И напоследок еще одна мысль: а имеют ли математические бесконечности какое-либо воплощение в реальном мире, или же это чистые абстракции? Как мы уже узнали, космологи склонны считать Вселенную, в которой мы живем, геометрически плоской и бескрайней в пространстве и времени. Если она действительно бесконечна, то какой математической бесконечности она соответствует? То, что пространство и время делятся на дискретные кусочки – планковскую длину и планковское время, – означает, что они не непрерывны, не слитны, как точки на математической прямой. Значит, если реальная вселенная бесконечно велика, похоже, с ней можно соотнести только наименьшую из бесконечностей, алеф-ноль. А все, что больше, возможно, всегда будет существовать только у нас в голове или в каком-нибудь платоновом пространстве, которому нипочем законы физики.
Глава 11. Самое большое число
Проблема с целыми числами в том, что мы изучили лишь самые маленькие из них. Возможно, все самое интересное происходит там, где числа очень большие – настолько большие, что мы просто не в состоянии их себе представить.
Попросите ребенка назвать самое-самое большое число – и, скорее всего, услышите в ответ что-то вроде “пятьдесят тысяч миллионов миллиардов триллионов триллионов…” и так далее, пока объект расспросов не устанет нанизывать одно на другое реальные числа вперемешку с “сиксиллионами” и “мультиллиардами”. По житейским меркам это и вправду очень большие числа, может быть, даже превышающие количество всех живых существ на Земле или звезд во Вселенной. Но по сравнению с умопомрачительно гигантскими числами, которые способны конструировать математики, – просто детские шалости. Если бы вам вдруг взбрело в голову провести остаток своей сознательной жизни, произнося “триллион триллионов триллионов триллионов…” и так далее со скоростью один “триллион” в секунду, то получившееся в итоге число было бы просто мизерным по сравнению с монстрами числового космоса, с которыми мы познакомимся в этой главе: такими как число Грэма, TREE(3) и поистине исполинское число Райо.
Известно, что одним из первых систематически начал задумываться об очень больших числах Архимед. Он родился в Сиракузах на острове Сицилия около 287 года до нашей эры и считается величайшим математиком древности и одним из самых великих в истории человечества. Он задался вопросом: сколько всего на свете песчинок и сколько вообще их можно вместить в целый мир, который, как считали древние греки, простирается до сферы “неподвижных звезд” (так, в отличие от планет, они называли звезды, видимые на ночном небе). Его трактат “Исчисление песчинок” начинается так:
Некоторые люди полагают, государь Гелон, что число песка по величине бесконечно; я говорю не только о песке, который имеется в окрестностях Сиракуз и остальной Сицилии, но и о том, который имеется во всех странах, как населенных, так и не населенных. Есть, однако, и такие, которые не считают его бесконечным, но тем не менее думают, что не существует такого имеющего название числа, которое было бы больше его количества[43].
Архимед, считавший, что “математика… открывает свои тайны только тому, кто приближается к ней с чистой любовью, ради ее собственной красоты”[44].
Чтобы подготовить почву для своих расчетов космического масштаба, Архимед взялся для начала расширить существовавшую в то время систему наименования больших чисел – а это основная проблема, с которой сталкивались с тех пор все математики, пытавшиеся описывать все бо́льшие и бо́льшие целые числа. Греки называли число 10 000 “мюриас”, что подразумевает неисчислимость. У римлян же оно называлось “мириадой”[45]. В качестве точки отсчета на пути в мир огромных чисел Архимед использовал “мириаду мириад”, то есть 100 000 000, или, если использовать современное экспоненциальное представление, 108. Число это намного превышало любое, для какого у греков нашлось бы практическое применение. Все числа, идущие до мириады мириад, Архимед назвал “первыми”. Те, что шли вплоть до мириады мириад, помноженной на мириаду мириад (то есть до единицы с 16 нулями, или 1016), он отнес ко “вторым”; потом перешел к “третьим”, “четвертым” и так далее, причем каждый последующий разряд в его схеме был в мириаду мириад раз больше предыдущего. В конце концов он достиг “мириад-мириадного” разряда, то есть числа 108, умноженного само на себя 108 раз (или 108 в степени 108). Таким порядком Архимеду удалось описать числа длиной вплоть до 800 000 000 знаков. Их он отнес к “числам первого периода”. Само число 10800 000 000 он принял за начало второго периода, после чего повторил весь процесс снова. Для второго периода Архимед применил ту же методику, что и для первого, увеличивая каждый последующий разряд в мириаду мириад раз до тех пор, пока в конце мириад-мириадного периода не достиг колоссального числа 1080 000 000 000 000 000, или мириады мириад, возведенной в степень, равную мириаде мириад, умноженной на мириаду мириад.
Как выяснилось позже, для того чтобы реализовать свой проект по подсчету песчинок, Архимед мог ограничиться и первым периодом. Согласно тогдашним представлениям о космосе, весь мир вплоть до неподвижных звезд имел объем шара с диаметром в два световых года, в центре которого находилось Солнце. Оценив размер песчинки, Архимед пришел к следующему выводу: чтобы превратить космос в гигантский песчаный пляж, потребуется 8 × 1063 песчинок, то есть всего-навсего число восьмого разряда первого периода. Даже если взять рассчитанный современными учеными диаметр наблюдаемой Вселенной – 92 миллиарда световых лет, – ее объем не сможет вместить больше 1095 песчинок, а это все равно число лишь двенадцатого разряда первого периода.
Возможно, в западном мире Архимед и был чемпионом по большим числам, но ученые мужи Востока в поисках числовых тяжеловесов уже скоро побьют все его рекорды. В написанном на санскрите индийском тексте приблизительно III века “Лалитавистара” Будда Гаутама описывает математику по имени Арджуна систему счисления, начинающуюся с “коти” – 10 000 000 на санскрите. После коти идет длинный перечень имеющих собственные названия чисел, каждое из которых в 100 раз больше предыдущего: 100 коти называются “аюта”, 100 аюта называются “ниюта”, и так далее, до числа “таллакшана”, представляющего собой единицу с 53 нулями. Он называет и бо́льшие числа, такие как “дхваджагравати”, равное 1099, вплоть до гиганта “уттарапараманураджаправеша” – 10421.
Другой буддийский текст идет еще дальше по пути к исполинским, чудовищно большим числам. В “Аватамсака сутре” описан целый космос, состоящий из бесконечного множества взаимопроникающих уровней. В тридцатой главе Будда вновь пространно рассуждает о больших числах начиная с 1010, после чего возводит его в квадрат, получая 1020, снова возводит в квадрат, получая 1040, и продолжает дальше, последовательно переходя к 1080, 10160, 10320, пока не достигает числа 10101 493 392 610 318 652 755 325 638 410 240. Возведите его в квадрат, провозглашает Будда, и результат будет “неисчислимым”. Однако и на этом он не останавливается. Вслед за “неисчислимым” (очевидно, основательно поработав с санскритским словарем в поисках достойных эпитетов) он продолжает перечислять все бо́льшие и бо́льшие числа, называя их “безмерным”, “безграничным”, “несравнимым”, “бессчетным”, “непостижимым”, “немыслимым”, “неизмеримым” и “неизъяснимым”, завершая всю эту пирамиду “невыразимым”, которое, как показывают расчеты, равно 1010×(2^122) (значок ^ используется, чтобы показать, что одно число возводится в степень другого; таким образом, 1010×(2^122) – это то же, что и 1010×(2 в 122-й степени)). Рядом с “невыразимым” самое большое число из упомянутых в трудах Архимеда, 1080 000 000 000 000 000, кажется просто карликом. Чтобы оно попало хотя бы в ту же весовую категорию, его пришлось бы возвести в степень, примерно равную 66 000 000 000 000 000 000.
И Архимеду, и авторам буддийских сутр большие числа нужны были для того, чтобы дать представление о громадности вселенной в их понимании. Буддисты, кроме того, считали, что, дав чему-либо название, человек приобретает над этим определенную власть. Но математиков, как правило, мало интересует бесцельное изобретение новых схем для наименования и обозначения все возрастающих больших чисел. Наша система, в которой для наименования больших чисел используются слова, заканчивающиеся на “-иллион”, восходит к французскому математику XV века Никола Шюке. В своем трактате Le Triparty en la Science des Nombres (“Наука о числах в трех частях”) он записал огромное число, разбил его на группы по шесть знаков в каждой и предложил назвать эти группы так:
…миллион, вторая отметка – биллион, третья отметка – триллион, четвертая – квадриллион, пятая – квииллион, шестая – сикслион, седьмая – септиллион, восьмая – оттиллион, девятая – нониллион, и далее так же поступать с другими числами столь долго, сколько будет угодно.
В 1920 году американский математик Эдвард Казнер попросил своего девятилетнего племянника Милтона Сиротту придумать название для числа, изображаемого единицей со ста нулями. Предложенное мальчишкой название “гугол” приобрело всеобщую известность после того, как Казнер написал о нем в своей книге “Математика и воображение” (Mathematics and the Imagination), созданной в соавторстве с Джеймсом Ньюменом. Помимо гугола юный Сиротта также предложил название “гуголплекс” для числа, записываемого как “единица со шлейфом из стольких нулей, сколько сможешь написать, пока не устанешь”. Казнер решил дать числу более точное определение, поскольку “кто-то может устать раньше, кто-то позже, и не годится, чтобы Карнеру [чемпиона по боксу в тяжелом весе] считали более сильным математиком, чем доктора Эйнштейна, просто потому, что он выносливее физически”. Впрочем, слово “усталость” (и это еще мягко сказано) – довольно точное описание того, что ощутит человек, которому придет в голову написать число гуголплекс. Судите сами: согласно определению Казнера, гуголплекс – это 10