До сих пор я говорил в основном о том, как математика, действуя за сценой, влияет на нашу повседневную жизнь. Я намеренно опустил целую кучу важных областей применения математики в науке, в первую очередь в теоретической науке. Но климатические изменения уже видны – спросите об этом австралийцев, которым в начале 2020 года пришлось бороться с беспрецедентными природными пожарами. Взгляните на периоды рекордной жары по всему земному шару, сильнейшие за столетие наводнения, которые теперь случаются каждые 5–10 лет. Взгляните, как ни странно, на редкие всплески аномального холода. Тот факт, что глобальное потепление может привести к значительному похолоданию в некоторых местах, противоречит интуитивным представлениям, но объяснить это несложно. Глобальное потепление – это повышение среднего количества тепла, поступающего в атмосферу, океаны и сушу. Никто не утверждает, что потепление будет идти везде одинаково.
По мере повышения полной тепловой энергии планеты отклонения от среднего – флуктуации – становятся больше и могут быть как холодными, так и теплыми. Смысл в том, что в целом тепло выигрывает. Внезапное похолодание в одном месте не говорит о том, что глобальное потепление – вымысел. Если в вашем городе на 10 градусов холоднее обычного, но в 11 городах где-то еще на один градус теплее, то средняя глобальная температура выросла. Если в вашем городе на 10 градусов холоднее обычного сегодня, но на один градус теплее в течение 11 случайных дней позже, то средняя глобальная температура выросла, при прочих равных условиях. Мало того, выросла и средняя температура в вашем городе.
Проблема в том, что мы замечаем внезапный всплеск холода, но компенсационные эффекты могут оказаться слишком слабыми, чтобы они отложились у нас в голове, слишком распыленными или происходящими где-то еще. Необычные всплески холода в Европе и Северной Америке в последние годы происходили потому, что воздушные потоки забросили холодный воздух из Арктики дальше на юг, чем обычно. Поэтому холодный воздух, который в нормальных условиях циркулировал бы около полярной ледяной шапки, оказался над океанами, над Гренландией, Северной Канадой и Россией. Почему этот холодный воздух пришел на юг? Потому что воздух в полярных областях был много теплее обычного и вытеснил холодный воздух. В целом весь регион стал теплее – в среднем.
В моделировании климата достаточно математики на целую книгу, но я собираюсь говорить не об этом. Как Арло, я просто готовлю сцену для того, о чем я действительно хочу рассказать.
Лед по всему земному шару тает. В ряде необычных мест количество льда потихоньку увеличивается, но во всех остальных местах снижается, причем быстро. Ледники отступают, а ледяные шапки на обоих полюсах уменьшаются. Эти явления угрожают лишить питьевой воды пару миллиардов человек, а подъем уровня моря приведет к затоплению домов еще полумиллиарда, если мы не сумеем остановить эти процессы. В результате физика и математика таяния льда приобретают жизненно важное значение, причем буквально для каждого из нас.
Физики много чего знают о таянии льда. Наряду с кипением и парообразованием, это классический пример фазового перехода – изменения состояния вещества. Вода может существовать в разных состояниях. Она может быть твердой, жидкой или газообразной. То, в каком состоянии она находится, зависит в основном от температуры и давления. При атмосферном давлении достаточно холодная вода является твердым телом – льдом. При нагревании она проходит точку плавления и превращается в жидкость – собственно воду. Нагрейте ее еще, до точки кипения, и она превратится в газ – водяной пар. В настоящее время наука знает о существовании 18 фаз льда, последняя из которых, «квадратный лед», открыта в 2014 году. Три из 18 фаз существуют при нормальных давлениях, остальные требуют куда более высоких его значений.
Темные прудики с талой водой выделяются на фоне белого арктического льда. Почему они образуют такие затейливые узоры?
Бо́льшая часть того, что нам известно про лед, исходит из лабораторных экспериментов с относительно небольшими его количествами. Нам же в настоящее время настоятельно необходимо как можно больше знать о таянии чрезвычайно больших количеств льда в естественной среде. Существует два взаимосвязанных способа получения такой информации: наблюдение за происходящим и измерение параметров и построение теоретических моделей физических процессов. Ключ к реальному пониманию – соединение обоих методов.
Одним из признаков того, что полярные льды, особенно морские, тают, можно считать образование прудиков с талой водой. Поверхностный лед начинает таять, и небольшие темные лужи постепенно пятнают девственную белизну льда, хотя зачастую поверхность льда сейчас имеет не слишком девственный серый цвет от покрывающей его пыли. Лужи заполнены водой, в отличие от льда, имеют темный цвет и поглощают солнечные лучи, вместо того чтобы отражать их. Инфракрасное излучение, в частности, прогревает лужи быстрее, чем лед, так что они постепенно растут. Они увеличиваются, со временем сливаются друг с другом и образуют талые пруды замысловатой формы – кляксы, соединенные тонкими каналами, которые ветвятся и тянутся во все стороны, как заросли каких-то странных грибов.
Физика роста талых прудов – одна из принципиально важных особенностей поведения морского льда при потеплении. А сейчас происходит именно это, особенно с арктическим морским льдом. Что случится с морским льдом, когда планета разогреется, – важная часть проблемы понимания последствий изменения климата. Поэтому математики, естественно, исследуют поведение математических моделей тающего льда, надеясь вытащить из них хотя бы некоторые его секреты. Иногда это удается, что, впрочем, неудивительно. Удивительно то, что одна из изучаемых в настоящее время моделей вообще не имеет отношения к таянию льда. Она связана с магнетизмом и датируется 1920 годом. Магнитные материалы тоже претерпевают своего рода фазовый переход – при слишком сильном нагреве они теряют изначально присущие им магнитные свойства.
Данная модель давно стала образцом для фазовых переходов. Придумал ее немецкий физик Вильгельм Ленц, но все называют ее моделью Изинга, поскольку математики и физики неизменно дают названия в честь того, кто в их сознании теснее всего ассоциируется с открытием. У Ленца был ученик Эрнст Изинг, которому он дал тему для докторской диссертации: рассмотреть эту модель и показать, что в ней есть магнитный фазовый переход. Изинг рассмотрел модель и показал, что такого перехода в ней нет. Тем не менее его исследование дало начало новой отрасли математической физики и сильно продвинуло вперед наши представления о магнитах.
А теперь о таянии льда.
Магниты сегодня настолько обычны и привычны, что мы редко задумываемся о том, как они работают. С их помощью мы прикрепляем пластиковых свинок на дверцу холодильника (во всяком случае, в моем доме так делают), застегиваем чехол мобильного телефона и даже ловим знаменитый бозон Хиггса, который наделяет элементарные частицы массой. Без магнитов не было бы компьютерных жестких дисков и электрических машин вроде тех, что автоматически поднимают и опускают окна автомобиля, или тех, что генерируют гигаватты электроэнергии. Несмотря на свою вездесущность, магниты очень загадочны. Они притягивают или отталкивают друг друга посредством невидимого силового поля. Самые простые и знакомые магниты – стержневые – имеют полюса на концах, называемые северным и южным. Северный и южный полюса притягиваются, а два северных полюса отталкиваются, как, впрочем, и два южных. Если попытаться сблизить одноименные полюса мощных маленьких магнитов, то можно почувствовать силу их отталкивания. Если попытаться развести разноименные полюса, то можно почувствовать силу их притягивания друг к другу. Они действуют друг на друга, даже если не соприкасаются, – вот вам «дальнодействие». При помощи магнитов можно заставить предметы левитировать, даже такие большие предметы, как поезда. Загадочное силовое поле невидимо.
Магниты известны человеку не менее 2500 лет. Они возникают естественным образом в минерале магнетите, который представляет собой оксид железа. Небольшой кусок магнетита, известного еще как магнитный железняк, может притягивать железные предметы. Его можно превратить в компас, подвесив на нитке или пустив плавать в воде на деревянной дощечке. Природные магниты используются для навигации примерно с XII века. Подобные материалы, способные обретать постоянное магнитное поле, называют ферромагнетиками. По большей части они представляют собой сплавы железа, никеля и/или кобальта. Одни материалы сохраняют магнитные свойства почти вечно, а другие можно намагнитить на какое-то время, но они довольно быстро размагничиваются.
Ученые начали серьезно заниматься магнитами в 1820 году, когда датский физик Ханс Кристиан Эрстед открыл связь между магнетизмом и электричеством, а именно тот факт, что электрический ток может создавать магнитное поле. В 1824 году британский ученый Уильям Стерджен изготовил электромагнит. История электромагнетизма слишком обширна, чтобы описывать ее подробно, но ключевыми в развитии этой области физики стали эксперименты Майкла Фарадея. Они позволили Джеймсу Клерку Максвеллу сформулировать математические уравнения для электрического и магнитного полей и их взаимосвязи. Эти уравнения показывают, что движущееся электрическое поле порождает магнетизм, а движущее магнитное поле порождает электричество. Вместе они создают электромагнитные волны, которые распространяются со скоростью света. Мало того, свет и сам является такой волной. Как и радиоволны, рентгеновские лучи и микроволны.
Одно из загадочных свойств ферромагнетиков заключается в том, как они реагируют на нагрев. У каждого из них есть критическая температура, именуемая точкой Кюри. Если нагреть ферромагнетик выше точки Кюри, его магнитное поле исчезает. И не просто исчезает: переход происходит резко. При приближении температуры к точке Кюри магнитное поле начинает ослабевать, причем тем быстрее, чем она ближе к этой точке. Физики называют такой тип поведения фазовым переходом второго типа. Большой вопрос: почему так происходит?