Цвета (здесь оттенки серого) показывают ориентацию, которая порождает больше всего активности в каждом участке коры. Воспринимаемая ориентация меняется плавно, за исключением точек сингулярности, где все цвета сходятся[12]
Эти идеи интересны не только биологам. В стремительно развивающейся области биомиметики инженеры учатся у природы, что позволяет им создавать новые материалы и новые машины. Например, в изобретении рентгеновских телескопов важнейшую роль сыграла любопытная структура глаза омара{67}. Чтобы сфокусировать пучок рентгеновских лучей, необходимо изменить их направление, но у них настолько высокая энергия, что подходящее зеркало может отклонить луч только на очень небольшой угол. Эволюция омара решила аналогичную проблему для видимого света миллионы лет назад, и эта же геометрия работает для рентгеновских лучей. Новые представления о слое V1 коры головного мозга у млекопитающих могут быть перенесены и на компьютерное зрение, с потенциальным применением в таких сферах, как беспилотные автомобили и машинная интерпретация спутниковых снимков для военных и гражданских целей.
Центральный вопрос топологии звучит так: «Какая это фигура?» То есть «Какое топологическое пространство мы здесь видим?» Вопрос может показаться банальным, но математика представляет нам топологические пространства самыми разными способами – в виде картинок, формул, решений уравнений, поэтому не всегда понятно, что мы получаем. Например, только тополог способен разглядеть бутылку Клейна в слое V1 мозга макаки. Мы замахнулись на решение этой задачи, когда заметили, что четыре пространства на моем рисунке – цилиндр, лента Мёбиуса, тор и бутылка Клейна – различаются топологическими свойствами. Ближе к концу XIX века и в начале XX века математики разработали систематические подходы к этому вопросу. Ключевая идея состоит в том, чтобы определить топологические инварианты – свойства, которые можно вычислить и которые одинаковы у топологически эквивалентных пространств, но различны по крайней мере у некоторых неэквивалентных пространств. Обычно этого недостаточно, чтобы различать все неэквивалентные пространства, но даже частичная классификация полезна. Если у двух пространств различается какой-то из инвариантов, то эти пространства определенно имеют различную топологию. При рассмотрении четырех фигур, о которых мы говорили, инвариантами являются такие аспекты, как «сколько краев?» и «сколько сторон?».
За прошедшие десятилетия выяснилось, что одни инварианты полезнее других, и было построено несколько инвариантов, имеющих фундаментальное значение. Тот, о котором я хочу сейчас рассказать (отчасти потому, что в последнее время у него появились серьезные сферы применения), называется гомологией. По существу, он подсчитывает, сколько отверстий заданной размерности имеет пространство. Мало того, он не просто подсчитывает: он соединяет отверстия и неотверстия в единый алгебраический объект, называемый группой гомологий.
Есть одно базовое топологическое пространство, которое я до сих пор не упоминал: сфера. Как и в случае с тором, когда математики произносят это слово, они подразумевают бесконечно тонкую поверхность, а не заполненную сферу (которую называют шаром). У сферы нет краев, как у тора и бутылки Клейна. Мы можем показать, что она топологически отличается и от тора, и от бутылки Клейна, если посмотрим на отверстия или их отсутствие.
Начнем с тора. С первого взгляда очевидно, что у тора прямо в середине есть огромное и очень заметное отверстие. Сферы выглядят совершенно иначе. Но как определить отверстие математически, так, чтобы определение не зависело от окружающего пространства? Ответ в том, что смотреть надо на замкнутые кривые на поверхности. Любая замкнутая поверхность на сфере образует границу области, которая с топологической точки зрения представляет собой диск – внутренность окружности{68}. Доказательство этого довольно заковыристо, поэтому будем просто считать, что так оно и есть. На торе некоторые замкнутые кривые также ограничивают диски, но некоторые нет. Мало того, любая замкнутая кривая, проходящая «сквозь» отверстие, не может ограничивать диск. Доказать это тоже довольно непросто, но мы опять смиримся с судьбой и будем считать, что все в порядке. Таким образом, мы показали, что сфера топологически отличается от тора, потому что «замкнутая кривая» и «ограничивает (топологический) диск» – это топологические свойства.
Слева: на торе некоторые замкнутые кривые являются границами, а некоторые нет. Справа: на сфере все замкнутые кривые являются границами
В эту игру можно играть и при более высоких размерностях. Например, в трех измерениях можно заменить «замкнутую кривую» на «(топологически) сферическую поверхность», а «ограничивает диск» на «ограничивает шар». Если вы сумеете найти сферу, которая не ограничивает шар, это будет означать, что в пространстве имеется трехмерное отверстие. Если вы хотите пойти дальше и определить это отверстие, то знайте, что еще первые топологи обнаружили возможность складывать и вычитать замкнутые кривые, или сферы. Я расскажу, как это происходит с кривыми на поверхностях, для более высоких размерностей все аналогично, но более хлопотно.
Цикл на торе
По существу, вы складываете две замкнутые кривые, когда рисуете их на одной поверхности. Чтобы сложить целое множество кривых, следует нарисовать их все. Существуют, правда, технические тонкости: часто полезно бывает рисовать вдоль кривой стрелочку, обозначая ее ориентацию, а одну и ту же кривую можно рисовать много раз и даже отрицательное число раз. Это почти то же самое, что рисовать обратную ей кривую (та же кривая, противоположная ориентация) положительное число раз, в смысле, который я скоро объясню.
Множество кривых, помеченных числами, которые показывают, сколько раз нужно нарисовать каждую из них, называется циклом. На поверхности существует бесконечное число возможных циклов, но топологически многие из них эквивалентны друг другу. Итак, я только что сказал, что минус цикл – это тот же цикл, где все стрелочки перевернуты. На самом деле это не совсем верно, потому что «тот же» означает «идентичный», а циклы эти не идентичны. Но мы можем сделать их одинаковыми, применив топологический вариант фокуса, который проделывают специалисты по теории чисел в модулярной арифметике. Там, хотя числа 0 и 5 не одинаковы, мы можем сделать вид, что они одинаковы для определенных целей, и получить кольцо Z5 целых чисел по модулю 5. В теории гомологий мы проделываем фокус того же рода и делаем вид, что любая замкнутая кривая, которая ограничивает диск, – то же самое, что нулевая кривая, и не рисуем ни одной ее копии. Такую кривую называют границей и говорят, что она гомологична нулю. Эта же идея распространяется и на циклы: цикл гомологичен нулю, если представляет собой комбинацию кривых, каждая из которых является границей.
Мы можем сложить циклы C и D и получить C + D, как уже описывалось, а можем вычесть один из другого, перевернув стрелочки в цикле D, и получить C – D; правда, C – С не обязательно должно равняться 0. Это раздражает, но выход есть: эта разность всегда гомологична нулю. Если мы сделаем вид, что все гомологичное нулю равно нулю, то получим прекрасный алгебраический объект, называемый группой гомологий на поверхности. В результате мы производим алгебраические операции над циклами по модулю (то есть игнорируя) границ. Точно так же, как мы занимаемся арифметикой (mod 5), игнорируя числа, кратные 5.
Это и есть гомология.
Группа гомологий сферы тривиальна: каждый цикл гомологичен нулю и группа состоит только из одного 0. Группа гомологий тора не тривиальна: некоторые циклы в ней не гомологичны нулю. Оказывается, каждый цикл гомологичен целому кратному цикла, обозначенного на рисунке как «не граница», так что группа гомологий тора представляет собой замаскированное множество целых чисел Z. Я не буду ничего считать и рисовать диаграммы, но группа гомологий бутылки Клейна – это Z2 × Z2, пары (m, n) целых чисел по модулю 2. Так что у бутылки тоже имеется отверстие, но это отверстие иного рода, чем отверстие в торе (ну, не совсем в нем).
Я рассказал вам о довольно сложной конструкции – группе гомологий – не без причины: мне хотелось дать вам представление о том, как топологи строят инварианты. Но единственное, что вам следует вынести отсюда, – это мысль о том, что у каждого пространства имеется группа гомологий, что это топологический инвариант и что с его помощью можно многое выяснить о форме пространства. В топологическом смысле.
Понятие группы гомологий восходит к новаторским исследованиям Энрико Бетти и Пуанкаре, проводившимся в конце XIX века. Их подход состоял в подсчете топологических особенностей, таких как отверстия, но в конце 1920-х годов он был переведен на язык теории групп стараниями Леопольда Вьеториса, Вальтера Майера и Эмми Нётер, а вскоре появились и широкие обобщения. То, что я называю просто группой гомологий, – это всего лишь первая из целого ряда таких групп, определяющих алгебраическую структуру отверстий размерности 1, 2, 3 и т. д. Существует также парное понятие когомологии и родственное понятие гомотопии, связанное скорее с тем, как кривые трансформируются и соединяются конец к концу, а не с тем, какое отношение они имеют к границам. Пуанкаре понимал, что эта конструкция дает группу, в которой, как правило, не выполняется перестановочный закон. Сегодня алгебраическая топология – это громадная узкоспециализированная область, где продолжают открывать новые топологические инварианты.
Существует также стремительно растущая область, известная как прикладная топология. Поскольку новое поколение математиков и физиков знакомо с топологией практически с детства, для них она оказывается куда менее странной и пугающей, чем была в свое время для старшего поколения. Они бегло говорят на языке топологии и видят новые возможности применения ее для решения практических задач. Бутылка Клейна в зрительной системе – пример с передовых позиций биологии. В материаловедении и радиоэлектронике можно найти такие понятия, как топологические изоляторы: это материалы, которые можно переводить из проводящего состояния в непроводящее, меняя топологию их электрических свойств. Топологические качества, сохраняющиеся при деформациях, очень стабильны.