≥ 0. Неравенства для средних и сами средние широко применяются не только в алгебре, геометрии, математическом анализе, но и в статистике, в теории вероятностей (откуда пришло среднее квадратичное), при обработке результатов измерений.
Все рассмотренные средние являются частными случаями степенных средних: для положительных чисел a1,a2,...,an и отличного от нуля числа α степенным средним порядка α называется число
.
При α = -1,1,2 соответственно получается среднее гармоническое, среднее арифметическое и среднее квадратичное. При α = 0A(α) не определено, однако можно показать, что при стремлении α к нулю A(α) стремится к среднему геометрическому, и потому можно считать S(0) средним геометрическим. Основное свойство степенных средних - это монотонность: S(α1) ≤ S(α2), если α1<α2, в частности
S(-1) ≤ S(0) ≤ S(1) ≤ S(2).
Рассмотрим следующую процедуру. По двум положительным числам a и b составим их среднее арифметическое a1 = (a + b)/2 и среднее геометрическое , затем по числам a1 и b1 составим их среднее арифметическое a2 = (a1 + b1)/2 и среднее геометрическое . Продолжим этот процесс, определяя an и bn с помощью формул:
и .
Образуются две последовательности чисел (an) и (bn). Например, если взяты числа a=1 и b=3, то первые члены последовательностей будут такие:
В приведенном примере последовательности (an) и (bn) очень быстро сближаются. В общем случае, как было показано немецким математиком К. Ф. Гауссом, последовательности (an) и (bn) приближаются друг к другу достаточно быстро и имеют общий предел. Предел этот называется арифметико-геометрическим средним чисел a и b. Он не выражается элементарно через a и b, однако не является и каким-то математическим курьезом, а находит многочисленные применения в ряде разделов математики.
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
Степенная функция - функция вида y=xα, где α - заданное число, называемое показателем степени. Иногда степенной функцией называется функция несколько более общего вида y=axα.
Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию. Например, объем куба V есть степенная функция от x (длины его ребра): V = x3; период T колебаний математического маятника пропорционален длине маятника x в степени 1/2, а именно . Если газ расширяется или сжимается без теплообмена с окружающей средой, то его давление P и объем V связаны формулой V·Pk=C (для воздуха, например, k=-1,4). Заметим, что в двух последних случаях показатель не является целым числом.
При любом показателе степени α показательная функция y=xα определена во всяком случае на положительной полуоси. Свойства степенной функции различны в зависимости от значения показателя степени. Если α - натуральное число (α=n), то функция y = xn определена на всей числовой оси, обращается в нуль при x=0, четная при четном n и нечетная при n нечетном, неограниченно возрастает при безграничном возрастании аргумента x. На рис. 1 и 2 приведены графики типичных степенных функций с целым положительным показателем: y = x3 (кубическая парабола) и y = x4 (парабола четвертой степени). При n = 1 степенная функция y = x является линейной функцией, при n = 2 - квадратичной функцией y=x2.
Рис. 1
Рис. 2
Если α - отрицательное целое число (α = -n), то степенная функция определяется равенством y=1/xn. Она определена при всех отличных от нуля x. Ее график состоит из двух частей (ветвей), имеющих асимптотами оси координат, к которым эти кривые неограниченно приближаются. Типичные представители - функции y = 1/x и y=1/x2 их графики даны на рис. 3 и 4. При α = 0 по определению x0=1. Если α = 1/n, то функция y = x1/n (обозначается также ) определяется как обратная функция для функции y = xn. При четном n функция определена лишь для x ≥ 0, а при нечетном n - на всей оси. Графики таких функций и изображены на рис. 5 и 6.
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
Для рационального показателя α = p/q (p/q - несократимая дробь) степенная функция определяется формулой
y = xp/q = (x1/q)p.
Графики типичных степенных функций с рациональным показателем приведены на рис. 7, 8, 9.
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9
СФЕРА И ШАР
Точки пространства, удаленные от данной точки O на данное расстояние R, образуют сферу с центром O и радиусом R. Сфера ограничивает шар, состоящий из точек, удаленных от O на расстояние, не большее R. Эти геометрические объекты, так же как окружность и круг, рассматривали еще в глубокой древности. Открытие шарообразности Земли, появление представлений о небесной сфере дали толчок к развитию специальной науки - сферики, изучающей расположенные на сфере фигуры (см. Сферическая геометрия). Рассмотрим основные вопросы классической стереометрии: взаимное расположение шара (сферы) и других пространственных фигур, измерение объема шара и его частей, а также площади сферы и ее частей.
Прежде всего, плоскость α, проведенная на расстоянии d < R от центра O шара радиуса R, в пересечении с шаром дает круг радиуса с центром в точке H - основании перпендикуляра, проведенного из O к α (рис. 1). Если плоскость α отстоит от центра O на расстояние d = R, то α имеет с шаром (и сферой) единственную общую точку T. Такие плоскости называются касательными к шару (сфере); они характеризуются тем, что перпендикулярны радиусу OT, проведенному в точку касания.
Рис. 1
Круговое сечение шара делит его на два шаровых сегмента, а сферу - на две сегментные поверхности. Часть шара, ограниченная двумя параллельными круговыми сечениями и лежащим между ними сферическим поясом (или зоной), называется шаровой зоной (рис. 2). Радиусы, проведенные от центра шара к точкам сферы, принадлежащим одной сегментной поверхности или сферическому поясу, образуют шаровой сектор - он может быть ограничен сферическим сегментом или зоной и одной или двумя коническими поверхностями (рис. 3). Высота шаровой или сферической зоны - это расстояние между плоскостями сечений; высота шарового сегмента или сегментной поверхности определяется как расстояние от плоскости сечения до параллельной ей плоскости, касательной к этому сегменту (рис. 2). Высоту шарового сектора определяют как высоту соответствующей сегментной поверхности или сферического пояса (рис. 3).
Рис. 2
Рис. 3
Еще в Древней Греции умели вычислять объемы шаровых секторов и площади сферических зон или сегментов по формулам:
Vc = 2/3 πR2H, S3 = 2πRH,
где π, как обычно, - отношение длины окружности к ее диаметру. Рассматривая шар и сферу как частные случаи шарового сектора и сферической зоны - с высотами H = 2R, - мы получаем формулы для объема шара и площади сферы:
Vш = 4/3 πR3, Sсф = 4πR2.
Архимед интерпретировал эти формулы так: объем и поверхность шара составляют 2/3 от объема и полной поверхности описанного около шара цилиндра (рис. 4; по желанию Архимеда такой чертеж был изображен на его гробнице).
Рис. 4
СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Сферическая геометрия - раздел математики, в котором изучаются фигуры, расположенные на сфере (см. Сфера и шар). Сферическая геометрия возникла в связи с потребностями астрономии.
Роль прямых в сферической геометрии играют большие окружности, т.е. окружности, получающиеся в пересечении сферы с плоскостями, проходящими через центр сферы. Через две не являющиеся диаметрально противоположными точки сферы A и B можно провести единственную большую окружность (рис. 1), что вполне соответствует аксиоме планиметрии. Точки A и B разбивают эту большую окружность на две дуги - два сферических отрезка, меньший из которых является кратчайшей линией на сфере, соединяющей A с B. Длину сферического отрезка удобно измерять величиной угла, под которым он виден из центра сферы (рис. 1). Если углы измерять в радианах (см. Угол), то на сфере радиуса 1 такое измерение отрезка равно обычной длине дуги.
Рис. 1
В сферической геометрии в отличие от планиметрии отсутствуют параллельные сферические прямые: любые две большие окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках сферы (рис. 2). Угол между сферическими прямыми - большими окружностями - определяется как угол между их плоскостями, или, что то же самое, как угол между касательными к этим окружностям в точке их пересечения (рис. 2).
Рис. 2
Если провести на сфере три большие окружности (рис. 3), то сфера разобьется на восемь треугольников. В отличие от планиметрии сумма углов любого сферического треугольника больше 180°, или π, причем она не постоянна, а зависит от площади треугольника. А именно площадь треугольника на сфере радиуса 1 связана с суммой его углов A, B и C формулой Жирара (А. Жирар - нидерландский математик, 1595-1632):
SABC = A+B+C - π
(углы A, B, C измеряются в радианах).
Рис. 3
Для сферических треугольников справедливы три известных в планиметрии признака равенства: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам, по трем сторонам. На сфере справедлив еще один признак равенства треугольников - по трем углам. Подобных, но не равных между собой сферических треугольников не существует. Для сферических треугольников, однако, остаются справедливыми многие теоремы планиметрии, например теоремы о пересечении в одной точке серединных перпендикуляров к сторонам, биссектрис внутренних углов, медиан и даже