Совершенно иначе обстоит дело с физической трактовкой многомерности, которая, по крайней мере в отношении макро- и мегамиров, не признается большинством физиков. Однако разработанность геометрического представления о многомерности значительно расширяет возможности исследования физической многомерности, так как позволяет использовать математический аппарат и методические разработки.
Таким образом, геометрическая многомерность может, подсказать ожидаемые результаты физических исследований и наблюдений, а также указать наиболее рациональные пути проявления физической многмерности в природе.
2. ПОСТУЛАТЫ МНОГОМЕРНОСТИ
Непосредственное познание физической многомерности невозможно при тех средствах восприятия окружающего мира, которым мы располагаем. Поэтому постараемся подойти к этой проблеме несколько иначе. Рассмотрим взаимосвязи между известными нам системами измерения (одномерными, двухмерными и трехмерными), выявим общие закономерности, которые определяют взаимосвязи между ними, и сформулируем их в виде постулатов.
Можно предположить, что эти постулаты окажутся справедливыми и при переходе от известного нам трехмерного мира к недоступным высшим измерениям. Таким образом окажется возможным выявить проявления многомерности в нашем трехмерном мире. Кроме того, появится возможность прогнозирования и объяснения некоторых явлений, не понятных в рамках общепринятого четырехмерного континуума.
Постулат 1. Любая система высшего измерения может содержать бесчисленное множество независимо существующих систем низшего измерения. Действительно, на плоскости можно разместить сколько угодно линий, а в объеме — сколько угодно плоскостей. Исходя из этого постулата, можно предположить, что четырехмерная система может содержать бесчисленное множество независимо существующих трехмерных систем или в нашем представлении — миров.
Постулат 2. Всякое понятие о расстояниях справедливо только в данной системе измерений; при переходе к высшим системам измерения расстояние между двумя любыми точками может быть сведено к нулю или к бесконечно малой величине.
Этот постулат можно проиллюстрировать таким примером. На плоскости расстояние между точками А и В вполне определенно (рис. 4), если эту плоскость изогнуть в третьем измерении, то точки можно совместить, хотя при этом расстояние между ними в плоскости не изменяется. Разность расстояния между двумя точками может иметь место и в разных системах одного и того же порядка, если они пересекаются. Такой пример приводится на рис. 5. В этом случае расстояние между точками М и К будут разными в независимых двухмерных системах А и В.
Рис. 4. Изменение расстояния между двумя точками при переходе от двухмерной системы к трехмерной
Рис. 5. Разность расстояний между двумя точками в разных системах измерений одного и того же порядка.
Постулат 3. Любая пространственная система может быть искривлена без какой-либо деформации только в высшей системе измерения, причем это искривление может быть обнаружено только в высшей системе измерения и не проявляется в низшей.
Это значит, что линию (одномерную систему) можно искривить только в плоскости (двухмерной системе), а плоскость — только в объеме (трехмерной системе), при этом расстояния между любыми точками низшей системы сохраняются неизменными в мой системе при искривлении ее в высшем измерении. Искривить плоскость в плоскости невозможно, это неизбежно приведет к деформации элементов системы.
Еще одна любопытная деталь, имеющая прямое отношение к этому постулату. Представим себе, что выдуманного Гельмгольцем плоскатика мы поместим на поверхность шара. Для него, осознающего только два измерения, шар будет представляться ровной поверхностью, так как он не в состоянии обнаружить его кривизну в третьем измерении. Перемещаясь все время только прямолинейно и только вперед, плоскатик в конечном счете вернется в ту же точку, откуда начал свое движение, только с обратной стороны. Для него это будет совершенно не понятным парадоксом.
Не исключено, что нечто подобное имеет место и с нами, если предположить, что хорошо знакомый нам трехмерный мир в действительности представляет собой кривую поверхность в четвертом измерении. Некоторые астрономические наблюдения позволяют предположить, что это предположение недалеко от истины.
Постулат 4. Физические тела могут проявляться в разных системах измерения, причем чем ниже система измерения, тем меньший объем информации она несет. Сложные объекты проявляются в низших измерениях в виде следа, проекции и сечения.
Представим себе некоторое объемное, трехмерное тело и попытаемся поместить его в двухмерную систему. Однако сделать это невозможно, можно только получить на плоскости некоторое сечение этого тела, в какой-то степени отражающее его форму и сущность. Это сечение будет напоминать чертеж объемного тела, но только в одной проекции.
Рис. 6. Трехмерное тело в плоскости.
Предположим, что в качестве такого тела будет использован центробежный регулятор, причем в плоскость сечения попадут его ось и грузы (рис. 6). Плоскатики, обитающие в этой двухмерной системе, исследуя эти объекты, не смогут обнаружить видимой связи между этими тремя независимо существующими телами. Они смогут констатировать факт, что скорость вращения грузов и расстояние от оси до центров грузов (х) зависят от скорости вращения. Но почему? Этого плоскатики объяснить не могут, так как механизм системы не известен им. По всей вероятности, для описания этого явления им пришлось бы ввести некоторые условные понятия, аналогичные нашим понятиям "поле" или "взаимодействие", которые отражали бы реальную действительность, но не объясняли бы природы явлений.
Не пытаясь что-либо утверждать, отметим только, что описанная аналогия очень напоминает проявление полей и взаимодействий. Не исключено, что объяснение природы этих явлений следует искать именно в проявлениях многомерности. Это позволяет сформулировать следующий постулат многомерности.
Постулат 5. Чем выше мерность системы, тем большей информационной емкостью она обладает. Справедливость этого утверждения подтверждается данными, приведенными в таблице 1.
Постулат 6. Система низшего измерения любого порядка в высших измерениях может свертываться в точку без нарушения ее целости, при этом все точки низшей системы, сохраняя свое взаиморасположение, оказываются совмещенными.
Рассмотрим этот постулат на конкретных примерах. Одномерная система представляет собой линию, имеющую только одно измерение — длину. На плоскости этой линии можно придать любую конфигурацию, следовательно, она может быть свернута в спираль с бесконечно малым диаметром, т. е. практически сведена к точке. В этом случае все точки на линии будут находиться друг от друга на бесконечно малом расстоянии, причем целостность одномерной системы не будет нарушена.
Та же операция может быть выполнена и в системах высших измерений. Предположим, что существует двухмерная система, представляющая собой плоскость, на которой размещаются три, не связанные друг с другом фигуры (рис. 7). Свернем эту плоскость в третьем измерении и получим трубку бесконечно малого диаметра, так как двухмерная система не имеет толщины. Поэтому если число витков трубки будет стремится к бесконечности, то ее диаметр — к нулю. Плоскость превращается в линию. o
Трубку можно согнуть в кольцо; если ее концы вдвигать друг в друга, то диаметр кольца будет сокращаться, в результате образуется тор с бесконечно малым диаметром. Эта фигура будет стремиться к точке. В результате таких трансформацией расстояния между любыми точками на плоскости в третьем измерении будут сведены к бесконечно малой величине. Все независимые плоские фигуры окажутся совмещенными и образуют единое целое, хотя структура и метрические соотношения двухмерной системы останутся без изменения.
Можно предположить, что такие же закономерности сохранятся при переходе от трехмерной системы к четырехмерной, от четырехмерной к пятимерной и т. д.
Рис. 7. Свертывание пространства в высших измерениях.
Для некоторого пояснения сказанного необходимо ввести точное разграничение понятий "искривление" и "деформация" пространства. Искривление пространства предполагает сохранение всех метрических соотношений между элементами пространства. Это значит, что расстояние между любыми двумя, произвольно взятыми точками в данном пространстве, остается неизменным при его искривлении в высшем измерении. Этот случай иллюстрируется рис. 8.
Рис. 8. Искривление и деформация пространства.
На двухмерной плоскости Р размещается плоское тело (рис. 8, А). Если эту плоскость искривить в третьем измерении (рис. 8, Б), то все расстояние между любыми двумя точками этого тела сохраняются. При попытке же искривить двухмерную фигуру в пределах двухмерной системы неизбежно произойдет деформация фигуры, ее метрические характеристики изменятся (рис. 8, В).
Приведенные примеры очень условны и могут рассматриваться только как упрощенные аналогии, позволяющие уяснить принципы изменения характеристик пространства в зависимости от мерности его восприятия. В действительности реализация этих свойств проявляется значительно сложнее, тем более в несших измерениях.
Нужно также учитывать и то, что реализация постулатов многомерности осуществляется не какими-то преднамеренными, посторонними силовыми воздействиями, а отражает существующую в независимости от нас объективную реальность. Постулаты позволяют уяснить, какие варианты проявления сложных пространственных систем принципиально возможны и к каким следствиям они могут привести.
3. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ КОНЦЕПЦИИ МНОГОМЕРНОСТИ ПРОСТРАНСТВА
Как уже упоминалось, наши возможности восприятия окружающего мира ограничиваются пределом осознаваемой мерности. Граница этого предела определяется нашей способностью воспринимать и перерабатывать информацию. Чем выше уровень мерности, тем больший объем информации она несет. Этот объем можно оценить по количеству элементарных сигналов, которые содержит система при одинаковом количестве шагов квантования по каждой координатной оси и возможного числа сочетаний