Похожее потрясение испытали Пифагор и его последователи, убежденные, что все во вселенной в конечном счете можно описать целыми числами. Ведь даже обыкновенные дроби – это всего лишь одно целое число, деленное на другое. Но квадратный корень из 2 – длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами по единице – никак не вписывался в эту стройную космическую схему. Это было “иррациональное” число, невыразимое в виде отношения двух целых чисел. Если попытаться представить его в виде десятичной дроби, количество знаков после запятой разрастается до бесконечности, а какой-либо четко повторяющейся группы цифр не возникает. Пифагорейцы всех этих тонкостей не знали, их беспокоило только то, что в их совершенный мир затесалось мерзкое чудище в виде квадратного корня из 2, а потому они тщательно скрывали его существование.
Эти два примера иллюстрируют основную проблему, связанную с постижением бесконечности. Наше воображение без труда справляется с тем, что еще не достигло своего конца: мы всегда можем представить себе, как любое расстояние увеличивается еще на шаг, к любому количеству предметов добавляется еще один. Но бесконечность в обобщенном значении, как понятие, в голове не укладывается. Математики издавна бились с ней, поскольку привыкли в своей области иметь дело с точными величинами и тщательнейшим образом определенными понятиями. А как можно работать с объектами, которые точно существуют, но никогда не заканчиваются, – с числом вроде √2 (начинающимся с 1,41421356237… и продолжающимся все дальше и дальше без видимого порядка и предсказуемых повторов) или кривой, что прижимается к прямой все теснее и теснее, – и при этом избежать встречи с бесконечностью? Аристотель предлагал возможное решение, утверждая, что бесконечность бывает двух видов. “Актуальная” (или “завершенная”) бесконечность, которой, по мнению Аристотеля, в реальности не существует, – это безграничность полностью реализованная, фактически достигнутая (математически или физически) в какой-то момент времени. “Потенциальная” бесконечность, которую Аристотель считал очевидно проявляющейся в природе – например, в нескончаемом чередовании времен года или безграничной делимости слитка золота (про атомы он не знал), – это беспредельность, протекающая в не имеющем границ времени. Это принципиальное разграничение между актуальной и потенциальной бесконечностью просуществовало в математике более двух тысяч лет.
В 1831 году сам Карл Гаусс высказался по поводу “ужаса актуальной бесконечности” так:
…Я протестую против пользования бесконечной величиной в качестве законченной, каковое пользование в математике никогда не дозволяется. Бесконечное является лишь façon de parler[39], между тем как речь идет собственно о пределах, к которым известные отношения приближаются произвольно близко, тогда как другим предоставляется возрастать без ограничения[40].
Взгляд в бесконечность.
Ограничившись изучением потенциальной бесконечности, математики смогли разрабатывать такие важнейшие понятия, как бесконечные ряды, пределы и бесконечно малые величины, придя таким образом к математическому анализу, но не признавая при этом бесконечность в качестве самостоятельного математического объекта. И все же еще в Средние века они сталкивались с парадоксами и неразрешимыми задачами, а это значило, что от актуальной бесконечности нельзя просто отмахнуться. Эти неразрешимые задачи проистекали из принципа, согласно которому всем элементам одного набора объектов возможно найти пару в другом наборе объектов того же размера. Но вот когда этот принцип пытались применить к неограниченно большим наборам, он открыто противоречил продиктованной здравым смыслом идее, впервые высказанной Евклидом: что целое всегда больше, чем любая его часть. К примеру, казалось вполне возможным образовать пары из всех положительных целых чисел и только тех из них, которые являются четными: единице противопоставить двойку, двум – четыре, трем – шесть и так далее, несмотря на то что положительные целые числа включают в себя и четные тоже. Изучавший эту проблему Галилей первым предложил более просвещенный подход к бесконечности, заявив: “Бесконечность должна подчиняться иной арифметике, нежели конечные числа”.
Понятие потенциальной бесконечности усыпляет нашу бдительность, заставляя думать, что к бесконечности можно подобраться поближе – нужно лишь зайти подальше или идти подольше. А отсюда уже недалеко и до распространенного мифа о том, что бесконечность – это лишь что-то вроде очень большого числа и триллион или, скажем, триллион триллионов триллионов уже как-то ближе к бесконечности, чем, допустим, десять или тысяча. На самом деле все не так. Сколько ни двигайся по числовой оси, до какого числа ни считай, к бесконечности не приблизишься ни на йоту. Число 1 так же далеко от бесконечности (или так же близко к ней), как любое другое конечное число, какое бы громадное нам ни хватило фантазии назвать. Более того, в любом числе, сколь бы мало оно ни было, уже заключена бесконечность, так что двигаться вперед ко все бо́льшим и бо́льшим числам в поисках ее – мероприятие совершенно бесполезное. Суть в том, что бесконечность существует даже, например, в интервале между 0 и 1, поскольку тот содержит бесконечное количество дробей: ½, ⅓, ¼ и так далее. Бесконечность не имеет ничего общего с огромными конечными числами. Чтобы работать с ней, нам придется вырваться из их плена, перестать пользоваться ими как подпорками для нашего разумения.
Немецкий математик Давид Гильберт эффектно проиллюстрировал, насколько причудливой может быть арифметика бесконечного. Читая лекцию в 1924 году, он предложил слушателям представить себе отель с бесконечным количеством номеров. В обычном отеле с конечным числом комнат, когда все номера заняты, нового посетителя встречает табличка “Мест нет”. В “Гранд-отеле Гильберта” все по-другому. Если переселить гостя, занимающего первый номер, во второй, гостя из второго номера в третий и так далее, то в освободившемся первом номере можно будет разместить одного нового постояльца. Да что там одного! Можно освободить сколько угодно мест для бесконечного числа новых клиентов – стоит лишь переселить гостей из номеров 1, 2, 3 и так далее в номера 2, 4, 6 и дальше, таким образом освободив все нечетные номера. Процесс можно продолжать сколь угодно долго, так что, даже если в отель вдруг прибудет бесконечное количество автобусов, а в каждом из них бесконечное количество новых гостей, отказывать в размещении не придется никому. Такие экзерсисы могут показаться издевательством над нашей интуицией, но это потому, что наша интуиция просто не привыкла иметь дело с бесконечно большим. Дело в том, что свойства бесконечного множества объектов отличаются от свойств обычного, конечного множества, подобно тому как, например, в науке объекты на квантовом уровне ведут себя иначе, чем те, что окружают нас в повседневной жизни. В случае с отелем Гильберта утверждения “во всех номерах есть постояльцы” и “мы готовы принять новых гостей” не являются взаимоисключающими.
В такой вот диковинный мир мы попадаем, если принимаем реальность существования множеств чисел с бесконечным количеством элементов. Именно этот решающий вопрос стоял перед математиками в конце XIX века: готовы ли они принять существование актуальной бесконечности как числа? Большинство продолжало придерживаться точки зрения Аристотеля и Гаусса и отрицало такую возможность. Но некоторые, в том числе немецкий математик Рихард Дедекинд, а более всех его соотечественник Георг Кантор, понимали, что пришло время подвести под понятие бесконечных множеств прочную логическую базу.
Став первопроходцем в странном и тревожном мире бесконечного, Кантор столкнулся с ожесточенным сопротивлением и глумлением со стороны многих из своих современников (что прискорбнее всего, среди них оказался и его наставник и учитель Леопольд Кронекер), потерял работу в Берлинском университете и нажил себе душевную болезнь. В зрелом и пожилом возрасте он периодически оказывался в психиатрических лечебницах, терзался вопросом об авторстве пьес Шекспира и предавался раздумьям о философском и даже религиозном значении своих математических идей. Но несмотря на то, что умер он, оставленный всеми, в 1918 году в психиатрической лечебнице в стране, все еще находящейся в состоянии войны, сегодня его помнят за фундаментальный вклад в развитие теории множеств и в наше осмысление бесконечного.
Кантор понял, что хорошо известный принцип попарного разбиения, который используют для того, чтобы определить, равны ли два множества, можно с таким же успехом применить и к бесконечным множествам. Из него следовало, что четных положительных целых чисел на самом деле столько же, сколько положительных целых чисел всего. Кантор не только увидел, что никакого парадокса тут нет, – он осознал, что это определяющее свойство бесконечного множества: целое в нем не больше, чем какие-либо из частей. Далее он доказал, что множество всех натуральных, или положительных целых, чисел – 1, 2, 3, … (иногда в него включают и 0) – содержит точно такое же количество элементов, что и множество всех рациональных чисел, то есть тех, которые можно записать в виде обыкновенной дроби, где и числитель, и знаменатель целые. Он назвал это бесконечно большое число “алеф-ноль” (ﬡ0), где “алеф” – это первая буква еврейского алфавита.
Вы можете решить, что есть только одно бесконечно большое число, ведь, раз оно и так бесконечно большое, как может что-то быть еще больше? Но будете неправы. Кантор доказал, что существуют разные виды бесконечности, из которых алеф-ноль – самая маленькая. Бесконечно больше алеф-нуля число алеф-один (имеющее, по выражению Кантора, бо́льшую “мощность”). Алеф-два, в свою очередь, бесконечно больше, чем алеф-один, и так далее, без конца. Насколько хватит нашего слабого воображения, алефы следуют друг за другом бесконечной вереницей. Но и это еще не все: оказывается, на каждый алеф приходится бесконечное количество других бесконечно больших чисел, и вот здесь нам придется разобраться с тем, насколько важно в царстве бесконечного различать количественные и порядковые числительные.