Чтобы установить изоморфизм, достаточно перенумеровать дороги так, как показано на рис. 4. Каждая дорога соответствует клетке магического квадрата, помеченной тем же числом. Каждый город на карте соответствует горизонтали, вертикали или диагонали в магическом квадрате. Как и в предыдущих случаях, изоморфизм полный. Всякий, кто умеет на гроссмейстерском уровне играть в «крестики-нолики», не будет знать горечи поражений и в новой игре.
На рис. 5 изображен один из 880 различных (не переходящих друг в друга под действием поворотов и отражений) магических квадратов 4×4. Постоянная этого квадрата (сумма чисел, стоящих на любой горизонтали, вертикали и диагонали) равна 34. Может ли такой квадрат служить ключом для беспроигрышной игры в 34, то есть игры, в которой игроки по очереди выбирают число от 1 до 16 (ни одно число не разрешается выбирать дважды) до тех пор, пока у одного из игроков не наберется четыре числа, дающие в сумме 34. Изоморфна ли игра в 34 игре в «крестики-нолики» на магическом квадрате, изображенном на рис. 5? Нет, не изоморфна! Почему?
Можно ли так изменить правила игры в «крестики-нолики», чтобы победную комбинацию образовывали четыре клетки, не лежащие на одной горизонтали, вертикали или диагонали, и утраченный изоморфизм был восстановлен?
Как взвесить гиппопотама
Так уж повелось, что бремя забот о священном гиппопотаме нес на своих плечах вождь племени, собственноручно кормивший и всячески ублажавший своего подопечного.
Каждый год в день своего рождения вождь, прихватив с собой лодку сборщика податей и священного гиппопотама, отправлялся вверх по реке в те места, где стояла хижина, возведенная специально для сбора дани.
Племя платило вождю дань — столько золотых слитков, сколько требовалось, чтобы уравновесить священного гиппопотама. На чашу огромных весов ставили священное животное и уравновешивали его грудой слитков золота на другой чаше.
Однажды вождь племени так раскормил священного гиппопотама, что весы не выдержали непомерной тяжести и сломались. На починку их потребовалось бы несколько дней. Над торжественной церемонией сбора дани нависла угроза срыва.
Вождь племени был вне себя от ярости. Он вызвал сборщика податей.
Вождь. Я не желаю ждать. Золото мне нужно сегодня и ровно столько, сколько весит священный гиппопотам. Если ты не придумаешь, как отмерить нужное количество золота до захода солнца, я прикажу отрубить тебе голову.
Несчастный сборщик податей от страха почти перестал что-либо соображать. Лишь огромным усилием воли ему удалось собраться с мыслями.
После нескольких часов напряженных размышлений ему пришла в голову блестящая мысль. Вы не догадываетесь, что именно он придумал?
Как и все гениальное, предложенный им выход из создавшегося положения был необычайно прост. Сборщик податей ввел священного гиппопотама на пустую лодку вождя и отметил снаружи на борту лодки уровень, до которого та погрузилась в воду.
Затем он свел гиппопотама на берег и принялся нагружать лодку золотыми слитками. Так он трудился до тех пор, пока лодка не погрузилась в воду по сделанную ранее отметку, после чего с полным основанием доложил вождю, что вес груды золота в лодке равен весу священного гиппопотама.
По закону Архимеда, плавающее тело вытесняет объем воды, масса которого равна массе тела. Следовательно, если священного гиппопотама ввести на лодку, то та погрузится в воду, вытеснив количество воды, масса которой равна массе гиппопотама.
А вот еще одна задача на близкую тему. Предположим, что лодка плавает в достаточно малом бассейне, где уровень воды можно точно измерить. Священного гиппопотама свели на берег, лодку нагрузили эквивалентной по массе грудой золотых монет и на стенке бассейна отметили уровень воды.
Предположим, что мы принялись швырять монеты одну за другой за борт лодки на дно бассейна. Глубина погружения лодки в воду при этом уменьшается. А что произойдет с уровнем воды в бассейне? Будет он подниматься или опускаться?
Даже физики иногда затрудняются ответить на этот вопрос. Одни полагают, что уровень воды в бассейне не изменится. Другие утверждают, будто уровень воды в бассейне поднимается из-за того, что утонувшие монеты вытеснят какой-то объем воды. И те, и другие заблуждаются.
Чтобы разобраться, в чем корень ошибки, необходимо снова вернуться к закону Архимеда. Каждое плавающее тело, вытесняет объем воды, масса которого равна массе тела. Золото гораздо тяжелее воды, поэтому объем воды, вытесняемой нагруженной золотом лодкой, гораздо больше объема самого золота. Когда же золото оказывается на дне бассейна, то оно вытесняет лишь объем воды, равный своему собственному объему. Поскольку этот объем гораздо меньше объема, который вытесняет лодка, груженная золотом, то уровень воды в бассейне понизится.
Физик Дж. Гамов однажды привел яркий пример, поясняющий решение нашей задачи. Некоторые звезды состоят из вещества в миллионы раз более плотного, чем вода. Кубический сантиметр такого вещества весит не одну тонну. Если швырнуть его за борт лодки, он опустится на дно бассейна и вытеснит лишь 1 см³ воды, то есть ничтожно малое количество, поэтому вода в бассейне опустится. Ситуация с золотом точно такая же, только вода в бассейне опустится гораздо меньше.
Итак, мы отправили все золото на дно бассейна и отметили уровень воды на борту лодки. Предположим, что гиппопотаму захотелось искупаться. После того как он войдет в бассейн, уровень воды поднимется на 2 см. На сколько придется поднять отметку на борту лодки?
Представьте, что вы пьете прямо из бутылки кинки-колу и хотите оставить ровно половину объема всей бутылки. Отмерить нужное количество жидкости нетрудно: пейте до тех пор, пока поверхность жидкости в наклоненной вами бутылке не дойдет до того места, где стенки бутылки встречаются с донышком.
А вот аналогичная задача, требующая иного решения. В бутыль неправильной формы из прозрачного стекла налит концентрированный раствор кислоты. На стенках бутылки имеются 2 отметки: одна соответствует 10 л кислоты, другая — 5 л.
Кто-то отлил немного кислоты, отчего уровень ее в бутыли стал чуть ниже отметки 10 л. Вам требуется отлить для опыта ровно 5 л кислоты. Кислота слишком опасная и летучая, чтобы ее можно было переливать в другие мерные сосуды. Как легко и просто отмерить ровно 5 л кислоты?
Одно из решений состоит в том, чтобы, бросая в бутыль стеклянные шарики (или шарики из любого другого материала, не разъедаемого кислотой), довести уровень кислоты до отметки 10 л, после чего отливать кислоту до тех пор, пока ее уровень в бутыли не сравняется с отметкой 5 л.
Как распределить домашние обязанности
Мистер и миссис Джонс только что поженились. У каждого из них есть постоянная работа, и они решили распределить между собой и обязанности по дому.
Стремясь к честному распределению обязанностей по дому, супруги Джонс составили перечень всех работ по дому на неделю.
Бастер. Я беру на себя половину обязанностей, дорогая. Остальные обязанности предоставляю тебе.
Жанет. Прошу прощения, Бастер, но, по-моему, ты распределил обязанности нечестно. Мне ты оставил всю грязную работу, а себе взял то, что чище и полегче.
С этими словами миссис Джонс взяла список обязанностей по дому и отметила те работы, которые бы ей хотелось взять на себя. Ее муж не согласился с новым распределением обязанностей.
Жанет. Если ты думаешь, что я буду делать всю грязную работу, то ты просто сошел с ума.
Пока супруги пререкались, в дверь позвонили. Это пришла мать миссис Джонс.
Миссис Смит. Из-за чего драка, голубки? Ваши крики слышны на лестнице.
Выслушав доводы Бастера и его жены, миссис Смит улыбнулась.
Миссис Смит. Я нашла великолепное решение. Сейчас я покажу вам, как распределить обязанности по дому, чтобы вы оба остались довольны.
Миссис Смит. Пусть один из вас разделит перечень обязанностей на 2 части, каждую из которых он бы охотно взял на себя, а другой выберет себе любую половину. Тогда обязанности будут распределены в соответствии с желаниями каждого из вас, не так ли?
Но год спустя, когда миссис Смит переехала к молодоженам, ситуация несколько осложнилась. Миссис Смит охотно согласилась взять на себя треть обязанностей по дому, но все трое никак не могли придумать, как справедливо разделить между собой обязанности. Не взялись бы вы им помочь?
Задача о честном разделе, с которой столкнулась чета Джонсов, в книгах по занимательной математике обычно фигурирует, как задача о разделе пирога между двумя людьми, каждый из которых хотел бы заполучить не меньше половины.
Эту задачу мы решили, а вот задача о честном разделе пирога между тремя людьми, каждый из которых хотел бы заполучить не менее трети пирога, осталась нерешенной.
Она допускает следующее решение. Один из любителей пирога медленно ведет большим ножом над пирогом. Пирог может быть любой формы. Вести нож нужно так, чтобы доля пирога по одну сторону ножа непрерывно возрастала от нуля до максимума. Как только любой из трех участников раздела сочтет, что по одну сторону ножа осталась треть пирога, он произносит вслух: «Режь!» Тот, кто держит нож, немедленно отрезает кусок пирога и отдает тому, что подал команду. Если команду «Режь!» подадут одновременно двое или даже трое любителей пирога, отрезанный кусок вручается любому из них.
Двое остальных вполне удовлетворены куском пирога, доставшимся им на двоих: ведь этот кусок составляет не менее ⅔ от всего пирога. Задача о разделе этого куска сводится к предыдущей задаче о честном разделе между двумя претендентами и решается, если один режет, а другой выбирает.
Метод честного раздела допускает очевидное обобщение на случай n участников. Один из участников ведет ножом над пирогом. Первый, кто подаст команду «Режь!», получает первый кусок (если команду подадут сразу несколько человек, отрезанный кусок достается одному из них по жребию). Затем процедура повторяется с