Одно из наиболее фундаментальных свойств кривых, настолько очевидное, что никто даже не пытался в нем усомниться, состоит в том, что эти кривые тонкие. Как писал Евклид в «Началах», «линия – это то, что не имеет толщины». Площадь линии – просто линии, а не того, что она окружает, – очевидно, равна нулю. Но в 1890 году Джузеппе Пеано предложил способ построения непрерывной кривой, которая полностью заполняет внутренность квадрата{23}. Она не просто блуждает внутри квадрата, создавая сложные каракули и приближаясь к каждой точке: она проходит через каждую точку квадрата. Кривая Пеано «не имеет толщины» в том смысле, что вы проводите ее карандашом, кончик которого представляет собой единственную геометрическую точку, но эта линия блуждает по квадрату, раз за разом посещая те области, которые ранее покинула. Пеано понял, что если заставить эту линию бесконечно извиваться, причем определенным образом, то она полностью заполнит квадрат. При этом площадь кривой будет равна площади квадрата, то есть ненулевой.
Это открытие стало настоящим шоком для наивной интуиции. В то время подобные кривые называли «патологическими», и многие математики реагировали на них так, как мы обычно реагируем на патологию, – со страхом и отвращением. Позднее математики привыкли к ним и усвоили глубокие топологические уроки, которые эти кривые преподали. Сегодня мы рассматриваем кривую Пеано как один из первых примеров фрактальной геометрии и понимаем, что фракталы нельзя считать ни необычными, ни патологическими. Они часто встречаются даже в математике, а в реальном мире представляют собой прекрасные модели сложных природных структур, например облаков, гор и береговых линий.
Пионеры новой эры в математике рассмотрели древние интуитивные концепции, такие как непрерывность и размерность, и стали задавать трудные вопросы. Они не удовлетворились традиционными приемами, используемыми в более простых областях математики, а задались вопросом, работают ли эти приемы с достаточной общностью и если работают, то почему. Или если они работают не всегда, то что идет не так. Такой скептический подход раздражал многих традиционных математиков, которые видели в нем негатив ради негатива. «Я в ужасе отворачиваюсь от этого жуткого бедствия – непрерывных функций без производной», – писал в 1893 году Шарль Эрмит своему другу Томасу Стилтьесу.
Традиционалисты были заинтересованы в расширении границ и считали, что все в логическом саду чудесно, но новый скептицизм с его шквалом пугающих контринтуитивных явлений был необходимой реакцией на наивность. К 1930-м годам ценность этого более строгого подхода начала становиться очевидной, и к 1960-м годам он почти полностью взял верх. Можно написать целую книгу об этом периоде развития нашей дисциплины, и кое-кто уже так и поступил. Я же хочу сосредоточиться на непрерывных кривых и концепции размерности.
Концепция кривой, вероятно, восходит еще к тем временам, когда древний человек впервые провел концом палки по поверхности песка или ила и обнаружил, что его действие оставило след. Она начала приобретать свою нынешнюю форму, когда в Древней Греции родился логический подход к геометрии и Евклид заявил, что у точки есть только положение на плоскости, а у линии нет толщины. Кривая – это линия, которая не обязательно должна быть прямой, простейший пример – окружность или дуга. Греки идентифицировали и проанализировали множество кривых – уже упоминавшиеся эллипс, квадратрису, циклоиду и т. п. Хотя они рассматривали только конкретные примеры, было «в некотором смысле понятно», как должна развиваться общая идея.
После появления интегрального и дифференциального исчисления на передний план вышли два свойства кривых. Одно из них – непрерывность: кривая непрерывна, если не имеет разрывов. Другое, более тонкое, свойство – гладкость: кривая называется гладкой, если не имеет резких переломов. Интегральное исчисление лучше всего работает с непрерывными кривыми, а дифференциальное – с гладкими. (Я изъясняюсь здесь очень вольно, чтобы не влезать в дебри, тем не менее мой рассказ ближе к истине, чем к выдумке.) Разумеется, все было не настолько просто: нужно было дать точное определение «разрыва» и «перелома». Более того, любые предложенные определения должны подходить для математического изучения и описываться математическими терминами. В общем, они должны быть пригодными для использования. Подробности до сих пор ставят в тупик студентов при первом знакомстве с ними, так что я избавлю вас от них.
Вторая ключевая концепция – размерность. Мы все узнаём в процессе учебы, что пространство трехмерно, плоскость имеет два измерения, а прямая – одно. Рассматривая эту идею, мы не определяем предварительно слово «измерение» и не подсчитываем затем, сколько измерений у пространства или плоскости. Все не совсем так. Вместо этого мы говорим, что пространство имеет три измерения, потому что мы можем обозначить положение любой точки в нем при помощи ровно трех чисел. Мы выбираем особую точку, начало координат, и три направления: север-юг, запад-восток и верх-низ. Затем нам остается только измерить, как далеко выбранная точка находится от начала координат в трех этих направлениях. Это дает нам три числа (координаты относительно выбранных направлений), и каждая точка в пространстве соответствует одной и только одной тройке чисел. Аналогично плоскость имеет два измерения, потому что мы можем отбросить одно из этих чисел (скажем, то, которое отвечает за направление верх-низ), а прямая имеет одно измерение.
Все это кажется довольно простым, пока не начнешь вдумываться. В предыдущем абзаце подразумевается, что плоскость горизонтальна. Именно поэтому направление верх-низ можно отбросить. Но что, если плоскость наклонена? Тогда верх-низ имеет значение. Однако оказывается, что число верх-низ всегда определяется оставшимися двумя числами (при условии, что вы знаете, насколько крут наклон). Так что значение имеет не число направлений, по которым вы измеряете координаты, а число независимых направлений. То есть таких направлений, которые не являются комбинациями остальных.
Это чуть осложняет ситуацию, потому что мы не можем просто подсчитать, сколько существует координат. Скорее, речь идет о наименьшем их числе, которого достаточно для достижения цели. А раз так, то возникает еще один, более глубокий вопрос: откуда известно, что две – это действительно наименьшее число координат, которого на плоскости достаточно для определения любого положения? Возможно, это так и есть, а если нет, то требуется другое, более точное определение, но это не вполне очевидно. А дальше открываются шлюзы. Откуда известно, что три – это наименьшее число для пространства? Откуда известно, что любой выбор независимых направлений всегда дает три числа? Если на то пошло, насколько мы уверены, что трех чисел достаточно?
Третий из приведенных вопросов адресован скорее экспериментальной физике и ведет через Эйнштейна и его общую теорию относительности к предположению, что физическое пространство на самом деле не является плоским трехмерным пространством Евклида, а представляет собой его искривленную версию. Или, если правы сторонники теории струн, пространство-время имеет 10 или 11 измерений, которые, за исключением четырех, либо слишком малы, чтобы их заметить, либо недоступны. Первый и второй вопросы можно разрешить удовлетворительно, но далеко не тривиально – для этого надо определить евклидово пространство с точки зрения системы из трех координат, а затем посвятить пять или шесть недель университетского курса векторным пространствам, в которых бывает любое число координат, и доказать, что размерность любого векторного пространства единственна.
Подход, связанный с векторными пространствами, изначально подразумевает, что наша система координат построена на прямых линиях и что пространство плоское. В самом деле, ведь не случайно этот курс называется «линейной алгеброй». А что, если мы вслед за Эйнштейном позволим системе координат искривиться? Ну, если она искривляется гладко (в классической теории это называется «криволинейными координатами»), то все хорошо. Но в 1890 году итальянский математик Джузеппе Пеано обнаружил, что если она искривляется совершенно произвольно – настолько, что перестает быть гладкой, хотя остается непрерывной, – то пространство с двумя измерениями может иметь систему координат всего с одним числом. То же относится и к пространству с тремя измерениями. При таких более общих и гибких условиях число измерений неожиданно становится изменчивым.
Одна из возможных реакций на это странное открытие – отмахнуться от него. Нам, очевидно, следует пользоваться гладкими координатами, вот и все. Но оказалось, что гораздо креативнее, полезнее и, что греха таить, интереснее принять эту пугающую странность и посмотреть, что получится. Критики-традиционалисты были настоящими пуританами и считали, что молодому поколению развлекаться ни к чему.
Вернемся к существу вопроса. То, что открыл – или построил – Пеано, представляло собой непрерывную кривую, проходящую через каждую точку квадрата. Не только на границе, это просто, но и внутри него тоже. Причем эта кривая в самом деле должна проходить через каждую точку, а не просто вблизи нее.
Предположим, такая кривая существует. Тогда это не просто некая извилистая линия с собственной внутренней системой координат, показывающей, как далеко вдоль линии следует пройти. Чтобы обозначить это, достаточно одного числа, так что кривая одномерна. Раз эта извилистая линия проходит через каждую точку заполненного квадрата (объекта двумерного), то теперь мы можем обозначить каждую точку этого квадрата при помощи всего одного непрерывно меняющегося числа. Получается, что на самом деле квадрат одномерен!
Обычно я не люблю ставить восклицательные знаки, но это открытие заслуживает его. Это безумие. И правда.