«Любая достаточно развитая технология, – писал великий фантаст и футуролог Артур Кларк, – неотличима от магии». Другой писатель-фантаст Грегори Бенфорд переиначил Кларка так: «Любая технология, которую можно отличить от магии, развита недостаточно». Спутниковая навигация достаточно развита, но не является магией. Как она работает?
Прибор знает, куда вы едете, потому что вы сами ему об этом сказали. Для этого вы прикасались к буквам и цифрам на экране. Это очевидно. Кстати говоря, очевидно здесь только это. Остальное опирается на высокие технологии – спутники на орбитах, радиосигналы, коды, псевдослучайные числа и много-много хитроумных компьютерных вычислений. Алгоритмы для поиска самого быстрого/дешевого/безопасного для окружающей среды маршрута. Совершенно необходима теоретическая физика: орбитальная механика, основанная на законе всемирного тяготения Ньютона, дополненном специальной теорией относительности Эйнштейна и его же общей теорией относительности. Спутники на орбитах передают так называемый дальномерный код – сигналы с точной временно́й привязкой. У вас же почти все происходит в одном крохотном компьютерном чипе. Плюс задействуются какие-то чипы памяти, где хранятся карты и т. п.
Мы ничего этого не видим и воспринимаем как магию.
Стоит ли говорить, что значительная часть магии носит математический характер и требует немалых объемов математики из множества областей, а также физики, химии, материаловедения и инженерных премудростей. Возможно, некоторым пользователям не помешала бы и психиатрическая помощь, ну да ладно.
Даже если оставить в стороне производство и создание космических аппаратов и технологий их доставки на орбиту, в спутниковой навигации задействовано не менее семи областей математики, без которых она работать не будет. Вот что я имею в виду:
• Расчет траекторий ракет-носителей, доставляющих спутники на орбиту.
• Баллистическое проектирование набора орбит, позволяющего получить хорошее покрытие территории: необходимо, чтобы из любой точки в любой момент были видны по крайней мере три спутника, но лучше больше.
• Использование генератора псевдослучайных чисел для создания сигналов, позволяющих измерять с высокой точностью расстояние до каждого из спутников.
• Использование тригонометрии и орбитальных данных для вычисления положения вашей машины.
• Использование уравнений специальной теории относительности для внесения в расчеты поправок, связанных с действием высокой скорости движения спутников на ход времени.
• Использование уравнений общей теории относительности для внесения в расчеты поправок, связанных с действием гравитации Земли на ход времени.
• Решение одного из вариантов задачи коммивояжера для нахождения лучшего маршрута в соответствии с выбранным вами критерием: самого быстрого, самого короткого, наименее вредного для окружающей среды.
О большей части перечисленного я расскажу подробнее на следующих страницах, причем больше всего внимания постараюсь уделить самым удивительным моментам.
Спутниковая навигация зависит от чрезвычайно точных синхронизированных сигналов, получаемых при помощи атомных часов и рассылаемых со специальных орбитальных аппаратов. Цезиевые часы сами по себе очень точны и имеют погрешность хода не более чем 5/1014, то есть ошибаются не более чем на 4 наносекунды в сутки. Это соответствует ошибке в определении вашего положения, равной примерно одному метру в сутки. Чтобы скомпенсировать постепенный дрейф, часы периодически синхронизируются с наземной станцией. Существуют и другие источники временны́х ошибок, к которым я еще вернусь.
В настоящее время существует несколько спутниковых навигационных систем, но я сосредоточусь на первой и наиболее широко используемой из них – Global Positioning System (GPS). Проект был начат в 1973 году под эгидой Министерства обороны США. Основа системы – группировка орбитальных аппаратов: первоначально их было 24, теперь 31. Первый спутник-прототип был запущен в 1978 году, а полная группировка начала функционировать в 1993 году. Первоначально система GPS предназначалась для военного использования, но указ президента Рональда Рейгана от 1983 года сделал ее доступной гражданам в низком разрешении. GPS постоянно модернизируется, и еще несколько стран в настоящее время имеют собственные системы спутникового позиционирования, начиная с российской Глобальной навигационной спутниковой системы (ГЛОНАСС), дающей точность до двух метров. В 2018 году Китай начал создавать свою навигационную спутниковую систему BeiDou, которая сейчас, возможно, функционирует в полном объеме. Навигационная система Европейского союза называется Galileo. Великобритания покинула ЕС и не участвует теперь в эксплуатации системы, но в ознаменование триумфа идеологии над здравым смыслом объявила о разработке собственной системы навигации. Индия строит NavIC, а Япония – Quasi-Zenith Satellite System (QZSS), что должно позволить им ликвидировать зависимость от GPS к 2023 году.
Первоначальная группировка GPS из 24 спутников, по четыре на каждой из шести орбит[10]
С технической точки зрения GPS включает в себя три «сегмента»: космический (собственно спутники), управляющий (наземные станции) и пользовательский (вы в своей машине). Спутники рассылают дальномерные коды. Управляющий сегмент следит за орбитами спутников и точностью их часов и при необходимости передает команды на коррекцию орбиты или синхронизацию часов. Пользователю достаточно дешевого маломощного приемника, встроенного в мобильный телефон и сообщающего приложениям, где он находится.
Совокупность спутников традиционно называется «группировкой». По проекту группировка GPS включает в себя 24 спутника на примерно круговых орбитах на высоте 20 200 км над поверхностью Земли, или 26 600 км от ее центра. Я оставлю в стороне более поздние дополнительные спутники, которые не меняют основную идею, а лишь делают систему более надежной и точной. Существует шесть орбит в плоскостях, пересекающих плоскость экватора под углом 55° и распределенных равномерно вдоль экватора. На каждой орбите находятся четыре равноудаленных спутника, которые вечно гонятся друг за другом. Радиус орбиты рассчитан таким образом, чтобы спутник возвращался в одну и ту же точку орбиты каждые 11 часов 58 минут. В результате он оказывается примерно над одним и тем же местом на Земле дважды в сутки, но при этом медленно дрейфует.
Следующий математический элемент – геометрия орбиты. Такая конфигурация орбит и размещения спутников означает, что в любой момент по крайней мере шесть спутников видны (то есть сигналы с них могут быть получены) из любой точки планеты. Какие именно шесть, зависит от того, где вы находитесь, и этот набор меняется со временем, поскольку Земля вращается и спутники тоже обращаются по своим орбитам.
В системе GPS пользователям не нужно передавать на спутники никакой информации. У них есть приемник, который принимает дальномерные коды со всех видимых на данный момент спутников. Приемник обрабатывает сигналы с точной привязкой ко времени, чтобы определить с их помощью, где он находится. Базовый принцип прост, так что давайте сначала рассмотрим его. Затем я укажу на некоторые тонкости, о которых необходимо позаботиться, чтобы эта система работала в реальном мире.
Начнем с одного спутника. Он отправляет дальномерные коды, по которым ваш приемник определяет, как далеко этот спутник находится в настоящий момент. (Позже мы увидим, как это рассчитывается.) Возможно, это расстояние составляет 21 000 км. Если исходить из этой информации, то вы находитесь на поверхности сферы со спутником в центре и радиусом 21 000 км. Сама по себе такая информация не слишком полезна, но в это же мгновение видимы еще по крайней мере пять спутников. Я буду называть их спутником 2, спутником 3 и т. д. до спутника 6. Каждый из них передает свои сигналы, которые вы принимаете одновременно, и каждый сигнал помещает вас на свою сферу с соответствующим спутником в центре: это сферы 2, 3, 4, 5, 6. Сигнал со спутника 2 совместно с сигналом со спутника 1 помещает вас на пересечение сфер 1 и 2, которое представляет собой окружность. Спутник 3 добавляет в эту систему свою сферу, которая пересекается со сферой 1 по другой окружности. Эти две окружности пересекаются друг с другом в двух точках, каждая из которых лежит на всех трех сферах. Сигнал от спутника 4 образует сферу 4, которая в общем случае позволяет определить, какая из двух точек является вашим истинным местоположением.
В идеальном мире мы могли бы остановиться на этом, и привлечение спутников 5 и 6 было бы уже излишне. В реальности все не так просто. Всюду могут возникать ошибки. Атмосфера Земли может исказить сигнал, его прохождению могут помешать радиопомехи или еще что-нибудь. Для начала из этого следует, что ваше местоположение скорее близко к соответствующей сфере, а не на ней. Точка вашего местоположения лежит не на поверхности сферы, а скорее в пределах утолщенной оболочки, включающей в себя эту поверхность. Так что четыре спутника и их четыре сигнала могут определить ваше положение с некоторым уровнем точности, но не идеально. Чтобы улучшить результат, GPS использует дополнительные спутники. Их утолщенные сферические оболочки еще сильнее сужают область вашего возможного пребывания. На этом этапе уравнения, определяющие ваше положение, почти наверняка несовместимы друг с другом, если не обращать внимания на вероятные ошибки, но, воспользовавшись старым статистическим приемом, можно минимизировать суммарную ошибку и получить наилучшую оценку положения. Этот прием, известный как метод наименьших квадратов, был предложен Гауссом в 1795 году.
В результате вашему GPS-приемнику достаточно систематически производить серию относительно простых геометрических расчетов, которая и приведет к наилучшей возможной для этого прибора оценке местоположения. Сравнивая полученный результат с детализированной формой Земли, прибор может определить даже, как высоко над уровнем моря вы находитесь. Как правило, высоты определяются менее точно, чем координаты по широте/долготе.