Этот дуализм означает, что преобразование обратимо, то есть можно восстановить первоначальный сигнал по частотам, которые он создает. Это как перевернуть монету с орла на решку, а затем обратно. Полезность этой процедуры для инженерного дела состоит в том, что некоторые свойства, которые трудно обнаружить во временно́й области, становятся очевидными в частотной области. Это может работать и в обратную сторону, так что мы получаем два очень разных метода анализа одних и тех же данных, и каждый из них естественным образом выявляет именно те черты, которые упускает второй.
Например, реакция высотного здания на землетрясение во временной области кажется случайной и хаотичной. Однако в частотной области можно увидеть несколько больших пиков на определенных частотах. Эти пики позволяют выявить резонансные частоты, которые вызывают особенно сильную реакцию здания. Чтобы здание не рухнуло при землетрясении, необходимо подавить эти частоты. На практике здание ставят на массивное бетонное основание, имеющее возможность двигаться из стороны в сторону. Затем это боковое движение «гасится» гигантскими грузами или пружинами.
Еще одно применение преобразования Фурье восходит к открытию структуры ДНК Фрэнсисом Криком и Джеймсом Уотсоном. Ключевым свидетельством, подтвердившим их правоту, тогда стала фотография дифракции рентгеновских лучей на кристалле ДНК. Для получения такого снимка пучок рентгеновских лучей пропускают сквозь кристалл, который заставляет их отклоняться и отражаться, – такое поведение и называют дифракцией. Волны, как правило, собираются в группы под определенными углами, согласно закону дифракции Лоуренса и Уильяма Брэгга, и на снимке появляется сложная геометрическая композиция из множества точек. Дифракционная картина представляет собой, по существу, своего рода преобразование Фурье позиций атомов в молекуле ДНК. Применив обратное преобразование (сложный расчет, реализовать который сегодня намного проще, чем тогда), можно получить форму молекулы. Как я уже сказал, преобразование иногда делает структурные особенности очевидными, хотя разглядеть их в оригинале довольно трудно. В данном случае опыт работы с другими рентгеновскими дифракционными картинами помог Крику и Уотсону сразу же, без вычисления обратного преобразования, понять, что молекула представляет собой спираль. Другие идеи позволили уточнить это представление, что и привело в конечном итоге к открытию знаменитой двойной спирали, существование которой позже удалось подтвердить при помощи преобразования Фурье.
Это всего лишь два случая практического применения преобразования Фурье и его многочисленной родни. В числе других можно назвать улучшение радиоприема, устранение шума, создаваемого царапинами на старых виниловых пластинках, улучшение эффективности и чувствительности гидролокационных систем, используемых подводными лодками, и устранение нежелательных колебаний в автомобилях на стадии их конструирования.
И все это, как вы можете заметить, не имеет никакого отношения к теплопередаче. Непостижимая эффективность. Главное – это не физическая интерпретация задачи, хотя она вполне могла серьезно повлиять на оригинальную работу, а ее математическая структура. Одни и те же методы применяются при решении задач с одинаковой или похожей структурой, и здесь на сцене появляются сканеры.
Математиков тоже заинтересовало преобразование Фурье, и они перевели его на язык функций. В общем случае функция – это математическое правило превращения одного числа в другое, например «возведение в квадрат» или «извлечение кубического корня». Все традиционные функции, такие как многочлены, корни, экспоненты, логарифмы, и тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс) включены в это понятие, но могут существовать и более сложные «правила», которые не выражаются формулами, – взять хотя бы прямоугольный импульс, принесший Фурье так много огорчений.
С этой точки зрения преобразование Фурье берет функцию одного типа (первоначальный сигнал) и преобразует ее в функцию иного типа (список частот). Существует также обратное преобразование, компенсирующее действие прямого. А их двойственность – тот факт, что обратное преобразование почти совпадает с прямым, – представляет собой первоклассный бонус. Корректным контекстом для подобных вещей являются пространства функций с определенными свойствами: функциональные пространства. Гильбертовы пространства, используемые в квантовой теории (глава 6), – это функциональные пространства, где значениями функций являются комплексные числа, а их математика находится в близком родстве с математикой преобразования Фурье.
Математики-исследователи неизменно приобретают устойчивый рефлекс. Когда предлагают новую идею, обладающую замечательными и полезными свойствами, они сразу же задумываются, а нет ли аналогичных идей, которые использовали бы тот же прием в иных обстоятельствах. Существуют ли другие преобразования, подобные преобразованию Фурье? Другие варианты двойственности? Специалисты по теоретической математике ищут ответы на эти вопросы абстрактными и обобщенными способами, тогда как прикладники (а также инженеры, физики и бог знает кто еще) сразу начинают думать о том, как все это можно использовать. В данном случае хитроумный прием Фурье положил начало целой отрасли преобразований и двойственностей, не исчерпавшей свои возможности и по сей день.
Одна из вариаций на тему Фурье открыла нам путь к современным медицинским сканерам. Ее изобретателем был Иоганн Радон. Родился он в 1887 году в городе Течен в Богемии, области Австро-Венгрии (ныне это Дечин в Чешской Республике). По всем отзывам это был дружелюбный и симпатичный человек, спокойный, воспитанный и легко сходившийся с другими. Подобно многим ученым и людям свободных профессий, он любил музыку, а в те времена, до появления радио и телевидения, люди часто собирались у кого-нибудь дома и музицировали. Радон хорошо играл на скрипке и прекрасно пел. Как математик, он поначалу работал над вариационным исчислением – именно ему была посвящена его докторская диссертация – и естественным образом переключился на новую быстро растущую область функционального анализа. В этой области, начало которой положили польские математики под руководством Стефана Банаха, ключевые идеи классического анализа интерпретировались заново с точки зрения функциональных пространств бесконечной размерности.
На начальном этапе развития математического анализа математики сосредоточивались на вычислении таких вещей, как производная функции, то есть скорость ее изменения, и ее интеграл, то есть площадь под графиком функции. С развитием предмета фокус сместился на общие свойства операций дифференцирования и интегрирования и на то, как они ведут себя в случае комбинации функций. Если сложить две функции, что произойдет с их интегралами? На передний план вышли особые свойства функций. Непрерывна ли функция (нет ли у нее скачков)? Дифференцируема ли она (плавно ли изменяется)? Интегрируема ли (имеет ли смысл площадь)? Как связаны друг с другом эти свойства? Как все это работает, если взять предел последовательности функций или сумму бесконечного ряда? Какого рода предел или сумму?
Банах и его коллеги сформулировали эти более общие вопросы с точки зрения «операторов». Точно так же, как функция превращает одно число в другое, оператор превращает функцию в число или в другую функцию. Примеры – «взять интеграл» или «продифференцировать». Польские и другие математики обнаружили, что можно взять теоремы о числовых функциях и превратить их в теоремы об операторах функций. Получившееся в результате утверждение может быть истинным, а может и не быть: самое интересное здесь – понять, что, собственно, происходит. Идея получила развитие, потому что довольно скучные теоремы о функциях превращаются в очевидно более глубокие теоремы об операторах, но при этом доказать их зачастую можно теми же простыми методами. Еще один прием состоял в отбрасывании формальных вопросов о том, как интегрировать сложные формулы с синусами, логарифмами и т. п., и в переосмыслении основ. Чем на самом деле занимается математический анализ? Самым фундаментальным вопросом анализа оказалось измерение близости двух чисел. Она определяется разностью между ними в том порядке, который позволяет сделать разность положительной. Функция непрерывна, если маленькая разность между числами на входе дает маленькую разность между числами на выходе. Чтобы найти производную функции, нужно увеличить переменную на маленькую величину и посмотреть, как меняется значение функции в пропорции к этой маленькой величине. Чтобы играть в подобные игры на следующем уровне, с операторами, следует определить, что означает близость между двумя функциями. Сделать это можно множеством способов. Можно посмотреть на разность их значений в любой заданной точке и сделать так, чтобы эта разность была маленькой (во всех точках). Можно сделать интеграл этой разницы маленьким. Каждый вариант ведет нас к иному «функциональному пространству», содержащему все функции с заданными свойствами и снабженному собственной «метрикой» или «нормой». Если вернуться к аналогии между числами и функциями, то функциональное пространство играет роль множества действительных или комплексных чисел, а оператор – это правило преобразования функции из одного функционального пространства в функцию из другого функционального пространства. Преобразование Фурье – особенно важный пример оператора, преобразующего функцию в последовательность коэффициентов Фурье. Обратное действие преобразует последовательности чисел в функции.
С этой точки зрения большие фрагменты классического анализа внезапно становятся частью единой картины как примеры функционального анализа. Функции одной или нескольких действительных или комплексных переменных можно рассматривать как довольно простые операторы на довольно простых пространствах – на множестве действительных чисел, множестве комплексных чисел или векторных пространствах конечной размерности, образованных последовательностями таких чисел. Функция трех переменных – это всего лишь функция, или оператор, определенная на пространстве всех троек действительных чисел. Более заумные операторы, такие как «проинтегрировать», определены на (скажем) пространстве всех непрерывных функций, переводящих трехмерное пространство в пространство действительных чисел, с метрикой «интегрировать квадрат разности значений двух функций, о которых идет речь». Основное различие здесь в