то, что однажды было приведено в движение, вечно остается в движении, – уже тогда ему был известен закон сохранения движения238.
Все это (а это немало) составляет всю физическую суть данной проблемы239, и, стало быть, Бекману она была известна еще до встречи с Декартом; но прекрасно понимая (гораздо лучше, чем ее понимал Декарт) физическую сторону вопроса, он оказывается не способен осилить его математический аспект. Он не может вывести следствия из принципов, которыми он располагает; он не может найти формулу, позволяющую рассчитать скорость тела и пройденный им путь240.
Именно об этом он спрашивает Декарта.
Итак, он задает ему вопрос241:
Допустив установленные мной принципы, а именно что то, что приведено в движение, в пустоте движется вечно, и предположив существование пустоты между землей и падающим камнем, можно ли узнать расстояние, которое падающее тело пройдет за час, если известно, сколько оно прошло за два часа?
Формулировка вопроса необычна. Бекман не спрашивает, как казалось бы естественным спросить, можно ли узнать, какое расстояние пройдет падающее тело за два часа, если известно, сколько оно прошло только за один час. Мы видим, что он ставит вопрос иначе.
Ясно, что Бекман, рассматривающий свободное падение уже не как «естественное» движение, а как эффект земного притяжения, распространяющегося на падающее тело, которое само по себе не испытывает никакой склонности двигаться в том или ином направлении и, более того, двигаться вообще (тело, естественно, остается в покое, если его не приводит в движение какая-нибудь внешняя сила, тогда оно остается в этом новом состоянии – в состоянии движения, подобно тому как оно оставалось в покое), может мыслить свободное падение не иначе как движение, имеющее естественную, установленную цель (землю), а не как, подобно Бенедетти или юному Галилею, движение, способное длиться неограниченно242. Поэтому он представляет себе свободное падение тела как движение, проходящее от точки А до точки В: от вершины башни или от какой-либо точки, расположенной над землей, до земли. Именно это движение – «подытоженное» – мы можем измерить – т. е. измерить пройденное расстояние и потребовавшееся время. Именно от этого мы должны отталкиваться, чтобы воссоздать с помощью анализа предшествующие фазы243.
Это не совсем то, каким образом движение свободного падения будет рассматривать Декарт. Потому его ответ будет неточным. Однако Бекман этого не разглядит.
Действительно, вот что, согласно Бекману, Декарт ответил на вопрос «почему в пустоте камень всегда падает с большей скоростью», «исходя из принципов», установленных Бекманом244:
Если между телом и Землей пустота, тело движется вниз, к центру Земли, следующим образом: в первый момент времени оно проходит такое расстояние, которое оно может пройти вследствие земной тяги245; во второй момент оно продолжает пребывать в этом движении, к которому прибавляется новое движение тяги, таким образом, что за один этот момент времени оно проходит двойное расстояние. В третий момент времени двойное расстояние удерживается246 и вследствие земной тяги к нему прибавляется третье, таким образом, что в один момент тело проходит тройное расстояние по отношению к пройденному в первый момент времени.
Эти соображения, которые, как мы вскоре увидим, представляют собой бекмановскую трактовку рассуждений Декарта, позволяют правильно разрешить поставленную проблему и рассчитать время свободного падения тела. Последуем же далее за изложением Бекмана247:
Но так как эти моменты неотделимы друг от друга, расстояние, которое проходит тело в своем падении за час, будет равно ADE. Расстояние, которое оно пройдет за два часа (падая), удваивает пропорцию по времени, т. е. как ADE к ACB, что является двойной пропорцией AD к AC. Пусть момент расстояния, которое тело проходит при падении за один час, будет какой угодно величины, например ADEF. За два часа оно пересечет три одинаковых момента, т. е. AFEGBHCD. Но AFED составлено из ADE и AFE. И AFEGBHCD составлено из ACB с AFE и EGB, т. е. из удвоенного AFE.
Так, если момент времени равен AIRS, то отношение расстояний будет равно ADЕ c klmn к ACB с klmnopqt – т. е. опять же с удвоенным klmn. Но klmn гораздо меньше, чем AFE. Следовательно, так как отношение проходимого расстояния к пройденному расстоянию составлено из отношения одного треугольника к другому, и к таким условиям [пропорции] прибавляются равные [величины], и так как эти равные присоединенные части становятся тем меньше, чем меньше единицы расстояния, отсюда следует, что эти присоединенные части оказываются нулевой величины, когда величина момента равна нулю. Таков момент расстояния падающего тела. Остается теперь доказать, что расстояние, которое проходит падающее тело за один час, относится к расстоянию, которое оно проходит, падая два часа, как треугольник ADE к треугольнику ACB…
Если, стало быть, опыт показал бы, что тело, падая два часа, проходит 1000 футов, то треугольник АВС будет содержать 1000 футов248. Отсюда корень составляет 100 для линии АС, которая соответствует двум часам. Поделив ее точкой D на равные части, получим AD, соответствующую одному часу. Каким получается двойное отношение AC к AD, т. е. 4 к 1, получается также отношение 1000 к 250, т. е. ACB к ADE.
Решение одновременно изящное и правильное: пройденные расстояния оказываются пропорциональны квадратам времени. Но решение Декарта не таково: Бекман, как известно, ошибся, интерпретируя ответ г-на дю Перрона249. В самом деле, вот переизложение, которое нам оставил сам Декарт.
В своих «Cogitationes Privatae» Декарт кратко отмечает250:
Несколько дней назад мне довелось завязать дружбу с одним весьма ученым мужем, который задал мне следующий вопрос:
Камень, говорил он, нисходит от точки А к точке В в течение одного часа; он неизменно притягивается Землей с одинаковой силой и не теряет скорости, которая была ему сообщена через предыдущее притягивание. Но то, что движется в пустоте, по его мнению, движется вечно. Спрашивается, за какое время камень пройдет заданное расстояние.
Отметим прежде всего, что Декарт признавал, что получил от Бекмана и вопрос, и принципы решения251 – принципы, которые не имеют для него истинного значения, в отличие от Бекмана. Для Декарта они не более чем гипотезы, которые он, впрочем, не вполне понимает. Это не мешает ему разрешить данную проблему и даже предложить два различных решения. Бедный Бекман о таком и не просил, он лишь хотел узнать, как падают камни. Декарт этим не удовлетворился и объяснил ему, как они могли бы падать252.
Итак, вот его ответ253:
Я решил задачу. Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника АВС представляет расстояние (движение); неравенство расстояния от точки А до основания ВС – неравенство движения254. Как следствие, AD будет пройдено за время, которое представлено ADE, и DB – за время, представленное DEBC: следует отметить, что меньшая площадь представляет более медленное движение. Но ADE составляет третью часть DEBC, а значит, AD будет пройдено в три раза медленнее, чем DB.
Но этот вопрос можно было бы поставить и иначе, именно: [допустим,] что сила притяжения Земли равна силе, которую оно производило в первый момент, и что новая производится, тогда как предыдущая продолжает существовать. В таком случае проблема разрешалась бы при помощи пирамиды.
Любопытное дополнение! Совершенно ясно, до чего проблема физического механизма свободного падения чужда мышлению Декарта. Его отнюдь не останавливает то, что у Бекмана уже есть решение. И он воображает иной «возможный» случай, в котором сила притяжения возрастала бы с каждым мигом – так, что во второй момент тело притягивалось бы с удвоенной силой, в третий – с тройной силой и т. д. В таком случае, разумеется, тела бы падали куда быстрее255.
Как могло бы быть возможным подобное возрастание «силы притяжения»? Декарт не задается этим вопросом. В действительности он рассматривает проблему не как физик, а как чистый математик, чистый геометр: для него задача заключается в том, чтобы установить соотношение между двумя последовательностями переменных величин. Почему бы, раз уж представился случай, не проверить забавную гипотезу?
Декарт – геометр, чистый математик. Именно в этом, видимо, заключается причина, по которой он не вполне понял «принципы» Бекмана и дал ошибочный ответ на его вопрос. Он видит проблему, как и сам исследуемый феномен, совершенно иначе, чем Бекман.
Так же как и Бекман, он исходит из завершившегося движения свободного падения. Но в отличие от него, Декарт видит это движение в некотором смысле «приостановленным». Или, если угодно, он рассматривает лишь траекторию свободного падения тела, или, если угодно, сформулируем это иначе – он инстинктивно элиминирует время.