Формы круга, окружности мы встречаем повсюду: это и колесо машины, и линия горизонта, и диск Луны. Математики стали заниматься геометрической фигурой - кругом на плоскости - очень давно.
Кругом с центром O и радиусом R называется множество точек плоскости, удаленных от O на расстояние, не большее R. Круг ограничен окружностью, состоящей из точек, удаленных от центра O в точности на расстояние R. Отрезки, соединяющие центр с точками окружности, имеют длину R и также называются радиусами (круга, окружности). Части круга, на которые он делится двумя радиусами, называются круговыми секторами (рис. 1). Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности, - делит круг на два сегмента, а окружность – на две дуги (рис. 2). Перпендикуляр, проведенный из центра к хорде, делит ее и стягиваемые ею дуги пополам. Хорда тем длиннее, чем ближе она расположена к центру; самые длинные хорды - хорды, проходящие через центр, - называются диаметрами (круга, окружности).
Рис. 1
Рис. 2
Если прямая удалена от центра круга на расстояние d, то при d>R она не пересекается с кругом, при d < R пересекается с кругом по хорде и называется секущей, при d = R имеет с кругом и окружностью единственную общую точку и называется касательной. Касательная характеризуется тем, что она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. К кругу из точки, лежащей вне его, можно провести две касательные, причем их отрезки от данной точки до точек касания равны.
Дуги окружности, как и углы, можно измерять в градусах и его долях. За градус принимают 1/360 часть всей окружности. Центральный угол AOB (рис. 3) измеряется тем же числом градусов, что и дуга AB, на которую он опирается; вписанный угол ACB измеряется половиной дуги AB. Если вершина P угла APB лежит внутри круга, то этот угол в градусной мере равен полусумме дуг AB и A'B' (рис. 4,а). Угол с вершиной P вне круга (рис. 4,б), высекающий на окружности дуги AB и A'B', измеряется полуразностью дуг A'B' и AB. Наконец, угол между касательной и хордой равен половине заключенной между ними дуги окружности (рис. 4,в).
Рис. 3
Рис. 4
Круг и окружность имеют бесконечное множество осей симметрии.
Из теорем об измерении углов и подобия треугольников следуют две теоремы о пропорциональных отрезках в круге. Теорема о хордах говорит, что если точка M лежит внутри круга, то произведение длин отрезков AM·BM проходящих через нее хорд постоянно. На рис. 5,a AM·BM=A'M·B'M. Теорема о секущей и касательной (имеются в виду длины отрезков частей этих прямых) утверждает, что если точка M лежит вне круга, то произведение секущей MA на ее внешнюю часть MB тоже неизменно и равно квадрату касательной MC (рис. 5,б).
Рис. 5
Еще в древности пытались решить задачи, связанные с кругом, - измерить длину окружности или ее дуги, площадь круга или сектора, сегмента. Первая из них имеет чисто «практическое» решение: можно уложить вдоль окружности нить, а потом развернуть ее и приложить к линейке или же отметить на окружности точку и «прокатить» ее вдоль линейки (можно, наоборот, «обкатить» линейкой окружность). Так или иначе измерения показывали, что отношение длины окружности L к ее диаметру d=2R одно и то же для всех окружностей. Это отношение принято обозначать греческой буквой π («пи» - начальная буква греческого слова perimetron, которое и означает «окружность»).
Однако древнегреческих математиков такой эмпирический, опытный подход к определению длины окружности не удовлетворял: окружность - это линия, т.е., по Евклиду, «длина без ширины», а таких нитей не бывает. Если же мы катим окружность по линейке, то возникает вопрос: почему при этом мы получим длину окружности, а не какую-нибудь другую величину? К тому же такой подход не позволял определить площадь круга.
Выход был найден такой: если рассмотреть вписанные в круг K правильные n-угольники Mn, то при n, стремящемся к бесконечности, Mn в пределе стремятся к K. Поэтому естественно ввести следующие, уже строгие, определения: длина окружности L - это предел последовательности периметров Pn правильных вписанных в окружность n-угольников, а площадь круга S - предел последовательности Sn их площадей. Такой подход принят и в современной математике, причем по отношению не только к окружности и кругу, но и к другим кривым или ограниченным криволинейными контурами областям: вместо правильных многоугольников рассматривают последовательности ломаных с вершинами на кривых или контурах областей, а предел берется при стремлении длины наибольшего звена ломаной к нулю.
Аналогичным образом определяется длина дуги окружности: дуга делится на n равных частей, точки деления соединяются ломаной и длина дуги l полагается равной пределу периметров ln таких ломаных при n, стремящемся к бесконечности. (Подобно древним грекам, мы не уточняем само понятие предела - оно относится уже не к геометрии и было вполне строго введено лишь в XIX в.)
Из самого определения числа π следует формула для длины окружности:
L=πd=2πR.
Для длины дуги можно записать аналогичную формулу: поскольку для двух дуг Г и Г' с общим центральным углом из соображений подобия вытекает пропорция ln:l'n=R:R', а из нее - пропорция ln:R=l'n:R', после перехода к пределу мы получаем независимость (от радиуса дуги) отношения l/R=l'/R'=α. Это отношение определяется только центральным углом AOB и называется радианной мерой этого угла и всех отвечающих ему дуг с центром в O. Тем самым получается формула для длины дуги:
l=αR,
гдеα - радианная мера дуги.
Записанные формулы для L и l - это всего лишь переписанные определения или обозначения, но с их помощью получаются уже далекие от просто обозначений формулы для площадей круга и сектора:
S=πR2, S=1/2 αR2.
Для вывода первой формулы достаточно перейти к пределу в формуле для площади вписанного в круг правильного n-угольника:
Sn=1/2 Pnhn.
По определению левая часть стремится к площади круга S, а правая - к числу
1/2 LR = 1/2 ·2πR·R = πR2
(апофема hn, конечно, стремится к R). Совершенно аналогично выводится и формула для площади сектора s:
s = limSn = lim(1/2 lnhn) = 1/2 lim ln·lim hn = 1/2 lR = 1/2 αR2
(lim - читается «предел»). Тем самым решена и задача определения площади сегмента с хордой AB, ибо она представляется как разность или сумма (рис. 1, 2) площадей соответствующих сектора и треугольника AOB.
ОКРУЖНОСТЬ ДЕВЯТИ ТОЧЕК
У каждого треугольника имеется, и притом единственная, окружность девяти точек. Это - окружность, проходящая через следующие три тройки точек, положение которых определено для треугольника (рис. 1): основания его высот D1,D2 и D3, основания его медиан D4,D5 и D6, середины D7,D8 и D9 отрезков прямых от точки пересечения его высот H до его вершин.
Рис. 1
Эта окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером (поэтому ее часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали этого учителя Карл Фейербах (он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха). Дополнительно К. Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это - точки ее касания с четырьмя окружностями специального вида (рис. 2). Одна из этих окружностей вписанная, остальные три - вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек D10,D11,D12 и D13 называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек.
Рис. 2
Окружность эту очень легко построить, если знать два ее свойства. Во-первых, центр окружности девяти точек лежит в середине отрезка, соединяющего центр описанной около треугольника окружности с точкой H - его ортоцентром (точка пересечения его высот). Во-вторых, ее радиус для данного треугольника равен половине радиуса описанной около него окружности.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Определение - математическое предложение, предназначенное для введения нового понятия на основе уже известных нам понятий. В определении обычно содержится слово «называется». Например, определение ромба формулируется следующим образом: «Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны между собой». В этом определении новое понятие «ромб» введено на основе ряда понятий, уже известных к этому времени: «параллелограмм», «сторона», «смежные стороны», «равенство отрезков». Эти ранее введенные понятия, в свою очередь, определяются через предыдущие. Например, «параллелограмм» определяется через ранее введенные понятия «четырехугольник», «противоположные стороны четырехугольника», «параллельные прямые». В конце концов мы приходим к небольшому числу первоначальных понятий, через которые можно определить все встречающиеся в курсе геометрии понятия. Сами же первоначальные понятия не определяются, а их свойства описываются аксиомами.
Данное выше определение ромба можно записать в виде:
(дан параллелограмм ABCD) (ABCD - ромб).
Эта запись похожа на запись теоремы (см. Необходимое и достаточное условия), но здесь назначение частей этой записи иное. Первая часть записи (аналогичная разъяснительной части теоремы) указывает родовое понятие, с помощью которого вводится новое понятие. В данном случае родовым понятием является параллелограмм, т.е. ромбы выделяются из множества всех параллелограммов. Вторая часть определения (аналогичная условию теоремы) указывает видовые отличия, т.е. те свойства, которыми должен обладать параллелограмм, чтобы его можно было назвать ромбом. Наконец,