t на t3. За последнее столетие математики придумали общепринятый способ делать подобные вещи. Никто другой, скорее всего, об этом не подумал бы, потому что для этой идеи требуется абстрактное мышление.
Первый шаг заключается в том, чтобы рассматривать не просто одну параметрическую кривую, а «пространство» всех возможных параметрических кривых. Тогда мы говорим, что две «точки» в этом пространстве (то есть две параметрические кривые) эквивалентны, если можно перейти от одной из них к другой посредством изменения параметра. Тогда «форма» определяется как целый класс эквивалентности кривых – множество всех кривых, эквивалентных данной.
Это более обобщенный вариант приема, используемого в модулярной арифметике. Для целых чисел по модулю 5, например, «пространство» – это все целые числа, а два целых числа эквивалентны, если их разность кратна пяти. Существует пять классов эквивалентности:
Все числа, кратные 5;
Все числа, кратные 5, плюс 1;
Все числа, кратные 5, плюс 2;
Все числа, кратные 5, плюс 3;
Все числа, кратные 5, плюс 4.
Почему здесь следует остановиться? Потому что число, кратное 5, при добавлении 5 становится всего лишь следующим кратным 5.
В данном случае множество классов эквивалентности, обозначаемое Z5, обладает весьма полезной структурой. И правда, глава 5 показала, что значительная часть фундаментальной теории чисел опирается именно на эту структуру. Мы говорим, что Z5 – это «фактор-пространство» целых чисел по модулю 5. Именно его вы получите, если сделаете вид, что числа, различающиеся на 5, идентичны.
Нечто аналогичное приводит нас к созданию пространства форм. Здесь вместо целых чисел мы имеем пространство всех параметрических кривых. Вместо того чтобы менять числа на кратное 5, мы меняем формулу параметра. Так что в конечном итоге мы получаем «фактор-пространство», то есть пространство всех параметрических кривых по модулю изменений параметра. Звучит, возможно, бессмысленно, но это давно уже ставший стандартным прием, ценность которого подтверждена временем. Одна из причин его ценности в том, что фактор-пространство – это естественное описание интересующих нас объектов. Другая – в том, что обычно фактор-пространство наследует от исходного пространства его интересную структуру.
Для пространства форм основной интересной особенностью структуры является мера расстояния между двумя формами. Если взять окружность и слегка ее деформировать, мы получим замкнутую кривую, близкую к окружности, но не совпадающую с ней. Если деформировать окружность сильно, получим замкнутую кривую, которая, на интуитивном уровне, отличается от окружности сильнее: она «дальше» от окружности. Это интуитивное представление можно сделать более точным и доказать, что в пространстве форм есть разумная и естественная концепция расстояния: метрика.
Если пространство обладает метрикой, в нем можно делать множество разных полезных вещей. Можно, в частности, отличать непрерывные изменения от тех, которые непрерывными не являются, а можно пойти дальше: отличать плавные изменения от неплавных. Здесь, наконец, мы возвращаемся к проблеме сшивания анимационных последовательностей. Метрика пространства форм позволяет как минимум находить разрывы непрерывности или недостаток плавности на компьютере, посредством вычислений, а не на глаз. Но это еще не все.
В математике много методов сглаживания, способных превратить функцию с разрывами в непрерывную функцию, а негладкую функцию – в гладкую. Как выяснилось, эти методы можно применять и к пространству форм. Так что сшитую последовательность с внезапным разрывом непрерывности можно автоматически – посредством надлежащих компьютерных расчетов – модифицировать и, таким образом, избавиться от разрыва. Это непросто, но возможно. Даже в простом расчете расстояния между двумя кривыми используются методы оптимизации, немного похожие на те, что мы встречали в рассказе о задаче коммивояжера. Для сглаживания последовательности необходимо решить дифференциальное уравнение, напоминающее уравнение Фурье для теплопередачи, которое мы встретим в главах 9 и 10. Теперь вся анимированная последовательность кривых «перетекает» в другую анимированную последовательность, сглаживая при этом все нарушения непрерывности и плавности – и это опять же похоже на то, как тепловой поток сглаживает прямоугольный импульс{56}.
Кроме того, аналогичные абстрактные формулировки делают возможным перевод анимационных последовательностей в похожие, но другие. Последовательность, показывающую, как динозавр идет, можно при помощи небольших поправок изменить так, что животное побежит. Для этого недостаточно просто ускорить действие, потому что бег динозавра зрительно отличается от его ходьбы. Эта методология пока еще находится в начале своего развития, но она позволяет надеяться, что в будущих кинематографических спецэффектах важную роль будет играть математическая мысль очень высокого уровня.
Это всего лишь некоторые из методов, привнесенных в мультипликацию математикой. Другие методы создают упрощенные варианты физических процессов для имитации волн на поверхности океана, сугробов, облаков и гор. Их цель в том, чтобы получить реалистичные результаты, пользуясь как можно более простыми расчетами. В настоящее время существуют масштабные математические теории о представлении человеческих лиц. В фильме «Изгой-один», который является частью сериала «Звездные войны: Истории», актеров Питера Кушинга (умершего в 1994 году) и Кэрри Фишер (умершую в 2016 году) воссоздали в цифровом формате, наложив их лица поверх лиц их телесных двойников. Получилось не слишком убедительно, и фанаты шумно протестовали. В «Последнем джедае» воспользовались более подходящим методом: нарезали из материала, не вошедшего в предыдущие фильмы, кадров с Фишер и сшили их воедино, адаптировав сценарий под имеющийся видеоряд. Тем не менее потребовалось немало компьютерной графики, чтобы заменить на персонаже одежду для единства сюжета. Мало того, почти все, за исключением лица, было отрисовано в цифровом формате – голова, прическа, тело, одежда{57}.
Эти методы уже используются для создания «глубоких фейков» в политической борьбе. Достаточно снять, как какой-то человек делает расистские или сексистские замечания или ведет себя как пьяный, а затем наложить поверх лица этого человека лицо вашего оппонента и выложить ролик в социальные сети. Даже если выяснится, что это фейк, вы все равно останетесь в выигрыше, потому что слухи распространяются куда быстрее фактов. Математика и технологии, на ней основанные, могут нести как зло, так и благо. Все зависит от того, в чьих они руках.
8Вот это отскок!
Пружина – это упругий объект, который при освобождении после сжатия или растягивания восстанавливает первоначальную форму. Она накапливает механическую энергию при приложении постоянного напряжения или амортизации движения. Пружины используются практически во всех отраслях промышленности, от автомобильной и строительной до мебельной.
Недавно мы купили новый матрац. Тот, что мы выбрали, содержит 5900 пружин. На разрезе матраца в магазине видны плотно упакованные группы пружин с редкими витками и целый слой пружин меньшего размера сверху. В матрацы верхнего ценового сегмента добавляют еще 2000 пружин внутрь основного слоя. Сегодняшние технологии далеко ушли от тех времен, когда в среднем матрасе насчитывалось порядка 200 довольно больших и не слишком удобных пружин.
Пружина – одна из тех деталей, которые поистине вездесущи, но которые редко замечают – пока они не испортятся. Есть клапанные пружины в двигателях автомобилей, есть длинные тонкие пружинки в шариковых авторучках, есть пружины всевозможных форм и размеров в компьютерных клавиатурах, тостерах, дверных ручках, часах, батутах, диванах и blu-ray-проигрывателях. Мы их не замечаем, потому что они прячутся внутри приборов и мебели, а, как говорится, с глаз долой – из сердца вон. Экое дело – пружины!
А знаете ли вы, как делают пружины? Я точно не знал, пока в 1992 году у меня в кабинете не зазвонил телефон.
– Алло? Это Лен Рейнольдс. Я инженер из Ассоциации исследователей и производителей пружин в Шеффилде. Я тут читал вашу книгу по теории хаоса, где упоминается метод нахождения формы хаотического аттрактора по результатам наблюдений. Мне кажется, этот метод мог бы помочь в решении проблемы, с которой мы, производители пружин, боремся последние 25 лет. Я попробовал кое-что посчитать на тестовых данных на своем ZX81.
Sinclair ZX81 был одним из первых массовых домашних компьютеров. В качестве монитора в нем использовался телевизор, а для записи программ – кассетный магнитофон. Размером он был примерно с книгу, сделан из пластика и имел целый 1 Kб памяти. Сзади можно было воткнуть еще 16 Kб при условии, что вы не забывали позаботиться о том, чтобы эта память не отваливалась. Я сделал тогда деревянную рамку, которая должна была удерживать блок RAM на месте, а некоторые пользовались офисным пластилином.
Конечно, это были далеко не передовые вычислительные технологии, но полученные Леном предварительные результаты оказались достаточно многообещающими, чтобы получить под них грант £90 000 (что соответствовало на тот момент примерно $150 000) от Министерства торговли и промышленности и примерно столько же (но уже не деньгами) от консорциума производителей пружин и проволоки. Денег хватило на трехлетний проект по улучшению контроля качества пружинной проволоки, который дал начало еще двум проектам. По одной из оценок, результат мог принести производителям пружин и проволоки экономию £18 млн ($30 млн) в год.