применили штрихкоды к аудиоданным, чтобы распознавать у пациентов свистящее дыхание – ненормальный высокий звук, который может указывать на частичную блокировку дыхательных путей или легочные заболевания, такие как астма, рак легких и хроническая сердечная недостаточность.
У вас проблемы с данными? Нужна срочная помощь?
Зовите тополога.
14Лиса и еж
Лиса знает много секретов, а еж – всего один, но большой.
Собирая материалы для этой книги, я наткнулся на фразу: Πόλλ' οἶδ' ἀλώπηξ, ἀλλ' ἐχῖνος ἓν μέγα. В школе я учил латынь, а не греческий, но математики знают греческий алфавит. Даже я смог узнать здесь слова «эхинос» и «мега» и предположить, что речь идет о каком-то большом ежике. На самом деле фраза переводится так: «Лиса знает много секретов, а еж – всего один, но большой». Сказал это предположительно древнегреческий поэт Архилох.
Чей подход выбрать – лисы или ежика? Что лучше – перечислить кучу поразительных открытий в математике за последние 50 лет и рассказать, как они используются, или сосредоточиться на чем-то одном, но большом?
Я решил сделать и то и другое.
Лисью часть вы уже одолели, все ее 13 глав. Пришел черед ежовой части, где я попробую подвести итог.
Оглядываясь на рассмотренные нами темы, я не устаю удивляться богатству и разнообразию тех областей математики, которые в настоящее время прочно вошли в системы и устройства, определяющие характер жизни в начале XXI века. Жизни не только обеспеченных людей в западных странах – хотя они, наверное, выигрывают от этого больше других, – а миллиардов людей во всех без исключения странах мира. Мобильный телефон принес современную связь в развивающиеся страны. Сегодня связь вездесуща и меняет все. Не всегда к лучшему, но перемены – это палка о двух концах. Без математики и без множества людей, обученных пользоваться ею на профессиональном уровне, мобильных телефонов не было бы.
Кроме того, существует великое множество областей применения, которые я не упомянул за недостатком места. Те, о которых вы здесь прочли, не обязательно самые лучшие, важнейшие, яркие или ценные. Это всего лишь несколько примеров, которые близки мне, поскольку касаются применения чаще всего новой математики в неожиданных областях. Помимо прочего, я стремился к разнообразию: не думаю, что было бы разумно посвятить 90 % книги, скажем, применению дифференциальных уравнений в частных производных, хотя материала на эту тему предостаточно, да и обосновать их значимость совсем несложно. Я хотел показать не только значимость математики для человечества в целом, но и разнообразие и широкий охват современных областей практического использования моего предмета.
Для успокоения совести я кратко упомяну еще ряд областей применения, о которых можно было бы рассказать. И это тоже будет лишь верхушка айсберга. Проводя исследования для книги, я собрал немало примеров и теперь приведу некоторые из них. Располагаются они в произвольном порядке.
Предсказание уровней паводка.
Анализ больших данных и болезнь Лайма.
Определение числа встряхиваний бутылочки, достаточного для извлечения из нее кетчупа.
Оптимизация использования древесины на лесопилках.
Определение наилучшего способа теплоизоляции дома или трубы.
Распознавание предвзятостей (расовых, гендерных) в алгоритмах.
Определение жесткости инженерных конструкций, таких как стальные каркасы зданий.
Компьютерное распознавание раковых клеток.
Повышение стабильности толщины при производстве листового стекла.
Определение выбросов двуокиси углерода при выдержке бетона.
Разработка универсальных ключей для офисных зданий.
Компьютерное моделирование виртуального сердца.
Проектирование ураганоустойчивых зданий.
Поиск общих предков разных биологических видов.
Планирование движений промышленных роботов.
Решение проблем эпидемиологии заболеваний крупного рогатого скота.
Решение проблемы транспортных пробок.
Проектирование «умных» электрических сетей.
Повышение сопротивления сообществ к ураганным нагонным волнам.
Прокладка подводных кабелей связи.
Поиск мин в странах, где закончились войны.
Предсказание маршрутов движения пыли, выброшенной вулканами, с целью обеспечения безопасности воздушных перевозок.
Снижение колебаний напряжения в электросетях.
Повышение эффективности тестов на вирусы во время пандемии COVID-19.
Любое из этих направлений могло бы с успехом послужить темой для отдельной главы. И это лишь небольшая часть примеров использования математики на благо всех живущих на этой планете.
Эти примеры – и другие, о которых я рассказывал подробнее, – ясно показывают, что само разнообразие применений математики поразительно, особенно если учитывать, что значительная часть математических методов создавалась либо с совершенно иными целями, либо просто потому, что какому-то математику они показались интересными. Это вновь подводит нас к глубокому философскому вопросу, занимавшему Вигнера в далеком 1959 году. И этот вопрос остается – по крайней мере, для меня – таким же интригующим, каким был тогда. Даже более интригующим, если это возможно. Вигнер писал в основном о непостижимой эффективности математики в теоретической физике, но сегодня мы видим, что она непостижимо эффективна в гораздо более широком и более близком нам спектре видов деятельности. Большинство из них имеет еще меньше очевидных связей с какой бы то ни было математикой.
Как и Вигнера, меня не убеждает объяснение, которое дают многие: математика выводит свои закономерности из реального мира и должна поэтому быть эффективной в реальном мире. Как я уже говорил, на мой взгляд, оно упускает главное, хотя и неплохо объясняет понятную эффективность. Истории, рассказанные в этой книге, иллюстрируют те самые аспекты, которые и делают математику полезной в областях, на первый взгляд никак не связанных с ее происхождением. Математик и философ Бенджамин Пирс определил математику как «науку, которая делает необходимые выводы». Что произойдет при таких-то и таких-то условиях? Это глобальный вопрос, общий для большинства задач, которые возникают в окружающем мире. Поскольку математика в наше время носит очень общий характер, она дает набор полезных инструментов для ответов на такие вопросы, только и ожидающих, когда их задействуют. Не обязательно представлять себе все возможные варианты использования молотка, чтобы увидеть его полезность. Им можно что-то сколотить или разбить – в общем, это универсальный инструмент, и его, скорее всего, много где можно применить. Раз молоток помогает решить одну задачу, то он вполне может быть полезным и в других. Так и математический метод, отработанный на одной области, часто может быть перенесен – с надлежащей модификацией – и на другие.
Еще одно определение математики, которое мне нравится, дал Линн Артур Стин: «Наука значимой формы». Математика занимается структурой. Она исследует, как эффективно использовать структуру для понимания и решения задачи. Эта точка зрения опять же имеет весьма общий характер, и опыт показывает, что она вполне может отражать суть вопроса.
Третье определение, предложенное в отчаянии, выглядит так: это «то, чем занимаются математики». Сюда нужно добавить еще, что математик – это «тот, кто занимается математикой». Мне кажется, можно дать определение и без тавтологии, в ней нет необходимости. Стоит ли говорить, что бизнес – это «то, чем занимаются бизнесмены», а бизнесмен – это «человек, который занимается бизнесом»? Да, но этого мало. Успешным предпринимателем человека делает не само занятие бизнесом, а умение заметить возможность для бизнеса, которую упустили остальные. Точно так же математик – это человек, который замечает возможности для применения математики там, где остальные ничего не увидели.
Для этого необходимо мыслить математически.
За столетия математики выработали образ мышления, который позволяют сразу видеть суть задачи. В каком естественном контексте существует эта задача? Какое у нее пространство возможностей? Какая естественная структура подходит для выражения значимых свойств? Какие свойства принципиально важны, а какие представляют собой ненужные подробности или помехи, которые можно отбросить? Как их отбросить? Какой будет естественная структура оставшегося? Математическое сообщество отточило эти методы на бесчисленных трудных задачах, отшлифовало их, превратив в элегантные и мощные теории, проверило на задачах из реального мира. Эти методы становятся все более общими, взаимосвязанными, мощными и переносимыми.
Может быть, эффективность математики не так уж и непостижима.
Может быть, это вообще не загадка.
Представьте себе мир без математики.
Мне слышатся радостные крики множества людей, и я их понимаю, поскольку нет причин, по которым то, что нравится мне, должно нравиться и вам. Но я говорю не о том, что вам лично теперь ее не нужно учить. Дело не только в вас.
Представим, что где-то в огромной Вселенной существует цивилизация, которая потребляет математику в огромных количествах. Я имею в виду буквально потребляет. Некоторые физики утверждают, что математика так непостижимо эффективна в объяснении Вселенной, потому что Вселенная состоит из математики. Математика – не придуманный человеком метод понимания вещей, это реальная, хотя и нематериальная, субстанция, которая встроена во все сущее.
Лично я считаю это мнение безумным, оно делает философскую загадку тривиальной, но инопланетяне знают, что я неправ. Они уже миллиард лет назад открыли, что Вселенная на самом деле сделана из математики, и их цивилизация потребляет ее в огромных количествах, точно так же, как мы потребляем многие ресурсы Земли. Мало того, они использовали уже столько математики, что она у них давно закончилась бы, если бы им не удалось найти простое решение. У них ужасно продвинутые технологии и чрезвычайно агрессивное отношение к окружающему миру, поэтому они отправляют в поход целые флотилии гигантских, напичканных оружием космических кораблей, которые ищут обитаемые планеты и забирают себе их математику.