щей через точку зрения S. В точке H пересечения l с картинной плоскостью сходятся две прямые, изображающие рельсы на картине.
Рис. 1
Вообще, для каждого семейства параллельных прямых их изображения сходятся в одной точке H; если эти прямые горизонтальны, то H лежит на «линии горизонта» - прямой, по которой проходящая через S горизонтальная плоскость пересекает картину. Такое семейство прямых хорошо видно на рисунке к статье «Проективная геометрия».
Построить для пространственной и даже для плоской фигуры ее точное перспективное изображение не всегда простая задача. Такие задачи относятся к начертательной геометрии, которую изучают в архитектурных, некоторых технических и художественных учебных заведениях. Приведем несколько примеров.
На двух рисунках 2а,б изображены ряды равноотстоящих телеграфных столбов, уходящих к «бесконечно удаленной» точке H на линии горизонта. Какой из них правильный? Может быть, оба? Наш зрительный опыт подсказывает, что правилен рис. 2а. Можно доказать, что расстояния от H до оснований столбов (и также высоты столбов) должны убывать, как числа, обратные к членам арифметической прогрессии, а на левом рисунке эти величины ведут себя как члены геометрической прогрессии - каждый раз убывают вдвое.
Рис. 2
В ряде задач практически удобно переносить изображение с плана на перспективную картину с помощью сетки квадратов (на рис. 3 по горизонтальной плоскости разбросаны одинаковые шары; их видимые размеры пропорциональны их видимым расстояниям от горизонта). Заметим, что изображения сторон квадратов, перпендикулярных картине, все сходятся в «центральной перспективной точке P», а их диагонали - в «точках удаления» S1 и S2. Названия этих точек объясняются тем, что расстояния |PS1| = |PS2| как раз равны расстоянию от художника S до картинной плоскости. Для построения перспективы можно не рисовать всю сетку квадратов, а использовать лишь точки удаления. Итальянский художник и архитектор А. Поццо на первых страницах своего классического трактата «Перспектива живописцев и архитекторов», изданного в Риме в 1693 г., пишет, как правильно построить перспективное изображение «продолговатого прямоугольника»: «...посредством циркуля на основной линии откладываем ширину AB прямоугольника; рядом откладываем его длину BE. От точек A и B проводим оптические линии к центральной перспективной точке P и от точки E - прямую к точке удаления S1 и затем (из точки C пересечения ES1 и BP) - прямую, параллельную линии AB, после чего прямоугольник предстанет в перспективе» (рис. 4; рядом справа изображен прямоугольник, у которого длина больше ширины).
Рис. 3
Рис. 4
Занимаясь геометрическими построениями перспективных изображений, нетрудно заметить, что некоторые прямые сами собой проходят через одну точку (как, скажем, диагонали и стороны квадратов на рис. 2). За этим фактом можно обнаружить интересные геометрические теоремы. Именно, разрабатывая теорию перспективы, французский архитектор Ж. Дезарг (1593-1662) ввел понятие бесконечно удаленной точки и доказал замечательные геометрические теоремы о конфигурациях точек и прямых, положившие начало новому разделу математики - проективной геометрии.
ПИФАГОРА ТЕОРЕМА
Теорема Пифагора - важнейшее утверждение геометрии. Теорема формулируется так: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.
Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (VI в. до н.э.). Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей (копий еще более древних манускриптов) показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора, возможно, за тысячелетие до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.
Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Достаточно взглянуть на мозаику из черных и светлых треугольников, изображенную на рис. 1, чтобы убедиться в справедливости теоремы для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе, содержит 4 треугольника, а на каждом катете построен квадрат, содержащий 2 треугольника. Для доказательства общего случая в Древней Индии располагали двумя способами: в квадрате со стороной a+b изображали четыре прямоугольных треугольника с катетами длин a и b (рис. 2,а и 2,б), после чего писали одно слово «Смотри!». И действительно, взглянув на эти рисунки, видим, что слева свободна от треугольников фигура, состоящая из двух квадратов со сторонами a и b, соответственно ее площадь равна a2 + b2, а справа - квадрат со стороной c - его площадь равна c2. Значит, a2 + b2 = c2, что и составляет утверждение теоремы Пифагора.
Однако в течение двух тысячелетий применяли не это наглядное доказательство, а более сложное доказательство, придуманное Евклидом, которое помещено в его знаменитой книге «Начала» (см. Евклид и его «Начала»), Евклид опускал высоту BH из вершины прямого угла на гипотенузу и доказывал, что ее продолжение делит построенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих квадратов, построенных на катетах (рис. 3). Чертеж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
В наши дни известно несколько десятков различных доказательств теоремы Пифагора. Одни из них основаны на разбиении квадратов, при котором квадрат, построенный на гипотенузе, состоит из частей, входящих в разбиения квадратов, построенных на катетах; другие - на дополнении до равных фигур; третьи - на том, что высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит прямоугольный треугольник на два подобных ему треугольника.
Теорема Пифагора лежит в основе большинства геометрических вычислений. Еще в Древнем Вавилоне с ее помощью вычисляли длину высоты равнобедренного треугольника по длинам основания и боковой стороны, стрелку сегмента по диаметру окружности и длине хорды, устанавливали соотношения между элементами некоторых правильных многоугольников. С помощью теоремы Пифагора доказывается ее обобщение, позволяющее вычислить длину стороны, лежащей против острого или тупого угла:
c2 = a2 + b2 - 2ab cos C. (1)
Из этого обобщения следует, что наличие прямого угла C в ΔABC является не только достаточным, но и необходимым условием для выполнения равенства c2 = a2 + b2. Из формулы (1) следует соотношение d12 + d22 = 2(a2 + b2) между длинами диагоналей и сторон параллелограмма, с помощью которого легко найти длину медианы треугольника по длинам его сторон.
На основании теоремы Пифагора выводится и формула, выражающая площадь любого треугольника через длины его сторон (см. Герона формула). Разумеется, теорему Пифагора применяли и для решения разнообразных практических задач.
Вместо квадратов на сторонах прямоугольного треугольника можно строить любые подобные между собой фигуры (равносторонние треугольники, полукруги и т.д.). При этом площадь фигуры, построенной на гипотенузе, равна сумме площадей фигур, построенных на катетах. Другое обобщение связано с переходом от плоскости к пространству. Оно формулируется так: квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений (длины, ширины и высоты). Аналогичная теорема верна и в многомерном и даже бесконечномерном случаях.
Теорема Пифагора существует только в евклидовой геометрии. Ни в геометрии Лобачевского, ни в других неевклидовых геометриях она не имеет места. Не имеет места аналог теоремы Пифагора и на сфере. Два меридиана, образующие угол 90°, и экватор ограничивают на сфере равносторонний сферический треугольник, все три угла которого прямые. Для него a2 + b2 = 2c2, а не c2, как на плоскости.
С помощью теоремы Пифагора вычисляют расстояние между точками M(x1,y1) и N(x2,y2) координатной плоскости по формуле
.
После того как была открыта теорема Пифагора, возник вопрос, как отыскать все тройки натуральных чисел, которые могут быть сторонами прямоугольных треугольников (см. Ферма великая теорема). Они были открыты еще пифагорейцами, но какие-то общие методы отыскания таких троек чисел были известны еще вавилонянам. Одна из клинописных табличек содержит 15 троек. Среди них есть тройки, состоящие из настолько больших чисел, что не может быть и речи о нахождении их путем подбора.
ГИППОКРАТОВЫ ЛУНОЧКИ
Гиппократовы луночки - фигуры, ограниченные дугами двух окружностей, и притом такие, что по радиусам и длине общей хорды этих окружностей с помощью циркуля и линейки можно построить равновеликие им квадраты.
Из обобщения теоремы Пифагора на полукруги следует, что сумма площадей розовых луночек, изображенных на рисунке слева, равна площади голубого треугольника. Поэтому, если взять равнобедренный прямоугольный треугольник, то получатся две луночки, площадь каждой из которых будет равна половине площади треугольника. Пытаясь рещить задачу о квадратуре круга (см. Классические задачи древности), древнегреческий математик Гиппократ (V в. до н.э.) нашел еще несколько луночек, площади которых выражены через площади прямолинейных фигур.
Полный перечень гиппокраювых луночек был получен лишь в XIX-XX вв. благодаря использованию методов теории Галуа.
ПЛОЩАДЬ
Площадью называется величина, характеризующая размер геометрической фигуры.