ы» там, где математик стремится строго доказать какие-то оценки, т.е. неравенства.
Находя оценку той или иной величины сверху (максимум) или снизу (минимум), т.е. доказывая, что эта величина не больше какого-то числа M (или не меньше m), мы стараемся получить как можно более точный результат: оценку сверху - пониже, снизу - повыше. Самая точная возможная оценка числового множества A сверху обозначается sup A (супремум A). Аналогично определяется самая точная оценка снизу: inf A (инфинум A). Рассмотрим, для примера, отношение площади S многоугольника к квадрату его периметра P. Чем более «округлый» многоугольник, тем величина S/P2 больше - в этом легко убедиться на примерах (рис. 2). Точная верхняя грань этого отношения: sup S/P2 = 1/(4π). На множестве всех многоугольников эта оценка не достигается - нет такого многоугольника, для которого S/P2 в точности равно 1/(4π); а на множестве всех (выпуклых) фигур - достигается, причем только для круга радиуса R это отношение как раз равно πR2/(2πR)2 = 1/(4π). Когда величина достигает своего наибольшего значения, вместо sup можно писать max (максимум); соответственно вместо inf писать min (минимум).
Рис. 2
Отношение площади к квадрату периметра максимально для круга.
Доказательство неравенств тесно связано с исследованием функций на экстремум (см. Экстремум функции). Чтобы доказать, что максимум какой-то функции f равен M, мы должны указать значения аргументов, при которых функция f равна M, и доказать неравенство f ≤ M. Например, тот факт, что на множестве всех фигур S/P2≤ 1/(4π), обычно формулируется так: из всех фигур данного периметра наибольшую площадь имеет круг. Это знаменитое изопериметрическое неравенство (доказанное впервые Л. Эйлером) - представитель целого класса геометрических неравенств, различные варианты и многомерные обобщения которых используются в разных отделах математики и ее приложениях.
Важная часть работы математика - доказательство тождественных неравенств, т.е. таких, которые верны при всех значениях входящих в них переменных (или при всех заранее оговоренных допустимых значениях переменных). Иногда это дело несложное - например, чтобы доказать неравенство f > g, где f и g - некоторые функции, удается преобразовать разность f - g так, что становится очевидной ее положительность: a2 + b2≥ 2ab, поскольку (a-b)2≥ 0; a2 + b2 + c2≥ ab + bc + ca, поскольку (a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2≥ 0 .
Но бывает, что для доказательства неравенства приходится использовать весьма тонкие геометрические или аналитические соображения. Как опытному шахматисту помогает знание основных дебютов, так и математику полезно знать некоторые часто встречающиеся классические тождественные неравенства. Среди них - красивые неравенства, в которые переменные входят симметричным образом (см. Средние значения).
Серию таких неравенств дает следующее общее неравенство датского математика И. Йенсена (1859-1925) для выпуклых функций: если f - выпуклая вниз функция на отрезке [a,b] и p1,p2,...,pn - любые положительные числа, то при всех x1,x2,...,xn из [a,b]
.
Для выпуклой вверх функции верно обратное неравенство; в частности, при f(x) = log x, p1 = p2 =...= pn = 1/n, xi> 0(i = 1,...,n), отсюда получается неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического.
Наглядное объяснение этого неравенства состоит в следующем: если на графике выпуклой вниз функции расположить грузы с произвольными массами p1,p2,...,pn, то центр их масс будет лежать выше графика (рис. 3).
Рис. 3
Центр масс системы грузов имеет координаты
Для получения оценок сумм вида f(1) + f(2) + ... + f(n) применяются метод математической индукции, а также сравнение этой суммы со специально подобранным интегралом. Например, для суммы
hn = 1 + 1/2 +...+ 1/n
(см. Гармонический ряд) сравнение ее с площадью под гиперболой y = 1/x (рис. 4) дает оценки: ln n < hn< ln n + 1. Скажем, при n = 1000, отсюда получаем 6,9 < h1000< 7,91.
Рис. 4
Доказательства непрерывности и дифференцируемости элементарных функций, формул для их производных опираются на некоторые основные неравенства; среди них - неравенства sin x < x < tg x (при 0 < x <π/2), ex> 1 + x, неравенство Бернулли (1+x)n≥ 1 + nx (при x > -1, натуральном n).
Методы математического анализа, в свою очередь, удобное средство доказательства неравенств для функций от одной переменной. Так, если значения двух функций f(x) и g(x) совпадают при x = a и f'(x) ≤ g'(x) при x ≥ a, то f(b) > g(b) при любом b ≥ a, другими словами, неравенство можно почленно интегрировать. Приведем один пример, показывающий, как это соображение позволяет вычислять с большой точностью sin x.
Поскольку cos x ≤ 1 и (sin x)' = cos x, то при x > 0
.
Точно так же отсюда получаем последовательно:
1 - cos x ≤ x2/2, т.е. cos x ≥1 - x2/2;
sin x ≥ x - x3/(2·3);
1 - cos x ≥ x2/2 - x4/(2·3·4), т.е. cos x ≤ 1 - x2/2 + x4/(2·3·4);
sin x ≤ x - x3/(2·3) + x5/(2·3·4·5) и т.д.
Таким образом, мы получаем, что sin x заключен между суммой первых k и первых k+1 членов ряда
(где n! = 1·2·...·n)
(при любом k = 1,2,...); точно так же для cos x аналогичные оценки дает ряд
1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! + ....
Мы говорили выше о способах получения тождественных неравенств. Если же записано какое-то неравенство вида
f(x) > g(x),
где f и g - любые функции, x - переменная, то при некоторых значениях x оно будет верно, при других - нет.
Решить такое неравенство - значит найти множество X всех значений переменной x, при которых оно верно. Задачи на решение неравенств подробно изучаются в школьном курсе. Между решением неравенств и решением уравнений много общего - неравенства тоже нужно с помощью преобразований сводить к более простым. Важное отличие состоит в том, что множество X решений неравенства, как правило, бесконечно (отрезок, луч, объединение нескольких отрезков). Сделать полную проверку ответа в этом случае нельзя. Поэтому, решая неравенство, нужно обязательно переходить к эквивалентному ему неравенству - имеющему в точности то же множество решений. Для этого, опираясь на основные свойства неравенств, надо проделывать лишь такие преобразования, которые сохраняют знак неравенства и обратимы. Скажем, можно применить к обеим частям операцию возвышения в куб, но нельзя - операции возвышения в квадрат (если только не известно, что обе части его заведомо положительны); вообще неравенства f < g и F(f) < F(g) эквивалентны, если функция F неубывающая.
Однако если мы умеем решать уравнение f(x) = g(x), то решить неравенство f(x) > g(x), как правило, не представляет труда: в этом помогает «метод интервалов». Будем говорить о неравенстве вида f(x) > 0 (мы можем перенести все члены в левую часть). Пусть функция f определена и непрерывна на всей прямой или на области D, состоящей из нескольких (конечных или бесконечных) отрезков. Так будет для всех элементарных функций. Отметим корни уравнения f(x) = 0; они разбивают область определения функции f на ряд интервалов, в каждом из которых f сохраняет знак. Какой именно знак имеет f(x) в каждом из интервалов, можно выяснить, подставив в f(x) одно (любое) значение x из этого интервала. Остается выбрать те интервалы, в которых f(x) положительно, - это будет искомое множество X.
Например, чтобы решить неравенство
,
заметим, что знаменатель x3 - 2x + 1 = (x-1)(x2 + x - 1) обращается в 0 при x = (-1±√5)/2 и x=1, а вся дробь обращается в 1 при x=0 и x = 2. Остается на каждом из 6 кусочков, на которые делят прямую эти пять точек, найти знак дроби
,
как это и бывает обычно (кроме исключительных случаев «кратных корней»), знаки чередуются. (Ответ: X состоит из трех множеств: x < (-1-√5)/2, 0 < x < (-1 + √5)/2 и 1 < x < 2.)
Еще проще применять «метод интервалов», если заранее известно, где функция убывает, а где - возрастает, и известен ее график. Например, неравенство sin x ≤ c будет выполнено на отрезках между корнями x = (-1)n arcsin c + πn уравнения sin x = c (здесь |c| ≤ 1), содержащих точки -π/2 + 2πn. На рис. 5 множество решений - объединение отрезков [-arcsin c + (2n - 1)π; arcsin c + 2πn], n = 0,±1,....
Рис. 5
НОМОГРАФИЯ
Номографией (от греческого nomas - «закон», yrapho - «пишу») называется область вычислительной математики, в которой развивается теория построения номограмм особых чертежей, служащих для расчета по данным формулам или для решения различных уравнений. Искомое значение величины или действительный корень уравнения можно отыскать непосредственно на самой номограмме, прикладывая линейку к определенным ее точкам.
Номограмма, таким образом, является готовым инструментом для проведения расчетов.
Обыкновенная линейка обладает тем свойством, что деления на ней составляют равномерную шкалу. Для решения ряда задач номографии приходится расширить понятие о шкале. Пусть нам дана некоторая функция y=f(x). Возьмем прямую линию и будем откладывать на ней от некоторой фиксированной точки значения нашей функции, соответствующие различным значениям аргумента x, и в конце каждого из полученных отрезков поставим пометку, равную тому значению x, для которого получен этот отрезок. Нанесенные таким образом пометки уже не будут распределяться на прямой равномер