но, их расположение зависит от выбранной функции y=f(x). Эта прямая с нанесенными делениями называется функциональной шкалой. На рис. 1 показана функциональная шкала для функции y = 2-x.
Рис. 1
Простейшим приложением функциональной шкалы является использование ее для вычисления значений функции при разных значениях аргумента. Возьмем две шкалы: одну функциональную, другую равномерную, построенные в одном и том же масштабе. Приложим обе шкалы одну к другой так, чтобы их начальные точки совпадали. Если теперь взять на функциональной шкале точку с пометкой x, то пометка равномерной шкалы, лежащая против взятой пометки x, в точности дает значение функции y=f(x). Обратно, зная значение функции, можно найти значение аргумента; для этого нужно найти соответствующую пометку на равномерной шкале и прочитать соответствующую пометку функциональной шкалы. Такое соединение двух шкал является простейшей номограммой и называется двойной шкалой (рис. 2). Одно из ее главнейших применений - логарифмическая (счетная) линейка. В инженерной практике используется также логарифмическая (полулогарифмическая) бумага, где обе оси (или одна ось) являются логарифмическими функциональными шкалами.
Рис. 2
На рис. 3 изображена номограмма для уравнения 1/x + 1/y = 1/z, которая состоит из трех определенным образом расположенных равномерных шкал. Прикладывая линейку к двум пометкам на разных лучах, отвечающих, например, заданным значениям x и z, по номограмме находим значение y (на рис. 3 значение x = 7,5, a z = 3 и тем самым y = 5). Разобранный пример демонстрирует нам новый тип номограмм - номограмму из выровненных точек. Такое название объясняется тем, что точки на номограмме, соответствующие данным числам и искомому числу, лежат на одной прямой.
Рис. 3
На рис. 4 изображена номограмма из выровненных точек для приближенного отыскания положительных корней уравнения x2 + px + q = 0. Она состоит из двух равномерных и одной неравномерной шкал. Если при помощи этой номограммы нам нужно приближенно найти положительный корень уравнения x2 + p0x + q0 = 0, нужно на оси p взять точку M с пометкой p0, на оси q - точку N с пометкой q0 и провести прямую (MN). Каждая точка пересечения (их может быть не больше двух) с криволинейной шкалой дает приближенное значение положительного корня заданного уравнения (на рис. 4 - случай p = , q = -9). Построенная прямая (MN) может пересекаться с кривой Г в двух точках (оба корня положительны), в одной точке (второй корень отрицателен), может касаться кривой (в этом случае у уравнения кратный положительный корень); наконец, она может не иметь с кривой Г ни одной общей точки (в этом случае либо оба корня уравнения отрицательны, либо у него вообще нет действительных корней). Для получения отрицательных корней уравнения x2 + px + q = 0 надо, сделав замену переменной x = -t, искать по той же номограмме положительные корни уже уравнения t2 - pt + q = 0. Если значения коэффициентов p и q по модулю превосходят 12,6 (на рис. 4 предполагается |p|≤12,6, |q|≤12,6), то следует сделать замену переменной x = kt и перейти от уравнения x2 + px + q = 0 к уравнению
t2 + (p/k) t + q/k2 = 0;
число k выбирается таким образом, чтобы числа p/k и q/k2 были уже в указанных выше пределах. В случае, если оба корня уравнения x2 + px + q = 0 близки к нулю, также выгодно сделать замену переменной x = kt. Так, для уравнения x2 - 0,86x + 0,16 = 0 значения корней по номограмме найти трудно. Положив x = 0,2t, получим уравнение t2 - 4,45t + 4 = 0; его корни t1≈ 1,2; t2≈ 3,2, откуда x1≈ 0,24, x2≈ 0,64.
Рис. 4
Как в практическом, так и теоретическом плане значительный интерес представляют сетчатые номограммы. На рис. 5 показана такая номограмма для приближенного решения уравнений вида x2 + px + q = 0. Она состоит из семейства прямых линий с некоторыми пометками, касающихся параболы
q = 1/4 p2.
Рис. 5
Пользуются этой номограммой следующим образом. Каждому уравнению x2 + px + q = 0 однозначно ставится в соответствие точка (p;q) плоскости Opq, и в зависимости от расположения ее по отношению к «сетке» приближенно определяются корни соответствующего уравнения. Если точка (p;q) попадает внутрь параболы, т.е. если
q > 1/4 p2,
то уравнение x2 + px + q = 0 не имеет (действительных) корней. В случае, когда это уравнение имеет два различных действительных корня, точка (p,q) лежит во внешней области параболы q < 1/4 p2. Если q = 1/4 p2, т. е. точка (p,q) лежит на параболе, то уравнение имеет два совпадающих корня. Решим, например, уравнение x2 - 0,5x - 3= 0. Через точку (0,5;-3) проходят на номограмме две прямые с пометками -2 и 1,5; тем самым числа -2 и 1,5 являются корнями нашего уравнения.
Рассмотрим теперь уравнение x2 + x - 3 = 0. Этому уравнению соответствует точка (1;-3), и она не лежит ни на одной из прямых, показанных на рис. 5. В этом случае поступаем так. Заметим, что точка (1;-3) лежит внутри четырехугольника ABCD, образованного прямыми с пометками -2,5; -2; 1 и 1,5 (рис. 5). Точкам этого четырехугольника соответствуют уравнения с двумя действительными корнями, один из которых попадает в интервал ]1;1,5[, а другой - в интервал ]-2,5; -2[. Корни уравнения x2 + x - 3 = 0 также лежат в указанных интервалах. Взяв их середины, мы получим приближенные значения искомых корней:
x1≈ (1,5+1)/2 = 1,25; x2≈ (-2-2,5)/2 = -2,25.
Для того чтобы при помощи этой номограммы удобно было решать и уравнения с совпадающими корнями, парабола q = 1/4 p2 также снабжена пометками. Дело в том, что квадратному уравнению с корнями x1 = x2 = a соответствует точка (-2a,a2), лежащая на этой параболе.
Различного рода номограммы широко применяются в разнообразных практических расчетах. Существуют промышленно изготовленные номограммы, например, для вычисления углов установки резца на заточном станке, для определения процентного содержания трех веществ в данной смеси, для расчета скорости течения воды в реках и каналах, для вычисления площадей и объемов, для расчета параметров радиоламп и т.д.
Разработка теории номографических построений началась в XIX в. Первой была создана теория прямолинейных сетчатых номограмм французским математиком Л. Лаланом в 1843 г. Основания общей теории заложил его соотечественник М. Окань в 1884-1894 гг. Советскую номографическую школу создал Н. А. Глаголев (1888-1945). Ему принадлежит большая заслуга в деле организации номографирования инженерных расчетов.
НОРМАЛЬ
Нормаль - прямая, проходящая через заданную точку кривой перпендикулярно касательной к этой кривой (рис. 1). Так, нормалями к окружности будут прямые, идущие по ее радиусам. Уравнение нормали в точке M(x0,y0) к кривой на плоскости, заданной уравнением y=f(x), записывается через производную функции в виде
.
Рис. 1
Если рассмотреть нормали к пространственной кривой в данной точке, то они заполнят целую плоскость - плоскость, перпендикулярную к касательной в данной точке; она называется нормальной плоскостью к кривой (рис. 2). Важную роль в приложениях имеет нормаль к поверхности в заданной ее точке - прямая, перпендикулярная касательной плоскости в этой точке (рис. 3). Когда мы говорим о силе трения, то выражаем ее через силу «нормального давления», т.е. давления, направленного по нормали к поверхности. В законе отражения света: угол падения равен углу отражения - рассматриваемые углы являются углами между нормалью в данной точке и направлениями падающего и отраженного лучей (рис. 4).
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
НУЛЬ
Нуль - это целое число, одна из цифр в десятичной системе счисления. Название «нуль» происходит от латинского слова nullus, что означает «никакой». Обозначается нуль знаком 0. Как цифра в записи многозначного числа или десятичной дроби нуль употребляется для обозначения отсутствия единиц определенного разряда (см. Системы счисления). Основное свойство, которое характеризует нуль как число, заключается в том, что любое число при сложении с нулем не меняется. Другие свойства числа нуль: a·0 = 0; a - 0 = 0; если ab = 0, то a = 0 или b = 0.
У нуля своя долгая и интересная история. Уже в поздней вавилонской письменности (V в. до н. э.) был специальный знак , обозначавший отсутствующий разряд в записи числа. Это - далекий предок нуля. Греческие астрономы переняли у вавилонян шестидесятеричную систему счисления, но вместо клиньев они для обозначения цифр употребляли буквы. При этом для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда они употребляли букву о - первую букву греческого слова «оуден», означающего «ничто». И наконец, запись чисел в десятичной системе с использованием того обозначения нуля, которым мы пользуемся теперь, появилась у индийцев в V-VI вв.
Долгое время нуль не признавали числом. Например, Диофант (III в.) не считал нуль корнем уравнения, так же как математики в средние века. Лишь к XVII в. с введением метода координат нуль начинает выступать наравне с остальными числами, положительными и отрицательными: все они изображаются точками числовой оси.