Для Декарта линия ADB, которая для Бекмана представляла затраченное время256, естественным образом представляет пройденный путь. И проблема видоизменяется: путь пройден с «равномерно изменяющейся» скоростью; проблема, таким образом, заключается в том, чтобы определить скорость в каждой точке пути. Треугольники ADE, ABC, которые у Бекмана представляли пройденное расстояние (траекторию), у Декарта представляют движение предмета, т. е. «сумму скоростей», которые были достигнуты. И он делает весьма правдоподобное заключение: если «сумма скоростей» утраивается, то расстояние DB будет пройдено в три раза быстрее. Время отыскивается, но слишком поздно: крайняя геометризация, пространственное представление, элиминация времени (там, где его нельзя элиминировать), пренебрежение физическим, каузальным аспектом этого процесса – все это приводит Декарта, как когда-то привело Галилея, а до него – Бенедетти и Мишеля Варрона, к тому, что он мыслит равномерно ускоряющееся движение как движение, скорость которого возрастает пропорционально пройденному пути, а не пропорционально затраченному времени.
Итак, если мы вправе произвольно определять наши понятия, нам также следует – именно этот урок нам преподаст Галилей – стремиться к пониманию сущности природных явлений. Иными словами, нам нельзя пренебрегать причинами и забывать о времени.
Мы только что установили, что Декарт не вполне вник в «принципы» физики Бекмана. Можно было бы пойти еще дальше и сказать, что он не понял, насколько далеко удалось продвинуться его товарищу257. Правда, и сам Бекман не вполне это понимал. В подтверждение нашего анализа причин декартовской ошибки приведем текст «Physico-mathematica», который, как нам кажется, достаточно полно раскрывает это непонимание. Процитируем весь этот отрывок258.
В поставленном вопросе, где говорится, что в каждый момент времени259 прибавляется новая сила [к той], с которой тяжелый предмет стремится вниз, я говорю, что эта сила возрастает таким же образом, каким возрастают поперечные линии de, fg, hi и прочие, бесконечное множество которых можно представить между теми. Чтобы доказать это, я допущу, что первый минимум или точку движения260, произведенного первым действием силы притяжения Земли, можно представить с помощью квадрата alde. Для второго минимума движения у нас будет вдвое больший квадрат, а именно dmgf: действительно, первая сила, которая присутствовала в первом минимуме, остается, а другая, новая, прибавляется к ней, и она равна предыдущей. Таким же образом в третьем минимуме движения будут три силы, а именно: первая, вторая и та, что относится к третьему временному минимуму, и т. д. Однако это число треугольное, как я далее объясню более пространно, и, по-видимому, представляет треугольник abc. Тем не менее, скажешь ты, есть же выступающие фигуры ale, emg, goi и т. д., которые выходят за границы фигуры треугольника. Следовательно, фигура треугольника не сможет выражать рассматриваемое движение. Однако, отвечу я, эти выступающие части возникают из-за того, что мы наделили протяженностью те минимумы, которые нужно представлять как неделимые и не состоящие из каких-либо частей. Это доказывается следующим образом. Я поделю минимум ad точкой q на две одинаковые части; тогда arsq будет первым минимумом движения, а qted – вторым минимумом движения, в котором будет два минимума сил. Таким же образом мы разделим df, fh и т. д. Тогда мы получим выступающие части ars, ste и т. д. Очевидно, что они еще меньше, чем выступающая часть ale. Пойдем еще дальше. Если я допускаю для минимума еще меньший минимум, такой как aα, выступающие части будут еще меньше – как αβγ и т. д. Если, наконец, для этого минимума я возьму действительный минимум, т. е. точку, тогда эти выступающие части будут нулевыми, поскольку они не смогут быть целиком всей точкой, но, очевидно, будут лишь частью минимума alde, а часть точки есть нуль.
Отсюда ясно, что если мы представим себе, например, камень, который притягивался бы Землей в пустоте от а к b с силой, которая всегда исходила бы от нее одинаковым образом, в то время как предыдущая оставалась бы, то первое движение в а относилось бы к последнему, которое находится в b, как точка а относится к отрезку bc. Что касается промежутка gb, то камень прошел бы ее в три раза быстрее, чем другой промежуток, ag, ибо он бы притягивался Землей втрое большей силой.
В самом деле, площадь fgbc составляет утроенную площадь afg, и это легко доказать. Таким образом, сообразно пропорции, следует то же самое утверждать и обо всех остальных частях.
Трудно себе представить другой текст, который объединял бы в себе высшее математическое изящество261 и настолько непростительную с точки зрения физики ошибку. Определенно, Декарт не понимал «принципов» Бекмана; и он просто-напросто упустил из виду его интеллектуальный прорыв – принцип сохранения движения. Декарт заменяет движение силой. Он отталкивается от идеи, что скорость пропорциональна силе262, и заключает из этого, что постоянная сила производит постоянную скорость. Таким образом, он возвращается к идее классической физики – к идее импетуса. Ему кажется, что если тело падает, ускоряя свое движение, то это потому, что оно сильнее притягивается Землей к концу движения, чем в начале, или, говоря словами Декарта, потому что сила притяжения Земли производит в камне возрастающую движущую силу; он также прибавляет (цитируемый фрагмент соответствует первой гипотезе, исследуемой в тексте «Cogitationes Privatae», который мы цитировали чуть ранее) действующие силы, а не только скорости263. Создается впечатление, что Декарт, принимая (гипотетически) бекмановский принцип сохранения движения, не вполне ему доверяет. Кажется, что, стремясь разрешить проблему свободного падения, он предпочитает обходиться без понятий, разработанных Бекманом, которые, очевидно, пока еще слишком новы для него, слишком необычны, слишком сложны. Действительно, идея движения, которую Бекман имплицитно вводит в оборот (это идея движения классической физики), в каком-то смысле располагается на тонкой грани между математикой (геометрией) и физикой (временностью). Эту идею очень сложно выявить, и проблема, с которой столкнулся Декарт, пытаясь ее постичь – удержаться на этой четкой грани между физикой и геометрическим пространством, – была бы (если помимо этой проблемы не было других) достаточным доказательством этой сложности. Именно в этом состоит причина, почему Декарт избегает этой идеи; движение – парадоксальная сущность, это состояние предмета, которое, однако, передается от одного предмета другому; это воплощение изменчивости, которое в то же время остается самотождественным; эта идея кажется ему «незаконнорожденной» сущностью; потому он намеренно, равно как и инстинктивно, замещает эту идею менее громоздкими и более прозрачными, более легко вообразимыми идеями264: с одной стороны, это идея движущей силы, с другой – идея траектории.
Тем не менее ему блестяще удается произвести математический вывод. Это можно понять без труда: с формальной точки зрения, действительно, не существует никакой разницы между проблемой Бекмана и проблемой, которую взамен предлагает Декарт. Не очень-то важно, о чем идет речь, – о силах, о площадях, о скоростях; речь всегда идет об одном и том же, а именно – о том, чтобы рассчитать темп изменения величины, которая равномерно возрастает по отношению ко времени. И когда Декарт мыслит силу притяжения, он с необходимостью мыслит и изменение или производство [движения] во времени. Именно тогда, когда он пытается выразить результаты своего исследования в терминах площадей, вдохновленный мысленным образом и стремлением к крайней геометризации, он и впадает в заблуждение, которого, как ни странно, даже с его теорией силы он, в принципе, мог бы избежать265. Если он в чем-то и ошибается, так это в том, что, замещая движение траекторией, он принимает за аргумент функции не время, а траекторию.
Картезианская «трактовка», переинтерпретация идей Бекмана кажется нам весьма любопытной и в то же время весьма явно проявляющей глубинные склонности человеческого духа и те сложности, которые он должен был преодолеть, чтобы прийти к этому понятию движения, что десятью годами позднее он объявит столь простым и ясным, что вовсе не нуждается в определении, так что было бы упущением не прояснить эту трактовку еще одним текстом. Надеемся, что читатель не будет возражать. Декарт между тем продолжает266:
Этот вопрос может быть разрешен еще иным, более трудным способом. Представим себе камень, пребывающий в точке А, притом что пространство между А и В пусто. Пусть сегодня в 9 часов утра впервые, к примеру, в точке В Бог сотворил силу притяжения, действующую на камень; и в последующий момент он и далее постоянно создавал новые силы притяжения, равные той, что он сотворил в самый первый момент. Эти новые силы, прибавляясь к тем, что были сотворены раньше, притягивают камень все сильнее, тем более что в пустоте предмет, приведенный в движение однажды, движется вечно. Допустим, что камень, который находился в точке А, достигает точки В в 10 часов. Если мы спросим, за какое время он пройдет первую половину пути (т. е. отрезок AG) и за какое время он пройдет оставшуюся половину, я отвечу, что камень падает вдоль линии