третья часть определения (аналогичная заключению теоремы) вводит новый термин, т.е. название вводимого понятия - в данном случае «ромб». То, что ABCD является ромбом (при выполнении видовых отличий), доказывать не нужно - это справедливо по определению. Поэтому под знаком ставят запись «опр.», которая указывает, что мы имеем дело с определением, а не с теоремой.
Еще один пример: квадратом называется ромб, один из углов которого - прямой. Это можно записать так:
(дан ромб ABCD) (ABCD - квадрат).
Здесь родовое понятие - ромб, видовое отличие задается равенством ∠A = 90° (т. е. один из углов - прямой), а новый термин (т.е. название вводимого понятия) - квадрат (рис. 1).
Рис. 1
Аналогично могут быть рассмотрены и другие определения. Например, при рассмотрении поля родовым понятием является множество, а видовыми отличиями - аксиомы поля (см. Аксиоматика и аксиоматический метод).
В принципе можно обойтись вовсе без определений, излагая какую-либо математическую теорию. Например, можно изгнать термин «гипотенуза» из школьного курса геометрии, заменив его всюду на «сторона треугольника, лежащая против прямого угла». Уже из этого примера видно, насколько такая замена удлиняет текст (и осложняет его понимание), а ведь мы заменяем только одно слово! Легко представить себе, что было бы, если бы мы захотели излагать геометрию (и не только геометрию) вовсе без определений!
Давая определения, нужно следить за тем, чтобы не возникло порочного круга. Такой порочный круг возникнет, например, если мы определим простое число как число, не являющееся составным, а затем определим составное число как число, не являющееся простым. Ясно, что такие «определения», по сути дела, ничего не определяют. Другими словами, нельзя, чтобы какое-то понятие A1 определялось через A2, A2 - через A3, …, Ak-1 - через Ak, а Ak - снова через A1.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ
Определитель - число, поставленное по определенным правилам в соответствие квадратной матрице.
Определителем квадратной матрицы второго порядка называют число a11a22 - a12a21.
Его обозначают det A, или
.
Часто вместо слова «определитель» говорят «детерминант», откуда и взялось указанное обозначение.
Определитель третьего порядка определим через определители второго порядка:
Здесь первые множители в знакочередующейся сумме - числа первой строки, а вторые множители - определители матриц, полученных вычеркиванием строки и столбца, которым принадлежит первый множитель.
Порядок определителя можно увеличивать и дальше. Пусть определены определители матриц вплоть до (n-1)-го порядка. Определителем матрицы n-го порядка
назовем число
где вновь имеем знакочередующуюся сумму произведений, в которых один из множителей - элемент первой строки, а другой - определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученной вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит первый множитель.
Вычислим, например, определитель третьего порядка:
Определители играют важную роль в решении систем линейных уравнений.
Любопытно, что если составить из координат двух векторов d = (a1,a2) и b = (b1,b2) определитель
,
то его величина, с точностью до знака, равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 1), а для трех векторов в пространстве , , определитель
равен, опять с точностью до знака, объему параллелепипеда, построенного на этих векторах (рис. 2).
Рис. 1
Рис. 2
ОТРЕЗОК И ИНТЕРВАЛ
Отрезок - одна из основных геометрических фигур. Отрезком называется часть прямой, лежащая между точками A и B, включая и сами эти точки. Отрезок обозначается [AB]. Точки A и B называются его концами. Любая точка отрезка, лежащая между его концами, называется внутренней точкой отрезка. Длина отрезка равна расстоянию между его концами и обозначается |AB|.
Если рассматриваемая прямая является числовой прямой и ее точкам A и B соответствуют числа a и b (a < b), то отрезком будет множество всех действительных чисел x, удовлетворяющих неравенствам a ≤ x ≤ b, он обозначается [a,b]. Множество точек x, для которых справедливы неравенства a < x < b, называется интервалом и обозначается ]a,b[ или (a,b). Длина отрезка и интервала равна числу b - a. Вся числовая прямая обозначается бесконечным интервалом ]-∞ +∞[, бесконечные интервалы ]-∞, a[ и ]b, +∞[ есть соответственно лучи: первый состоит из всех чисел, меньших a, второй - из всех чисел, больших b.
Хотя разница между отрезком и интервалом, казалось бы, невелика, однако свойства непрерывных функций различаются в зависимости от того, рассматриваем мы их на отрезке или интервале. В частности, функция, непрерывная на отрезке, обязана быть ограниченной, а функция, непрерывная на интервале, может ограниченной и не быть.
ПАРАБОЛА
Парабола - одно из конических сечений. Эту кривую можно определить как фигуру, состоящую из всех тех точек M плоскости, расстояние каждой из которых до заданной точки F, называемой фокусом параболы, равно ее расстоянию до заданной прямой l, называемой директрисой параболы (рис. 1). Ближайшая к директрисе точка параболы называется вершиной параболы; прямая, проходящая через фокус перпендикулярно директрисе, - это ось симметрии параболы. Ее называют просто осью параболы.
Рис. 1
Определение параболы наводит на идею конструкции чертежного прибора, способного вычерчивать параболу. На листе бумаги (рис. 2) нужно закрепить линейку (ее край будет директрисой будущей параболы), в точке F, которая станет фокусом параболы, булавкой прикрепить конец нити, другой конец которой закрепить в вершине острого угла чертежного треугольника, притом так, чтобы длина нити равнялась катету этого треугольника. Перемещая второй катет вдоль линейки и прижимая нить острием карандаша к первому катету треугольника, мы получим кривую, точки которой находятся на одинаковых расстояниях от края линейки и от точки F, т.е. параболу.
Рис. 2
В геометрии принято записывать уравнение параболы в системе координат, осью абсцисс которой является ось параболы, а осью ординат - перпендикулярная ей прямая, проходящая через вершину параболы. Такое уравнение имеет вид
y2 = 2px.
Число p в записи уравнения параболы называется параметром параболы; фокус параболы находится в точке (P/2,0), число p - длина отрезка FK (рис. 1).
В математическом анализе принята другая запись уравнения параболы:
y=ax2,
т.е. ось параболы выбрана за ось ординат. Параболой же будет и график любого квадратного трехчлена.
Хорошо известно, что траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Однако мало кто знает, что зона достижимости для пущенных нами камней вновь будет параболой. В данном случае мы говорим об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки (рис. 3) под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью. Если рассматривать такую огибающую в пространстве, то возникнет поверхность, образованная вращением этой параболы вокруг ее оси. Такая поверхность носит название параболоида вращения.
Рис. 3
Как и другие конические сечения, парабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно ее оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения (рис. 4).
Рис. 4
Очевидно, что пучок параллельных лучей, двигающийся вдоль оси параболы, отражаясь, собирается в ее фокусе. На этом основана идея телескопов-рефлекторов, зеркала которых выполнены в виде параболоидов вращения. Любопытно, что параболоид вращения образует поверхность жидкости в цилиндрическом сосуде, если его вращать относительно своей оси.
Если параболоид вращения равномерно сжать к одной из плоскостей, проходящих через его ось, то получается поверхность, которая называется эллиптическим параболоидом. Это название объясняется тем, что любое плоское сечение этой поверхности - либо эллипс, либо парабола (рис. 5). Уравнение эллиптического параболоида имеет вид
z = x2/a2 + y2/b2.
Рис. 5
Если a=b, то такой эллиптический параболоид будет параболоидом вращения.
Существует еще один тип параболоидов - гиперболический. Это седлообразная поверхность, интересная особенность которой - наличие прямых, целиком принадлежащих этой поверхности, как и у однополостного гиперболоида (рис. 6). Ее плоскими сечениями будут параболы и гиперболы. Если секущая плоскость касается поверхности, то гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых. Уравнение гиперболического параболоида имеет вид
z = x2/a2 - y2/b2.
Рис. 6
Слово «парабола» применяют часто ко всем кривым, уравнение которых является степенной функцией. Так, график функции y = x3 называется кубической параболой, график функции y = x4 - параболой четвертой степени, а график функции y = x3/2 - полукубической параболой.
Знание свойств параболы помогает и при изучении корней квадратного уравнения, поскольку они являются точками пересечения параболы - графика квадратного трехчлена с осью абсцисс.
ПАСКАЛЯ ТРЕУГОЛЬНИК
На рис. 1 изображено несколько первых строк числового треугольника, образованного по следующему правилу: по краям каждой строки