Энциклопедический словарь юного математика — страница 59 из 95

l раз и k

Пример: Найдем (100,500):

или

;

Нахождение наибольшего общего делителя двух чисел оказывается полезным при сокращении дробей: после сокращения на наибольший общий делитель числителя и знаменателя полученная дробь будет уже несократимой.

НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ

Наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из данных целых чисел, называется наименьшим общим кратным этих чисел. Для чисел a₁,a₂,...,a_n оно обозначается [a₁,a₂,...,a_n] Например: [4,6]=12, [21,42,63]=126. Если числа a и b одного знака, то [a,b]=ab/(a,b), где (a,b)- наибольший общий делитель чисел a и b. Таким образом, вычисление наименьшего общего кратного чисел можно свести к вычислению их наибольшего общего делителя. Если же нам известны разложения чисел a и b на простые множители, то получить наименьшее общее кратное чисел a и b можно так: выписать подряд простые числа, входящие хотя бы в одно из разложений, причем если простое число p входит k раз в разложение одного из чисел, l раз в разложение другого и kl раз; произведение всех выписанных чисел и даст наименьшее общее кратное чисел a и b.

Пример. Найдем [100,150 и 108]:

При сложении дробей мы обычно приводим их к общему знаменателю, который является наименьшим общим кратным знаменателей данных дробей.

НЕИЗВЕСТНЫХ ИСКЛЮЧЕНИЕ

Исключением неизвестного называют переход от системы алгебраических уравнений к системе (уравнению, совокупности уравнений), которая не содержит этого неизвестного и является следствием исходной системы. Для того чтобы иметь возможность вычислить исключенное неизвестное, к полученной системе добавляют одно или несколько уравнений из исходной системы (см. Линейное уравнение).

Для решения линейных систем широко применяют метод Гаусса - метод последовательного исключения неизвестных. Суть его состоит в следующем. Можно считать, что в первом уравнении системы коэффициент при неизвестном x₁ отличен от нуля - в противном случае можно просто перенумеровать неизвестные. Разделим каждый член первого уравнения на этот коэффициент, а затем из каждого из остальных уравнений системы вычтем почленно полученное уравнение, умноженное на коэффициент при x₁ в уравнении, из которого вычитается первое уравнение. Тогда во всех уравнениях получившейся системы, кроме первого, коэффициент при x₁ будет равен 0. Другими словами, мы исключили из этих уравнений неизвестное x₁. Теперь если во втором уравнении нет ненулевого коэффициента при неизвестных, то возможны два случая: 1) уравнение имеет вид 0·x₁+0·x₂+...+0·x_n=0 (где n - число неизвестных), так как этому уравнению удовлетворяет любой набор чисел, то его можно просто вычеркнуть из системы; 2) если это уравнение имеет вид 0·x₁+0·x₂+...+0·x_n=b, где b≠0, то рассматриваемая система, а следовательно, и исходная система несовместны. Если же во втором уравнении есть неизвестное, при котором коэффициент не равен 0, то его можно принять за x₂ и исключить x₂ из всех уравнений, кроме второго и первого. Продолжая этот процесс, мы либо когда-нибудь встретим уравнение вида 0=b, где b≠0, и тем самым узнаем, что исходная система не имеет решений; либо (так как число уравнений, из которых исключаются неизвестные, каждый раз уменьшается) придем к системе m уравнений с n переменными (равносильной исходной) вида

x₁ + a₁₂x₂ + a₁₃x₃+... + a_1nx_n  =  b₁,  (1)

x₂ + a₂₃x₃ + ... + a_2nx_n  =  b₂,

x_m + ... + a_nnx_n  =  b_n,

где m≤n. Если m=n, то систему такого вида называют треугольной; при этом из последнего уравнения можно найти x_n (x_n=b_n), затем из предпоследнего уравнения найти x_n-1=b_n-1-a_n-1, x_n-2 и т.д. Таким образом, однозначно находятся все неизвестные и система имеет в точности одно решение. Если же mm+1,x_m+2,...x_n можно придать любые значения, а затем, как и в предыдущем случае (однозначно), выразить через них остальные неизвестные, следовательно, в этом случае система имеет бесконечно много решений.

Метод последовательного исключения неизвестных для решения систем был в древности известен в Китае: ряд задач, решаемых аналогичным методом, помещен в трактате «Арифметика в девяти главах» (около II в. до н.э.). Естественно, что в этом трактате в основном рассматривались системы с целыми коэффициентами. Для исключения неизвестных все уравнения (кроме выбранного) предварительно умножались на коэффициент при исключаемом неизвестном в выбранном уравнении. Это делалось для того, чтобы после исключения неизвестного снова получалась система с целыми коэффициентами. Так обычно поступают и в наши дни при решении систем с целыми коэффициентами.

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЯ

Необходимое и достаточное условия - форма записи и осмысления математической теоремы. Например, теорему (рис. 1) «если точка C не лежит на прямой AB, то AV-BC>AB» можно разъяснить так: достаточно знать, что точка C не принадлежит прямой AB, и тогда мы можем утверждать, что AV-BC>AB. В математике принято эту формулировку, содержащую слово «достаточно», выражать по-другому: для того чтобы имело место неравенство AV-BC>AB, достаточно, чтобы точка C не принадлежала прямой AB.

Рис. 1

Вообще, если сказано, что некоторое утверждение P является достаточным для Q, то это означает, что утверждается справедливость теоремы, в которой P - условие, a Q - заключение.

Рассмотренную теорему можно разъяснить еще и так: если C ∉ (AB), то непременно должно быть выполнено неравенство AV-BC>AB. В математике принято эту формулировку выражать по-другому, используя слово «необходимо»: для того чтобы точка C лежала вне прямой AB, необходимо выполнение неравенства AV-BC>AB.

Вообще, если сказано, что некоторое утверждение Q является необходимым для P, то это означает, что утверждается справедливость теоремы, в которой P - условие, a Q- заключение.

Иначе говоря, каждую теорему (рис. 2)

(...)P ⇒ Q

(где многоточие выражает разъяснительную часть теоремы, P - условие, Q - заключение) можно выразить следующими способами:

1) если верно P, то верно и Q;

2) для справедливости Q достаточно, чтобы выполнялось P;

3) для справедливости P необходимо, чтобы выполнялось Q.

Рис. 2

Если для некоторой теоремы справедлива также и обратная ей теорема, то ее формулировку можно выразить по-другому, используя слова «необходимо и достаточно». Например, теорема (рис. 3)

(дан ΔABC)

и обратная ей теорема

(дан ΔABC)

- обе справедливы. Иными словами, для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы два угла этого треугольника были равными (исходная теорема); кроме того, чтобы треугольник был равнобедренным, достаточно, чтобы два угла этого треугольника были равными (обратная теорема). Это кратко записывается в виде

(дан ΔABC)

и читается словами так: для того чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо и достаточно, чтобы два угла этого треугольника были равными.

Рис. 3

Вот еще несколько примеров необходимых и достаточных условий. 1) Для того чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равными. 2) Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, достаточно, чтобы все его углы были прямыми. 3) Для параллельности прямых a и b необходимо и достаточно, чтобы они были симметричны относительно некоторой точки. 4) Для того чтобы параллелограмм был ромбом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали были перпендикулярны. 5) Для того чтобы диагонали четырехугольника были перпендикулярны, достаточно, чтобы он был ромбом. 6) Для того чтобы четырехугольник ABCD был прямоугольником, необходимо, чтобы его диагонали были равны: AC=BD. 7) Для того чтобы число x₀ было корнем многочлена f(x)=xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+...+a_n-1x+a_n, необходимо и достаточно, чтобы многочлен f(x) без остатка делился на x-x₀. 8) Для того чтобы дифференцируемая на [a,b] функция f(x) достигала (рис. 4) максимума (или минимума) в некоторой внутренней точке x₀ отрезка [a,b], необходимо, чтобы в этой точке производная функции обращалась в нуль: f'(x₀)=0. 9) Для того чтобы система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был отличен от нуля. 10) Для того чтобы прямая a была перпендикулярна плоскости α, достаточно, чтобы прямая a была перпендикулярна двум непараллельным прямым, лежащим в плоскости α (рис. 5).

Рис. 4

Рис. 5

Слова «необходимо и достаточно» нередко заменяются словами: «тогда, и только тогда, когда» или «в том, и только в том, случае, если». Например, четырехугольник в том, и только в том, случае является параллелограммом, если его диагонали, пересекаясь, делятся пополам.

Вместо того чтобы сказать «достаточное условие», «необходимое условие», иногда говорят «достаточный признак», «необходимый признак». Иногда даже говорят просто «признак», считая ясным, о каком из признаков (достаточном или необходимом) идет речь. Например, теорема «для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9» называется признаком делимости на 9. Теоремы о накрест лежащих углах при пересечении двух прямых третьей (взаимно обратные друг другу) объединяются общим названием «признак параллельности».