.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА
Математическая экономика – теоретическая и прикладная наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов и методы их исследования.
Возникновение математических наук, несомненно, было связано с потребностями экономики. Требовалось, например, узнать, сколько земли засеять зерном, чтобы прокормить семью, как измерить засеянное поле и оценить будущий урожай.
С развитием производства и его усложнением росли и потребности экономики в математических расчетах. Современное производство – это строго сбалансированная работа многих предприятий, которая обеспечивается решением огромного числа математических задач. Этой работой занята огромная армия экономистов, плановиков и бухгалтеров, а расчеты ведут тысячи электронных вычислительных машин. Среди таких задач и проведение расчетов планов производства, и определение наиболее выгодного размещения строительных объектов, и выбор наиболее экономных маршрутов перевозок и т.д. Математическая экономика занимается также формализованным математическим описанием уже известных экономических явлений, проверкой различных гипотез на экономических системах, описанных некоторыми математическими соотношениями.
Рассмотрим два несложных примера, демонстрирующих применение математических моделей в этих целях.
Пусть спрос S и предложение D товара зависят от цены P. Для равновесия цена на рынке должна быть такой (P*), чтобы товар был распродан и не было его излишков:
D(P*) = S(P*). (1)
Но если, например, предложение запаздывает на один временной интервал, то, как показано на рис. 1 (где изображены кривые спроса и предложения как функций цены), при цене P0 спрос S0 превышает предложение D0. И так как предложение меньше спроса, то цена возрастает и товар раскупается по цене P1>P0. При такой цене предложение возрастает до величины S1; теперь уже предложение выше спроса и производители вынуждены распродать товар по цене P2
Рис. 1
Рис. 1 соответствует решение уравнения (1) методом последовательных приближений, который определяет корень этого уравнения, т.е. равновесные цену P* и соответствующее значение спроса и предложения S*,D*.
Рассмотрим более сложный пример - «золотое правило» накопления. Величина выпуска предприятием (в рублях) конечной продукции Yt в момент времени t определяется затратами труда Lt, производительность которого зависит от отношения степени насыщенности его оборудованием Kt к затратам труда. Математическая запись этого такова:
Yt = f(Kt/Lt)Lt. (2)
Конечная продукция распределяется на потребление Ct и накопление оборудования. Если обозначить долю выпуска продукции, идущую на накопление, через s, то
Ct = (1 - s)Yt. (3)
В экономике s называют нормой накопления. Ее значение заключено между нулем и единицей.
За единицу времени объем оборудования изменяется на величину накопления
Kt+1 - Kt = sYt. (4)
При сбалансированном росте экономики все ее составляющие растут с одинаковым темпом роста λ. По формуле сложных процентов получаем:
Yt = (1 + λ)tY, Lt = (1 + λ)tL, Kt = (1 + λ)tK, Ct = (1 + λ)tC.
Если ввести величины, характеризующие потребление c = C/L, объем оборудования R = K/L и выпуск продукции y = Y/L на одного работника, то система соотношений (2) - (4) перейдет в систему
y = f(R), λR = sf(R), c = f(R) - sf(R). (5)
Второе из этих соотношений при заданных темпах роста λ и потреблении s определит фондовооруженность труда R как точку пересечения кривой y = sf(R) и прямой y = λR на рис. 2. Эти линии обязательно пересекутся, так как функция f(R), хотя и монотонно, растет, что означает рост выпуска с ростом вооруженности труда R, однако все более полого, т.е. это вогнутая функция. Последнее обстоятельство отражает тот факт, что дополнительное увеличение оборудования, приходящегося на одного рабочего, из-за роста его загруженности становится все менее эффективным («закон убывающей полезности»). Различным значениям нормы накопления S отвечает семейство кривых y = sf(R). Длина f(R) - sf(R) отрезка AB как следует из формулы (5), равна потреблению c. При