Эту двойственность волны-частицы (так называемый корпускулярно-волновой дуализм) со временем удалось описать с помощью математических уравнений, которые управляют одновременно волнами и частицами, хотя до сего дня многое остается загадкой. По ходу дела способ представления того и другого в математике пережил радикальную трансформацию и изменился до неузнаваемости. До того момента физики характеризовали состояние частицы вещества лишь небольшим набором параметров: масса, размер, положение в пространстве, скорость, электрический заряд и т. д. В квантовой механике состояние любой системы характеризуется волной, точнее говоря, ее волновой функцией. Как следует из названия, это математическая функция с волноподобными свойствами.
Функция – это математическое правило или процесс, который преобразует одно число в другое определенным образом. В более общем случае функция может преобразовывать список чисел в число или даже в другой список чисел. В еще более общем случае функция может оперировать не только числами, но и множеством математических объектов любого рода. Например, функция «площадь треугольника» действует для множества всех треугольников, и, когда вы применяете ее к конкретному треугольнику, значением функции становится площадь этого треугольника.
Волновая функция квантовой системы действует для списка возможных измерений, которые мы можем произвести в системе, таких как координаты ее положения и компоненты скорости. В классической механике состояние системы обычно определяется конечным числом таких чисел, но в квантовой механике список может включать бесконечно много переменных. Они берутся из так называемого гильбертова пространства, которое (часто) представляет собой пространство бесконечной размерности с однозначно определенным понятием расстояния между любыми двумя его точками{51}. Волновая функция дает на выходе единственное число для каждой функции в гильбертовом пространстве, но число это не действительное, а комплексное.
В классической механике наблюдаемое (величина, которую мы можем измерить) связывает каждое возможное состояние системы с числом. Например, если мы наблюдаем расстояние от Земли до Луны, то получаем в результате единственное число – наблюдаемое здесь есть функция, определенная на пространстве всех возможных конфигураций, в которых Земля и Луна могут хотя бы в принципе находиться. В квантовой механике наблюдаемые величины суть операторы. Оператор берет элемент гильбертова пространства состояний и превращает его в комплексное число. Операторы должны подчиняться короткому списку математических правил. Одно из них – линейность. Предположим, у вас есть два состояния x и y, и оператор L дает для них на выходе L(x) и L(y). В квантовой теории состояния могут накладываться друг на друга, наслаиваться – складываться – и давать в результате состояние x + y. Линейность означает, что оператор L должен в этом случае дать на выходе L(x) + L(y). Полный список требуемых свойств дает так называемый эрмитов оператор, который прекрасно ведет себя в связи с расстояниями в гильбертовом пространстве.
Физики выбирают эти пространства и операторы разными способами для моделирования конкретных квантовых систем. Если их интересуют состояния координат и импульса единичной частицы, гильбертово пространство состоит из всех квадратично интегрируемых функций и имеет бесконечную размерность. Если их интересует спин единичного электрона, гильбертово пространство двумерно и состоит из так называемых спиноров. В качестве примера можно привести уравнение Шрёдингера, которое выглядит примерно так:
Вам не обязательно разбираться в математике, но давайте посмотрим на символы. Особенно на первый, который в значительной мере все проясняет: это i, квадратный корень из минус единицы. Мы смотрим на базовое уравнение квантовой механики, и первый же символ, который видим перед собой, – это мнимое число i.
Следующий символ, – это число, которое называют приведенной постоянной Планка, и оно очень-очень мало: около 10–34 Дж∙сек. Именно оно дает квантовой механике ее кванты – крохотные, но дискретные скачки в значениях, которые могут принимать различные величины. Затем стоит дробь d/dt. Здесь t – время, а буквы d говорят нам о том, что следует найти скорость изменения, как в дифференциальном исчислении, так что это дифференциальное уравнение. Комбинация символов – это волновая функция, определяющая состояние системы в момент времени t, то есть та штука, скорость изменения которой мы хотим узнать. Наконец, – это так называемый гамильтониан: по сути, энергия.
Обычная интерпретация волновой функции состоит в том, что она представляет не отдельное состояние, а вероятность того, что наблюдение обнаружит систему в этом состоянии. Однако вероятности – это действительные числа от 0 до 1, тогда как значения волновой функции – комплексные числа любой величины. Поэтому физики сосредоточиваются на амплитуде (которую математики называют модулем) комплексного числа, которая говорит о том, насколько далеко это число располагается от начала координат, – в полярных координатах это r. Они считают это число относительной вероятностью, так что если у одного состояния амплитуда равна 10, а у другого – 20, то второе состояние вдвое вероятнее первого.
Модуль говорит о том, насколько далеко от начала координат лежит комплексное число, но он ничего не говорит о направлении, в котором следует двигаться, чтобы до него добраться. Это направление определяется еще одним действительным числом, углом A в полярных координатах. Математики называют этот угол аргументом комплексного числа, а физики называют его фазой – насколько далеко вдоль единичной окружности следует пройти, чтобы выйти на нужное направление. Так что у комплексной волновой функции есть амплитуда, которая дает количественную оценку относительной вероятности данного наблюдения, и фаза, которая не влияет на амплитуду и которую почти невозможно измерить. Фазы влияют на то, как накладываются друг на друга отдельные состояния, и, следовательно, на вероятности возникновения этих составных состояний, но на практике они скрыты от взгляда экспериментатора.
Все это означает, что одного только действительного числа недостаточно для количественного определения квантового состояния. Невозможно даже сформулировать квантовую механику с помощью традиционных действительных чисел.
Если вопрос в том, какие практические применения имеют комплексные числа, то можно указать на квантовую механику в полной уверенности, что они непременно находят применение там. До недавнего времени в большинстве случаев это относилось к лабораторным экспериментам – самому что ни на есть переднему краю физики, но не к тому, что можно обнаружить на собственной кухне или в гостиной. Современная электроника полностью изменила ситуацию, и многие из наших любимых устройств работают по квантово-механическим причинам. Их конструкторы должны разбираться в подобных вещах очень глубоко, а мы можем просто сидеть в сторонке и восхищаться их творениями. Или время от времени ругать их, когда они не делают того, что нам нужно, из-за непонятных технических заморочек с конфигурированием этой проклятой штуковины.
В данном случае я имею в виду свою новенькую оптоволоконную широкополосную линию связи. Выглядит она как обычный кабель, но является частью передающей системы, которая уже опирается на квантовые технологии. Впрочем, ее квантовая часть заключается не в кабеле как таковом: она в устройствах на маршруте, генерирующих световые импульсы, на которых построена работа всей сети. Конечно, свет в любом случае имеет квантовый характер, но эти устройства сконструированы с использованием квантовой механики и не могли бы работать без нее.
Слово «волоконный» в названии означает многожильный кабель, где отдельные волокна представляют собой тонкие стеклянные нити, по которым передается свет. Они сделаны так, что свет отражается от их стенок и не выходит наружу, поэтому такие кабели можно изгибать – свет все равно остается внутри. Информация в световом луче кодируется в виде серии коротких импульсов. Оптическое волокно начали использовать в телекоммуникационной отрасли, потому что оно имеет ряд преимуществ. Современное волокно обладает высокой прозрачностью и потому передает свет на большие расстояния без ослабления сигнала. Световые импульсы способны нести намного больше информации, чем можно передать по традиционному медному телефонному проводу. Именно большая ширина полосы пропускания обеспечивает повышенную «скорость» – дело не столько в том, с какой скоростью движутся импульсы, сколько в числе этих самых импульсов – и, соответственно, в количестве информации, – которое можно втиснуть в одно волокно или в один кабель. Оптоволоконные кабели легче медных, поэтому их проще перевозить и монтировать, и меньше подвержены влиянию электрических помех.
Оптические системы связи включают в себя четыре основных компонента: передатчик (источник света); кабель для передачи сигнала; ряд повторителей, которые подхватывают сигнал, пока он не слишком сильно ослаб, очищают его и ретранслируют; и, конечно, приемник (детектор). Я сосредоточу свое внимание только на одном из этих компонентов – на передатчике. Это должно быть устройство, способное генерировать серии световых импульсов, которые можно включать (1) и выключать (0), чтобы эта серия представляла собой сообщение в двоичном коде. Включение/выключение должно происходить чрезвычайно быстро и с очень высокой точностью. В частности, длина волны («цвет») света должна иметь одно значение. Наконец, импульсы должны сохранять свою форму, чтобы приемник мог их распознать.
Идеальным (и, строго говоря, единственным) гаджетом, способным это делать, является лазер – устройство, испускающее мощный луч когерентного света с определенной длиной волны. Когерентность означает, что все волны в луче находятся в одной фазе и потому не подавляют друг друга. Чтобы добиться этого, лазер гоняет свет (в виде фотонов) туда и обратно между двумя зеркалами, инициируя при этом благодаря положительной обратной связи все более мощный кас