стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух стоящих над ним чисел предыдущей строки. По этому правилу легко выписывать одну за другой новые строки этого треугольника. Именно в такой форме он приведен в «Трактате об арифметическом треугольнике» французского математика Б. Паскаля (1623-1662), опубликованном в 1665 г., уже после смерти автора. Но несколько иные варианты этой числовой таблицы встречались столетием раньше у итальянского математика Н. Тартальи, а за несколько веков до этого у среднеазиатского ученого и поэта Омара Хайяма, некоторых китайских и индийских ученых.
Рис. 1
Популярность чисел, составляющих треугольник Паскаля, не удивительна: они возникают в самых естественных задачах алгебры, комбинаторики, теории вероятностей, математического анализа, теории чисел.
Сколько различных k-элементных множеств (сочетаний) можно образовать из данных n элементов? (рис. 2).
Рис. 2
Из 4 различных элементов можно составить такие множества одноэлементных, двухэлементных, трехэлементных и четырехэлементное
Каковы коэффициенты многочлена (1+x)n?
Сколько существует строчек из n единиц и нулей, в которых ровно k единиц?
Сколькими разными путями можно спуститься из верхней точки A на рис. 3 в k-й перекресток n-го ряда?
Рис. 3
На все эти вопросы ответ дают числа треугольника Паскаля. Обозначение предполагает, что верхняя строка треугольника Паскаля состоит из одного числа , следующая (первая) - из двух чисел , и вообще n-я строка состоит из n + 1 чисел:
Числа называют обычно числами сочетаний из n элементов по k, или биномиальными коэффициентами (см. Ньютона бином); в некоторых книгах для них используют обозначение . Оно удобно для запоминания простой формулы, позволяющей по заданным номерам n и k сразу вычислить, какое число стоит на k-м месте в n-й строке треугольника Паскаля:
Используя обозначение факториала m! = 1·2·...·m, эту формулу можно записать еще короче:
.
В «равнобедренной» форме треугольника Паскаля на рис. 1 очевидно свойство симметрии каждой строки ; при этом посередине строки стоит самое большое число (если n четно) или два самых больших числа (если n нечетно), а к краям числа монотонно убывают.
Если записать тот же треугольник в «прямоугольной» форме (рис. 4), то целый ряд свойств треугольника Паскаля, связанный с суммами его чисел, будет удобнее наблюдать. В частности, сумма нескольких первых чисел каждого столбца равна идущему за ними числу следующего столбца:
(числа называются треугольными числами, а числа - пирамидальными; см. Фигурные числа); и вообще, при m > k
.
Рис. 4
Суммы чисел по «восходящим» (зеленым) диагоналям на рисунке 4 равны последовательным числам Фибоначчи (см. Фибоначчи числа).
Для применений в теории вероятностей особенно важны асимптотические формулы для чисел треугольника Паскаля, т.е. приближенные оценки этих чисел при больших n.
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДРОБЬ
Периодическая дробь - это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, периодически повторяется определенная группа цифр. Например, 2,51313.... Обычно такую дробь записывают короче: 2,5(13), т.е. помещают повторяющуюся группу цифр в скобки и говорят: «13 в периоде». Примером непериодической бесконечной дроби может служить дробь 0,1010010001..., у которой количество нулей между единицами все время увеличивается на 1, а также дробь, представляющая собой любое другое иррациональное число, например √3. Если в периодической дроби повторяющаяся группа цифр расположена непосредственно после запятой, то такую дробь называют чистой, в противном случае - смешанной. Всякую периодическую дробь можно обратить в обыкновенную, т.е. периодические дроби являются числами рациональными. Чистая периодическая дробь, меньшая 1, равна такой правильной обыкновенной дроби, в числителе которой стоит период, а в знаменателе - число, изображенное цифрой 9, которая написана столько раз, сколько цифр в периоде.
Так, 0,(12) = 12/99 = 4/33. Теперь нетрудно обратить в обыкновенную дробь любую периодическую дробь. Покажем, как это делается, на примере:
3,1(3) = 3 + 0,1 + 0,0(3) = 3 + 1/10 + 1/10·3/9 = 47/15.
Вывод этого правила основан на формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. При решении обратной задачи (обращение обыкновенной дроби в десятичную) всегда получается либо конечная десятичная дробь, либо периодическая дробь. При этом конечная десятичная дробь получается тогда, когда знаменатель несократимой обыкновенной дроби не содержит никаких простых множителей, кроме 2 и 5; чистая периодическая - когда знаменатель несократимой обыкновенной дроби не делится ни на 2, ни на 5; во всех остальных случаях получается смешанная периодическая дробь.
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Изучая явления природы, решая технические задачи, мы сталкиваемся с периодическими процессами, которые можно описать функциями особого вида.
Функция y=f(x) с областью определения D называется периодической, если существует хотя бы одно число T > 0, такое, при котором выполняются следующие два условия:
1) точки x + T, x - T принадлежат области определения D для любого x ∈ D;
2) для каждого x из D имеет место соотношение
f(x) = f(x+T) = f(x-T).
Число T называется периодом функции f(x). Иными словами, периодической функцией является такая функция, значения которой повторяются через некоторый промежуток. Например, функция y = sin x - периодическая (рис. 1) с периодом 2π.
Рис. 1
Заметим, что если число T является периодом функции f(x), то и число 2T также будет ее периодом, как и 3T, и 4T и т.д., т.е. у периодической функции бесконечно много разных периодов. Если среди них имеется наименьший (не равный нулю), то все остальные периоды функции являются кратными этого числа. Заметим, что не каждая периодическая функция имеет такой наименьший положительный период; например, функция f(x) = 1 такого периода не имеет. Важно также иметь в виду, что, например, сумма двух периодических функций, имеющих один и тот же наименьший положительный период T0, не обязательно имеет тот же самый положительный период. Так, сумма функций f(x) = sin x и g(x) = - sin x вообще не имеет наименьшего положительного периода, а сумма функций f(x) = sin x + sin 2x и g(x) = - sin x, наименьшие периоды которых равны 2π, имеет наименьший положительный период, равный π.
Если отношение периодов двух функций f(x) и g(x) является рациональным числом, то сумма и произведение этих функций также будут периодическими функциями. Если же отношение периодов всюду определенных и непрерывных функций f и g будет иррациональным числом, то функции f + g и fg уже будут непериодическими функциями. Так, например, функции cos x·sin x√2 и являются непериодическими, хотя функции sin x и cos x периодичны с периодом 2π, функции и периодичны с периодом π√2.
Отметим, что если f(x) - периодическая функция с периодом T, то сложная функция (если, конечно, она имеет смысл) F(f(x)) является также периодической функцией, причем число T будет служить ее периодом. Например, функции y = sin2 x, (рис. 2, 3) периодические функции (здесь: F1(z) = z2 и F2(z) = √z̄). Не следует, однако, думать, что если функция f(x) имеет наименьший положительный период T0, то и функция F(f(x)) будет иметь такой же наименьший положительный период; например, функция y = sin2 x имеет наименьший положительный период, в 2 раза меньший, чем функция f(x) = sin x (рис. 2).
Рис. 2
Рис. 3
Нетрудно показать, что если функция f периодична с периодом T, определена и дифференцируема в каждой точке действительной прямой, то функция f'(x) (производная) есть также периодическая функция с периодом T, однако первообразная функция F(x) (см. Интегральное исчисление) для f(x) будет периодической функцией только в том случае, когда
.
ПЕРСПЕКТИВА
Слово «перспектива» происходит от латинского глагола perspicio - «ясно вижу». В изобразительном искусстве перспектива - способ изображения пространственных фигур на плоскости такими, какими они видны из одной неподвижной точки. Из опыта мы знаем, что при удалении предмета его видимые размеры уменьшаются, уходящие вдаль параллельные прямые (например, два рельса железнодорожного пути) представляются нам сходящимися в одной точке на горизонте, а круглое озеро выглядит с берега как вытянутый овал.
Точные законы перспективы разрабатывали архитекторы, художники и ученые эпохи Возрождения начиная с XV в., среди них - Ф. Брунеллески, П. Уччелло, Пьеро делла Франческо, Леонардо да Винчи, А. Дюрер и другие.
На одной из гравюр А. Дюрера изображено, как художник рисует лютню. Перед ним стоит прибор, который состоит из рамки с натянутой на нее квадратной сеткой и прикрепленным перед ней глазком; глядя в этот глазок на лютню, художник переносит ее изображение на лежащий перед ним лист бумаги, на котором нанесена такая же, как на рамке, квадратная сетка. Это практическая школа перспективы.
Гравюра А. Дюреро «Построение перспективы лютни».
Сформулируем математическую задачу построения перспективного изображения. Представим себе прозрачную плоскость p картины, расположенную между точкой S, откуда идет наблюдение, называемой точкой зрения (глазом художника), и изображаемым предметом. Каждая точка M предмета должна изображаться точкой M' картины, в которой прямая линия MS пересекает плоскость p. Отсюда предложенное Леонардо да Винчи название линейная перспектива (в отличие от воздушной перспективы, объясняющей и использующей уменьшение контрастности и изменение окраски удаленных предметов). Свойства линейной перспективы - это свойства центральной проекции (см. Проекция) на плоскость p с центром S. На рис. 1 показано, как получается изображение двух параллельных железнодорожных рельсов: две плоскости, образующие «крышу домика» (в которых лежат проецирующие лучи), пересекаются по горизонтальной прямой l, проходя