ным (зачем нужен знак для того, чего нет?), но в конце концов преимущества нового способа записи чисел стали ясны всем. Были выработаны правила выполнения арифметических операций над числами в десятичной системе счисления, не требовавшие использования абака, и этот способ записи чисел распространился по всему миру.
За основание системы счисления можно принять не только числа 10 или 60, но и любое натуральное число p, большее 1. Для записи чисел в p-ичной системе счисления нужно p цифр. Число, записанное цифрами ak,ak-1,...,a0 в p-ичной системе, равно akpk + ak-1pk-1 + ... + a0. Например: 3267 = 3·72 + 2·7 + 6 (индекс 7 означает, что число записано в семеричной системе). Если число записано в десятичной системе счисления, а его надо перевести в p-ичную систему, то делят это число на p с остатком. Потом делят на p с остатком неполное частное и т.д. до тех пор, пока не получится неполное частное, равное нулю. Выписывая подряд остатки, начиная с последнего и кончая первым, получаем искомую p-ичную запись нашего числа. Например, из того, что 29 = 4·6+5, а 4 = 0·6+4, вытекает, что 29 = 456.
Операции над натуральными числами в p-ичной системе счисления выполняются в обычном порядке, с той лишь разницей, что для каждой системы счисления надо брать свои таблицы сложения и умножения. Особенно простой вид эти таблицы имеют для двоичной системы счисления.
и
Еще в XVII в. немецкий математик Г. В. Лейбниц предложил перейти на двоичную систему счисления, но этому помешала не только традиция, но и то, что в двоичной системе счисления запись чисел слишком длинна. Например: 106 = 11010102. Однако в нашем веке, когда были созданы ЭВМ, оказалось, что для выполнения арифметических операций на этих машинах самой удобной является именно двоичная система счисления (см. Языки программирования).
СОВЕРШЕННЫЕ ЧИСЛА
В Древней Греции число называли совершенным, если оно равнялось сумме всех своих делителей (исключая само число). Например:
6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14;
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.
Указанные три числа - первые совершенные числа. Они, как и все остальные известные совершенные числа, четны. Еще древнегреческий математик Евклид в III в. до н.э. указывал, что четные совершенные числа могут быть получены в виде 2p-1(2p-1) в том случае, если число 2p-1 простое. Простые числа вида 2p-1 стали называть простыми числами Мерсенна, по имени французского монаха М. Мерсенна (1588-1648), много занимавшегося совершенными числами. Л. Эйлер показал, что этими числами исчерпываются все четные совершенные числа.
К настоящему времени числа вида 2p-1 проверены на простоту для всех p до 50000. В результате обнаружено более 30 простых чисел Мерсенна, самое большое из которых получается при p=132049. Это число с 39751 десятичным знаком. Соответствующее ему совершенное число 286242(286242-1) имеет 79502 десятичных знака. Итак, известно довольно много четных совершенных чисел, но не известно ни одного нечетного совершенного числа, хотя в поисках такого числа проверены все числа до 1050. Также неизвестно, конечно ли количество совершенных чисел.
СОФИЗМЫ
Софизм - доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Софистами называли группу древнегреческих философов IV-V вв. до н.э., достигших большого искусства в логике.
Приведем пример софизма. Если равны половины, то равны и целые. Полуполное есть то же, что и полупустое, значит, полное – то же самое, что пустое. К софизмам можно отнести доказательство того, что Ахиллес, бегущий в 10 раз быстрее черепахи, не сможет ее догнать. Пусть черепаха на 100 м впереди Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит эти 100 м, черепаха будет впереди него на 10 м. Пробежит Ахиллес эти 10 м, а черепаха окажется впереди на 1 м и т.д. Расстояние между ними все время сокращается, но никогда не обращается в нуль. Значит, Ахиллес никогда не догонит черепаху.
А вот два математических софизма. «Докажем», что все числа равны между собой.
Пусть a и b - произвольные числа и пусть a>b, тогда существует такое положительное число c, что a=b+c. Умножим это равенство на a-b и преобразуем полученное равенство:
a2-ab=ab+ac-b2-bc,
a2-ab-ac=ab-b2-bc,
a(a-b-c)=b(a-b-c).
Разделив обе части полученного равенства на (a-b-c), получим, что a=b. Ошибка здесь находится в самом конце, когда мы делили на число (a-b-c), которое равно нулю.
А вот «доказательство» того, что все треугольники - равнобедренные.
Рассмотрим произвольный треугольник ABC (рис. 1). Проведем в нем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC. Точку их пересечения обозначим через O. Из точки O опустим перпендикуляр OD на сторону AB и перпендикуляр OE на сторону BC. Очевидно, что OA=OC и OD=OE. Но тогда прямоугольные треугольники AOD и COE равны по катету и гипотенузе. Поэтому . В то же время , так как треугольник AOC - равнобедренный. Получаем: .
Рис. 1
Итак, угол BAC равен углу BCA, поэтому треугольник ABC - равнобедренный: AB=BC.
Здесь ошибка в чертеже. Серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса противоположного ей угла для неравнобедренного треугольника пересекаются вне этого треугольника.
И еще один пример софизма. Посмотрим на рис. 2. Прямоугольники явно равносоставлены, но площадь одного равна 64 клеткам, а площадь другого - 65. И здесь ошибка в чертеже! Точки B,E,F и D не лежат на одной прямой, а являются вершинами очень узкого параллелограмма, площадь которого равна площади одной клетки - той самой лишней клетки.
Рис. 2
СПИРАЛИ
Спирали - плоские кривые линии, многократно обходящие одну из точек на плоскости, называемую полюсом спирали. Такая форма кривой делает естественной запись ее уравнения в полярных координатах r = f(φ), где функция f монотонно увеличивается или монотонно уменьшается с увеличением угла φ, значения которого рассматриваются уже не на отрезке [0,2π], а, как правило, для всех действительных значений φ.
Рассмотрим несколько наиболее часто встречающихся спиралей.
Спираль Архимеда. Полярное уравнение архимедовой спирали, изученной древнегреческим математиком Архимедом, имеет вид r = aφ. Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между витками; каждое из них равно 2πa (рис. 1,а).
Рис. 1
По спирали Архимеда идет, например, на грампластинке звуковая дорожка. Перемещение острия корундовой иглы по этой дорожке будет результирующим двух равномерных движений: приближения к полюсу и вращения вокруг полюса.
Металлическая пластина с профилем в виде половины витка архимедовой спирали часто используется в конденсаторе переменной емкости. Одна из деталей швейной машины - механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку - имеет форму спирали Архимеда.
Квадратичная спираль. Ее уравнение в полярных координатах r = aφ2. Если положить рядом с центром вращающейся грампластинки натертый мелом шарик для настольного тенниса, то, скатываясь с нее, он оставит на грампластинке след в виде квадратичной спирали. Действительно, абсолютно горизонтально установить грампластинку не удастся, а прямая ее наибольшего наклона та, по которой шарик скатывается под действием силы тяжести, равномерно вращается по пластинке (рис. 1,б).
Логарифмическая спираль. Уравнение в полярных координатах логарифмической спирали имеет вид r = aφ. Спираль эта имеет бесконечное множество витков и при раскручивании (как и архимедова), и при скручивании. Последнее означает, что она не проходит через свой полюс. Логарифмическую спираль называют еще равноугольной спиралью. Это ее название отражает тот факт, что в любой точке логарифмической спирали угол между касательной к ней и радиусом-вектором сохраняет постоянное значение (рис. 1,в).
Логарифмическая спираль нередко используется в технических устройствах. Например, вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали - под постоянным углом к разрезаемой поверхности, благодаря чему лезвие ножа стачивается равномерно. Ночные бабочки, которые пролетают большие расстояния, ориентируясь по параллельным лунным лучам, инстинктивно сохраняют постоянный угол между направлением полета и лучом света. Если они ориентируются на точечный источник света, скажем на пламя свечи, инстинкт их подводит, и бабочки попадают в пламя по скручивающейся логарифмической спирали.
Спираль Корню. Эта кривая названа по имени французского физика XIX в. А. Корню. Главной особенностью спирали (рис. 1,г) является то, что ее кривизна прямо пропорциональна длине пройденного по ней пути.
При строительстве железных и шоссейных дорог возникает необходимость связать прямолинейные участки с участками пути, где средства транспорта движутся по дугам окружностей. При этом важно, чтобы кривизна пути изменялась равномерно, и спираль Корню является идеальной переходной кривой для закругления железнодорожного пути. При этом прямой участок пути должен переходить в дугу спирали Корню, начиная с ее центра. А с путем по окружности спираль Корню стыкуется в той ее точке, где ее кривизна равняется кривизне данной окружности.
СРАВНЕНИЯ
Два целых числа, разность которых кратна данному натуральному числу m, называются сравнимыми по модулю m. (Слово «модуль» происходит от латинского modulus, что по-русски означает «мера», «величина».) Утверждение «a сравнимо с b по модулю m» обычно записывают в виде