Бином Ньютона - название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.
Формулу для квадрата двучлена (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 знали, по-видимому, еще математики Древнего Вавилона, а древнегреческие математики знали ее геометрическое истолкование (см. Алгебра). Если умножить обе части этой формулы на a+b и раскрыть скобки, то получим:
(a+b)3 = (a2+2ab+b2)(a+b) = a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3, т.е. (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3.
Еще один такой шаг приводит к формуле (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
Легко заметить закон образования коэффициентов: коэффициент 4 при a3b есть сумма коэффициентов 3 и 1 при a2b и a3. Аналогично, коэффициент 6 при a2b2 является суммой 3 + 3 коэффициентов при ab2 и a2b. По тому же закону получаем и коэффициент 4 при ab3.
Таким образом, коэффициент при an-kbk в разложении (a+b)n равен сумме коэффициентов и при an-kbk-1 и при an-k-1bk в разложении (a+b)n-1, а коэффициенты при an и при bn равны единице.
Отсюда следует, что коэффициенты в равенстве
(1)
являются членами (n+1)-й строки треугольника Паскаля (см. Паскаля треугольник). Это утверждение было известно задолго до Паскаля - его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел (биномиальных коэффициентов) до n=12 включительно.
Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г. Еще до этого было известно, что числа
являются в то же время числами «сочетаний без повторений» из n элементов по k (см. Комбинаторика).
В 1664-1665 гг. И. Ньютон установил, что формула (1) обобщается на случай произвольных (дробных и отрицательных) показателей, но при этом получается сумма из бесконечного множества слагаемых. Именно он показал, что при |x|<1
(2)
При n = -1 формула (2) превращается в известную формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:
1/(1+x) = 1 - x + x2 - x3 +...+ (-1)n-1xn + ....
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В ряде задач математики и ее приложений требуется по известному значению тригонометрической функции найти соответствующее значение угла, выраженное в градусной или в радианной мере. Известно, что одному и тому же значению синуса соответствует бесконечное множество углов, например, если sin α = 1/2, то угол α может быть равен и 30° и 150°, или в радианной мере π/6 и 5π/6, и любому из углов, который получается из этих прибавлением слагаемого вида 360°·k, или соответственно 2πk, где k - любое целое число. Это становится ясным и из рассмотрения графика функции y = sin x на всей числовой прямой (см. рис. 1): если на оси Oy отложить отрезок длины 1/2 и провести прямую, параллельную оси Ox, то она пересечет синусоиду в бесконечном множестве точек. Чтобы избежать возможного разнообразия ответов, вводятся обратные тригонометрические функции, иначе называемые круговыми, или аркфункциями (от латинского слова arcus - «дуга»).
Рис. 1
Основным четырем тригонометрическим функциям sin x, cos x, tg x и ctg x соответствуют четыре аркфункции arcsin x, arccos x, arctg x и arcctg x (читается: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс). Рассмотрим функции arcsin x и arctg x, поскольку две другие выражаются через них по формулам:
arccos x = π/2 - arcsin x, arcctg x = π/2 - arctg x.
Равенство y = arcsin x по определению означает такой угол y, выраженный в радианной мере и заключенный в пределах от - π/2 до π/2, синус которого равен x, т.е. sin y = x. Функция arcsin x является функцией, обратной функции sin x, рассматриваемой на отрезке [-π/2, +π/2], где эта функция монотонно возрастает и принимает все значения от -1 до +1. Очевидно, что аргумент у функции arcsin x может принимать значения лишь из отрезка [-1,+1]. Итак, функция y = arcsin x определена на отрезке [-1,+1], является монотонно возрастающей, и ее значения заполняют отрезок [-π/2, +π/2]. График функции показан на рис. 2.
Рис. 2
При условии -1≤a≤1 все решения уравнения sin x = a представим в виде x = (-1)n arcsin a + πn, n = 0,±1,±2,.... Например, если
sin x = (√2)/2, то x = (-1)nπ/4 + πn, n = 0,±1,±2,....
Соотношение y = arctg x определено при всех значениях x и по определению означает, что угол y, выраженный в радианной мере, заключен в пределах
-π/2 < y <π/2
и тангенс этого угла равен x, т. е. tg y = x. Функция arctg x определена на всей числовой прямой, является функцией, обратной функции tg x, которая рассматривается лишь на интервале
-π/2 < x <π/2.
Функция y = arctg x монотонно возрастающая, ее график дан на рис. 3.
Рис. 3
Все решения уравнения tg x = a могут быть записаны в виде x = arctg a + πn, n = 0,±1,±2,....
Заметим, что обратные тригонометрические функции широко используются в математическом анализе. Например, одной из первых функций, для которых было получено представление бесконечным степенным рядом, была функция arctg x. Из этого ряда Г. Лейбниц при фиксированном значении аргумента x=1 получил знаменитое представление числа π бесконечным рядом
π = 4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...).
ОБЪЕМ
Объем - величина, характеризующая размер геометрического тела. В повседневной жизни нам часто приходится определять объемы различных тел. Например, нужно определить объем ящика, коробки. Это несложно подсчитать: объем прямоугольного параллелепипеда определяется как произведение величин длины, ширины и высоты. Все эти измерения должны быть выражены в одних и тех же линейных единицах.
Ребенок, не знающий формул, может подойти к измерению объема коробки и чисто опытным путем - плотно уложить в нее кубики с сантиметровым ребром. Их число и выразит собою объем коробки в кубических сантиметрах. В основе такого приема лежит правило: объем тела, составленного из непересекающихся тел, равен сумме их объемов.
В житейской практике единицами объема служили меры емкости, используемые для хранения сыпучих и жидких тел. Среди них английские меры бушель (36,4 дм3) и галлон (4,5 дм3), меры, когда-то применявшиеся в России, - ведро (12 дм3) и бочка (490 дм3) и др.
Поиск формул, позволяющих вычислять объемы тел, был долог. Например, в древнеегипетских папирусах, в вавилонских клинописных табличках встречаются правила для определения объема усеченной пирамиды, но не сообщаются правила для вычисления объема полной пирамиды. Определять объем призмы, пирамиды, цилиндра и конуса умели древние греки и до Архимеда. Но только он нашел общий метод, позволяющий определить любую площадь или объем. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объемы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Он вывел, что объем шара составляет две трети от объема описанного около него цилиндра. Он считал это открытие самым большим своим достижением (см. Вписанные и описанные фигуры).
Если тело рассечь на части и потом сложить их по-иному, то объем полученного тела будет равен объему исходного (см. Равновеликие и равносоставленные фигуры). Этим правилом пользуются, отыскивая формулы объемов различных тел. Например, наклонный параллелепипед можно разбить на части и перекомпоновать их таким образом, чтобы получился прямоугольный параллелепипед. Отсюда следует, что объем наклонного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.
Применяют при вычислении объемов и принцип Кавальери (см. Кавальери принцип). В этом случае рассматриваются два тела. Они рассекаются плоскостями, параллельными некоторой данной плоскости и равноотстоящими от нее. Если оба получившихся сечения каждый раз будут одинаковы по площади, то будут равны и объемы обоих тел. На основании этого принципа нетрудно вывести формулу для объема призмы и шара.
Объемы сложных тел можно отыскивать, вписывая в них более простые тела. Например, определяя объем пирамиды, можно вписать в нее стопку призм и подсчитать их суммарный объем, затем вписать стопку призм, имеющих меньшую высоту, и вновь подсчитать их суммарный объем и т.д. Повторяя эту процедуру неограниченное число раз и устремляя к нулю высоту вписываемых призм, нетрудно получить в пределе известную формулу для объема пирамиды. Объем цилиндра можно определить похожим способом, вписывая в него призмы, у которых в основании лежат многоугольники со все увеличивающимся числом сторон. Вписывая такие же многоугольники в основание конуса и принимая их за основания пирамид, вписанных в конус, нетрудно определить и его объем.
Наиболее общие методы нахождения объемов тел дает интегральное исчисление.