Недостатков у рентгеновских снимков хватало. Они были черно-белыми: черные области соответствовали тем местам, где лучи не проникали сквозь преграду, белые – тем местам, где проникали, а полутени соответствовали частичной проницаемости материала. Или, чаще, наоборот, поскольку изготовить фотографический негатив всегда проще. Кости были ясно видны, мягкие ткани по большей части не видны. Но самым серьезным недостатком была двумерность изображения. По существу, снимок уплощал внутреннюю картину, и изображения всех органов, располагавшихся между источником рентгеновских лучей и фотопластинкой, накладывались друг на друга. Можно было, конечно, попытаться сделать несколько рентгеновских снимков с разных ракурсов, но в любом случае интерпретация результатов требовала серьезных навыков и опыта, а дополнительные снимки увеличивали дозу радиации.
Возникал вопрос: нельзя ли как-то получить изображение внутренних тканей организма в трех измерениях?
Вообще-то, к тому моменту математики уже сделали несколько фундаментальных открытий, имеющих к этому вопросу непосредственное отношение, и показали, что если сделать множество двумерных «уплощенных» изображений с разных направлений, то можно выстроить трехмерную структуру изображенного объекта. Однако подталкивали их к этому вовсе не рентгеновские лучи и не медицина. Они просто исследовали метод, придуманный для решения задач, связанных с волнами и тепловыми потоками.
Среди действующих лиц этой истории было немало настоящих звезд, начиная с Галилея, который спускал шары по наклонной плоскости и наблюдал восхитительно простые математические закономерности, связывавшие пройденное расстояние и время, и Ньютона, открывшего фундаментальные закономерности движения планет. Ньютон вывел обе закономерности из математических уравнений, описывающих движение системы тел под действием сил. В своем монументальном труде «Математические начала натуральной философии», которые обычно называют просто «Началами», Ньютон объяснял свои идеи через классическую геометрию, но «самая чистая» их математическая формулировка пришла из другого его открытия – дифференциального и интегрального исчисления, которое независимо от Ньютона открыл также Готфрид Вильгельм Лейбниц. При такой интерпретации Ньютон понял, что фундаментальные законы природы можно выразить и другими уравнениями, в которых речь идет о скорости изменения величин во времени. Так, скорость движения объекта есть скорость изменения его положения, или координат, а ускорение объекта есть скорость изменения его скорости.
Закономерности Галилея выглядят проще всего, когда выражены через ускорение: катящийся шар движется с постоянным ускорением. Его скорость, таким образом, увеличивается с постоянной скоростью – возрастает линейно. Его положение определяется равномерно увеличивающейся скоростью, то есть, если шар начинает движение из состояния покоя в момент времени нуль, его координата пропорциональна квадрату прошедшего времени. Ньютон соединил эту идею с другим простым законом об обратной пропорциональности силы тяготения квадрату расстояния и вывел в результате, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, объяснив таким образом более ранние эмпирические выводы Иоганна Кеплера.
Математики континентальной Европы ухватились за эти открытия и применили дифференциальные уравнения к широкому спектру самых разных физических явлений. Волны на воде и звуковые волны подчиняются волновому уравнению, электричество и магнетизм тоже имеют собственные уравнения, сильно напоминающие уравнение гравитации. Многие из них являются дифференциальными уравнениями в «частных» производных, которые позволяют соотнести скорость изменений в пространстве со скоростью изменений во времени. В 1812 году Французская академия наук объявила, что темой ее ежегодного призового конкурса будет теплопередача. Нагретые тела остывают, и тепло распространяется через материалы, способные его проводить, – вот почему металлическая ручка кастрюли может сильно нагреться, пока содержимое готовится. Академия хотела получить математическое описание этого процесса, и дифференциальные уравнения в частных производных представлялись вполне правдоподобными кандидатами на решение, потому что распределение теплоты меняется как в пространстве, так и во времени.
Жозеф Фурье отправил в Академию статью о теплопередаче еще в 1807 году, но ее отказались публиковать. Объявленный конкурс вдохновил Фурье на разработку собственного дифференциального уравнения в частных производных для теплопередачи, и это уравнение принесло ему победу. Его «уравнение теплопроводности» утверждает, в математической форме, что теплота в заданном месте изменяется во времени, проникая в соседние области пространства и рассеиваясь в них, как растекается потихоньку капля чернил по промокательной бумаге.
Проблемы начались, когда Фурье попытался решить свое уравнение, начиная с очень простого случая: распространения теплоты по металлическому стержню. Он заметил, что у этого уравнения имеется простое решение, если начальное распределение теплоты выглядит как кривая синуса или косинуса в тригонометрии. Затем он заметил, что, в принципе, можно разобраться и с более сложными вариантами начального распределения, если соединить множество отдельных синусоид и косинусоид. Он даже нашел формулу из дифференциального исчисления, точно описывающую вклад каждого слагаемого: нужно умножить формулу для начального распределения на соответствующий синус или косинус и проинтегрировать результат. Это привело к дерзкому заявлению: его формула, которая в настоящее время называется рядом Фурье, решает задачу совершенно для любого начального распределения теплоты. В частности, утверждал он, формула работает для распределений с разрывами, таких как прямоугольная ступень: полстержня имеет одну постоянную температуру, полстержня – другую.
Это заявление сразу же окунуло Фурье с головой в спор, который шел уже несколько десятилетий. Тот же вопрос – мало того, с той же интегральной формулой – уже всплывал в исследованиях Эйлера и Бернулли, посвященных уравнению волнового движения. Там обычно в качестве любимого примера выступала идеальная скрипичная струна – и понятно, что нельзя заставить струну звучать, нарушив ее непрерывность: она просто порвется. Поэтому физическая интуиция подсказывает, что с представлением функций с разрывами могут возникнуть проблемы, а математическая интуиция усиливает сомнения, заставляя тревожиться о том, сходится ли тригонометрический ряд. То есть имеет ли смысл сумма бесконечного числа синусоидальных кривых, а если имеет, то сойдется ли она в конечном итоге к прямоугольной волне с разрывом или, может быть, к чему-то другому.
Как получить прямоугольный график из синусов и косинусов. Слева: компоненты – синусоидальные волны. Справа: сумма первых пяти членов ряда Фурье аппроксимирует прямоугольный уступ. Дополнительные члены (не показаны) улучшают качество аппроксимации
Не желая никого обижать, замечу, что часть проблемы заключалась в том, что Фурье думал как физик, а его критики – как математики. Физически прямоугольный импульс имеет смысл как модель теплоты. Металлический стержень рассматривается как отрезок идеальной прямой – именно так, кстати говоря, Эйлер и Бернулли рассматривали скрипичную струну. Если теплота распределена равномерно по половине этого отрезка, а вторая половина намного холоднее и перепад между ними резок, то естественной моделью для такого распределения становится прямоугольная ступенька.
Ни одна модель не может быть абсолютно точным представлением реальности, но механика в те дни всегда работала с идеализированными объектами, такими как точечные массы, идеально упругие столкновения, бесконечно тонкие идеально жесткие стержни и т. д. Прямоугольная волна едва ли оказалась бы лишней в такой компании. Более того, математически решение Фурье предсказывает, что нарушение непрерывности сразу же сглаживается диффузией и превращается в резко изгибающуюся, но непрерывную кривую, которая постепенно уплощается, что разумно с физической точки зрения и устраняет математический разрыв. К несчастью, подобные аргументы были слишком неопределенными, чтобы убедить математиков – ведь те знали, что бесконечные ряды часто ставят тонкие и сложные вопросы. Представители Академии пришли к компромиссу: Фурье получил приз, но его работа так и не была опубликована.
Неунывающий Фурье опубликовал эту работу в 1822 году в виде книги «Аналитическая теория теплоты». Затем, чтобы всех подразнить, он умудрился получить должность секретаря Академии и сразу же напечатал свою оригинальную выигравшую приз статью в журнале Академии. Ловко?
Потребовалось около 100 лет, чтобы окончательно разрешить математические вопросы, поднятые заявлениями Фурье. Говоря в целом, он был во многом прав, но ошибался в нескольких принципиальных вопросах. Его метод в самом деле работал для прямоугольного импульса, плюс-минус кое-какие поправки в отношении того, что происходит непосредственно в точке разрыва. Но метод определенно не работал для более сложных начальных распределений. Полное понимание ситуации пришло лишь после того, как математики разработали более общее понятие интеграла, наряду с топологическими понятиями, которые лучше всего формулируются в контексте теории множеств.
Задолго до того, как математическое сообщество разобралось наконец с тем, на что замахнулся Фурье, инженеры ухватились за его базовую идею и, по существу, присвоили ее и начали активно использовать. Они поняли, что сутью его работы было то, что ныне называют преобразованием Фурье, при котором сложный сигнал, изменяющийся во времени, может быть интерпретирован как комбинация простых сигналов с различными частотами. Формула интеграла Фурье подсказывает, как перенести точку наблюдения из временно́й области в частотную и обратно – при этом используется почти та же самая формула, что устанавливает «дуализм» между двумя представлениями.