Рис. 2
Рис. 3
Еще один частный случай симметричных призм - параллелепипед, т.е. призма с параллелограммами в основаниях. Параллелепипед имеет 4 диагонали, которые пересекаются в одной точке O - центре симметрии параллелепипеда. В этой точке диагонали делятся пополам (рис. 4). Прямые параллелепипеды имеют еще и ось симметрии, проходящую через центры оснований (рис. 5). Если основаниями прямого параллелепипеда являются прямоугольники, то он называется прямоугольным. Прямоугольные параллелепипеды преобладают среди окружающих нас многогранных форм: это всевозможные коробки, комнаты, здания и т.д. Эти параллелепипеды имеют по три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии, пересекающиеся по трем осям симметрии (рис. 6). Среди прямоугольных параллелепипедов еще более симметричными являются правильные четырехугольные призмы (5 плоскостей симметрии) и куб (9 плоскостей симметрии - на рис. 7 показано, как они разрезают поверхность куба).
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Существует интересная связь между параллелепипедами и тетраэдрами: если через каждые два скрещивающихся ребра тетраэдра провести пару параллельных плоскостей, то получающиеся шесть плоскостей будут ограничивать описанный около тетраэдра параллелепипед (рис. 8). При этом правильному тетраэдру отвечает куб, равногранным тетраэдрам - прямоугольные параллелепипеды.
Рис. 8
Объем произвольной призмы равен произведению площади ее основания на высоту, т.е. на расстояние между плоскостями оснований. Есть еще одна формула для объема призмы V = S1·l, где l - длина бокового ребра, a S1 - площадь перпендикулярного боковым ребрам сечения призмы.
ПРОГРАММА ДЛЯ ЭВМ
Программа для вычислительной машины (от греческого слова programma - «объявление», «предписание», «указание», «распоряжение») - это запись на языке, понятном вычислительной машине, точно сформулированного задания на выполнение ей работы по обработке информации.
Понятие программы для вычислительной машины является по существу синонимом понятия алгоритм: добавляется лишь требование, что запись должна быть понятна вычислительной машине. Это требование, во-первых, ограничивает класс рассматриваемых процессов только обработкой информации, а во-вторых, ограничивает способ описания процессов исключительно языками программирования.
Программа обязательно содержит три раздела:
исходные данные или указание, где они находятся и откуда их можно взять (ввод);
правила получения результата по исходным данным (обработка);
указание, что нужно делать с полученным результатом (вывод).
Процесс составления программы называется программированием.
Программирование обычно начинается с формального математического или словесного описания процесса решения задачи. Затем это описание постепенно уточняется с учетом специфики языка программирования, на котором должна быть записана программа, а если этим языком является машинный, то с учетом особенностей машины и системы ее команд. Уточнение проводится до тех пор, пока не получится запись на языке программирования.
Наглядным вспомогательным средством, широко применяемым для составления программ, служат так называемые блок-схемы программ (алгоритмов). Элементами блок-схем являются блоки, соединенные стрелками. Стрелки определяют последовательность проведения вычислений, а внутри блоков указывается, в чем именно эти вычисления состоят. Основные типы блоков изображены на рисунке.
Блок-схема алгоритма Евклида. Условные обозначения основных типов блоков
Процесс (вычислительный блок), от него может отходить только одна стрелка; блок означает выполнение операции или группы операций, в результате которых изменяется значение данных.
Решение (логический блок) имеет 2 выходные стрелки - плюс-стрелку и минус-стрелку. Плюс-стрелка указывает последующий блок для этого логического блока при выполнении условия, указанного внутри блока, а минус-стрелка - в противном случае.
Ввод-вывод - это блок для обозначения операций ввода и вывода данных; от этого блока может отходить только одна стрелка.
Пуск-останов - блок для обозначения начала (в этом случае блок не имеет входных стрелок) или конца (в этом случае блок не имеет выходных стрелок) процесса обработки данных или выполнения программы.
Например, словесная запись алгоритма Евклида (нахождения наибольшего общего делителя d для двух целых чисел a и b, таких, что a > b ≥ 0) приведена в левой части табл. 1; в правой части - соответствующие строки программы на русском диалекте языка программирования АЛГОЛ-60. Блок-схема алгоритма (программы) изображена на рисунке. Цифры, стоящие на блоках, соответствуют номерам пунктов в таблице.
Таблица 1
Словесная запись | Программа | |
1. Взять два целых числа a и b, перейти на следующий пункт (далее переход на следующий пункт будет подразумеваться, если, конечно, явно не указано противоречащее действие) | ВВОД (A,B) | |
2. Если b≠0, то перейти на пункт 6 (иначе, т.е. если b = 0, то на следующий пункт) | 112: если B ≠ 0, то на П6 | |
3. Значение числа d сделать равным значению числа a | D := A | |
4. Наибольший общий делитель чисел a и b есть число d | ВЫВОД (D) | |
5. Закончить работу | СТОП | |
6. Найти остаток r от деления числа a на число b | П6: R := ОСТАТОК (A,B) | |
7. Значение числа a сделать равным значению числа b | A := B | |
8. Значение числа b сделать равным значению числа r | B := R | |
9. Перейти на пункт 2 | на П2 |
Легко увидеть, что пункт 6 в левой части табл. 1 и, разумеется, в правой тоже требует уточнения. Это уточнение приведено в табл. 2. Если его внести в правую часть табл. 1, то полученная запись алгоритма будет вполне понятна вычислительной машине, снабженной транслятором, т.е. как бы переводчиком, с соответствующего языка программирования.
Таблица 2
Словесная запись | Программа |
6.1. Найти частное s от деления числа a на число b | П6: S := A/B |
6.2. Найти число q, являющееся целой частью числа s | Q := EN TIER(S) |
6.3. Найти остаток r от деления числа a на число b | R := A - Q × B |
ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Издавна художники изображали на картинах перспективу при помощи линий, пересекающихся на горизонте. Один из замечательных этапов в истории геометрии начался, когда французский математик и архитектор Ж. Дезарг (1593-1662) решил придать этим представлениям художников точный математический смысл. Он предложил добавить к обычным конечным точкам плоскости еще дополнительные бесконечно удаленные точки, в которых пересекаются параллельные прямые. Бесконечно удаленные точки называли несобственными или идеальными, чтобы подчеркнуть их отличие от настоящих точек. Но дальше Дезарг призывал как можно быстрее забыть об этом различии, утверждая, что только тогда может быть польза от рассмотрения бесконечно удаленных точек.
Сколько бесконечно удаленных точек нужно добавить к плоскости? Естественно было бы считать, что все параллельные друг другу прямые пересекаются в одной бесконечно удаленной точке, которую и нужно добавить к точкам этих прямых. Важно было догадаться, что все эти точки для разных направлений прямых заполнят одну бесконечно удаленную прямую, которой на картинах художников служит линия горизонта. Полученная в результате плоскость называется расширенной или проективной.
В евклидовой геометрии взаимное положение точек и прямых регулируется двумя утверждениями: через две различные точки проходит единственная прямая, а две различные прямые или пересекаются в единственной точке, или параллельны. На расширенной плоскости эти утверждения становятся проще, поскольку любые две прямые там пересекаются, при этом различные свойства параллельных прямых превращаются в частные случаи утверждений для пересекающихся прямых. Пусть, например, мы имеем две точки: одну - конечную A, а другую - бесконечно удаленную B. Для задания B достаточно указать какую-нибудь прямую l, которой принадлежит B (все параллельные прямые пересекаются в B). Тогда утверждение о том, что через A и B проходит, и притом единственная, прямая, равносильно тому, что через точку A, не лежащую на l, проходит единственная прямая, параллельная l. Рассмотрев еще несколько подобных ситуаций, нетрудно убедиться, что очень удобно считать параллельность частным случаем пересечения.
В этих рассуждениях мы решительно разделяли конечные и бесконечно удаленные точки. Чтобы стереть эти различия, Дезарг предлагает рассуждать следующим образом. Различные плоскости в трехмерном пространстве воспринимаются как образы одной и той же плоскости, а картинки на этих плоскостях сравниваются при помощи центрального проектирования. А именно, фиксируется точка O в пространстве (рис. 1); точки A на плоскости α и A' на плоскости β считаются соответствующими друг другу (изображениями одной и той же точки на разных «картинах»), если A и A' лежат на одной прямой, проходящей через O. Так что если на