НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Рассмотрим две функции, графики которых изображены на рис. 1 и 2. График первой функции можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Эту функцию можно назвать непрерывной. График другой функции так нарисовать нельзя. Он состоит из двух непрерывных кусков, а в точке x0 имеет разрыв, и функцию мы назовем разрывной.
Рис. 1
Рис. 2
Такое наглядное определение непрерывности никак не может устроить математику, поскольку содержит совершенно нематематические понятия «карандаш» и «бумага». Точное математическое определение непрерывности дается на основе понятия предела и состоит в следующем.
Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a,b] и x0 - некоторая точка этого отрезка. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если при стремлении x к x0 (x рассматривается только из отрезка [a,b]) значения функции стремятся к f(x0), т.е. если
. (1)
Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой его точке.
Если в точке x0 равенство (1) не выполняется, функция называется разрывной в точке x0.
Как видим, математически свойство непрерывности функции на отрезке определяется через местное (локальное) свойство непрерывности в точке.
Величина Δx=x-x0 называется приращением аргумента, разность значений функции f(x)=f(x0) называется приращением функции и обозначается Δy. Очевидно, что при стремлении x к x0 приращение аргумента стремится к нулю: Δx → 0.
Перепишем равенство (1) в равносильном виде
.
Используя введенные обозначения, его можно переписать так:
.
Итак, если функция непрерывна, то при стремлении приращения аргумента к нулю приращение функции стремится к нулю. Говорят и иначе: малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции. На рис. 3 приведен график непрерывной в точке x0 функции, приращению Δx соответствует приращение функции Δy. На рис. 4 приращению Δx соответствует такое приращение функции Δy, которое, как бы мало Δx ни было, не будет меньше половины длины отрезка AB; функция разрывна в точке x0.
Рис. 3
Рис. 4
Наше представление о непрерывной функции как о функции, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, прекрасно подтверждается свойствами непрерывных функций, которые доказываются в математическом анализе. Отметим, например, такие их свойства.
1. Если непрерывная на отрезке функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю.
2. Функция f(x), непрерывная на отрезке [a,b], принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, т.е. между f(a) и f(b).
3. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке она достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения, т.е. если m - наименьшее, а M - наибольшее значения функции на отрезке [a,b], то найдутся на этом отрезке такие точки x1 и x2, что f(x1)=m и f(x2)=M.
Геометрический смысл первого из этих утверждений совершенно ясен: если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси Ox на другую, то она пересекает эту ось (рис. 5). Разрывная функция этим свойством не обладает, что подтверждается графиком функции на рис. 2, а также свойствами 2 и 3. На рис. 2 функция не принимает значения y1, хотя оно заключено между f(a) и f(b). На рис. 6 приведен пример разрывной функции y={x} (дробная часть числа x), которая не достигает своего наибольшего значения.
Рис. 5
Рис. 6
Примером непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена. Например, функции y=x2 и y=2x непрерывны на любом отрезке [a,b], функция непрерывна на отрезке [0,b], функция y=x/(2-x) непрерывна на любом отрезке, не содержащем точку x=2.
Сложение, вычитание, умножение непрерывных на одном и том же отрезке функций вновь приводят к непрерывным функциям. При делении двух непрерывных функций получится непрерывная функция, если знаменатель всюду отличен от нуля.
К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время непрерывны, и зависимость, например, пути s от времени t, выраженная законом s=f(t), дает пример непрерывной функции f(t).
С помощью непрерывных функций описывают состояния и процессы в твердых телах, жидкостях и газах. Изучающие их науки - теория упругости, гидродинамика и аэродинамика - объединяются одним названием - «механика сплошной среды».
НЕРАВЕНСТВА
Неравенство - это два числа или математических выражения, соединенных одним из знаков: > (больше), < (меньше), ≥ (больше или равно), ≤(меньше или равно). Запись a>b означает то же, что b
Числовое неравенство может быть верным или неверным; например, неравенства 27>53; 40/77<13/25; √2 ≥ 1,4142; 5≤5; -1≤0 верны, а π> 355/113 неверно. Таким образом, с точки зрения математической логики неравенство является высказыванием. Неравенство с переменными (т.е. неравенство, в запись которого входят буквы, принимающие разные значения) может при одних значениях переменных быть верным, при других - нет. Доказать такое неравенство - значит доказать, что оно выполнено при всех допустимых значениях переменных (такие неравенства называются тождественными). Для неравенства с переменными можно поставить задачу: решить неравенство, т.е. описать множество значений переменных, при которых оно выполнено.
Решая или доказывая неравенства, мы опираемся на основные свойства отношения «больше - меньше» между числами:
(1) отношение неравенства антисимметрично, т.е. для любых различных чисел a,b либо a>b, либо b>a, и транзитивно, т.е. для любых трех чисел a,b,c если a>b и b>c, то a>c;
(2) если a>b, то a+c>b+c при любом c;
(3) если a>b и c>0, то ac>bc.
Из последних двух свойств, связывающих отношение неравенства между числами с арифметическими операциями, именно свойство (3) вызывает наибольшее число ошибок у начинающих: часто забывают, что при умножении на отрицательное число неравенство изменяется на противоположное. Из основных свойств (1), (2), (3) можно вывести все другие: если a
При расширении понятия числа - переходя от целых чисел к рациональным, затем к действительным - мы должны определять отношение «больше - меньше» на новом множестве так, чтобы сохранялись основные его свойства. По определению из двух дробей p/q и m/n (с положительными знаменателями q,n) первая больше, если pn>mq; из двух положительных бесконечных десятичных дробей больше та, у которой больше единиц в самом левом из несовпадающих разрядов (при этом не рассматриваются дроби с окончаниями 9999...).
С помощью неравенств задаются основные числовые множества (отрезок a ≤ x ≤ b, интервал a
,
а выпуклой вверх - если верно неравенство противоположного смысла (см. Выпуклые функции); для функции, имеющей производную, это эквивалентно тому, что y = f'(x) - монотонная функция (соответственно неубывающая или невозрастающая, рис. 1).
Рис. 1
Выпуклые функции и их производные
На языке неравенств нередко формулируется постановка задачи во многих приложениях математики. Например, многие экономические задачи сводятся к исследованию систем линейных неравенств с большим числом переменных (см. Геометрия). Часто то или иное неравенство служит важным вспомогательным средством, основной леммой, позволяющей доказать или опровергнуть существование каких-то объектов (скажем, решений уравнения), оценить их количество, провести классификацию. Например, чтобы классифицировать все правильные многогранники, нужно прежде всего вспомнить, какие углы могут иметь правильные многоугольники, и воспользоваться неравенством: сумма величин плоских углов выпуклого многогранного угла не больше 360°.
Эта теорема наряду с самыми первыми геометрическими неравенствами («перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из одной и той же точки к данной прямой», «сторона треугольника меньше суммы двух других сторон», «против большего угла треугольника лежит большая сторона») принадлежит еще древнегреческой математике - она содержалась в знаменитых «Началах» Евклида.
Неравенства - это не только вспомогательный инструмент. В каждой области математики - алгебре и теории чисел (см. Чисел теория), геометрии и топологии, теории вероятностей и теории функций, математической физике и теории дифференциальных уравнений, теории информации и дискретной математике - можно указать фундаментальные результаты, формулируемые в виде неравенств.
Во многих разделах математики, особенно в математическом анализе, в прикладной математике, неравенства встречаются значительно чаще, чем равенства. Скажем, решение каких-то практически важных уравнений лишь по счастливой случайности удается найти точно - в виде числа или формулы, а для приближенного решения в математике всегда требуется указать оценку погрешности, т.е. доказать некоторое неравенство. В этом заключается одно из главных отличий между математическим и физическим уровнем строгости: физик готов ограничиться нахождением «порядка величин