сшей степени простой отдел элементарной геометрии, каковы, впрочем, и все ее отделы, но в то же время полный математического изящества в такой мере, в какой, может быть, не обладает никакой другой отдел того же предмета, остается до сего времени совершенно неразработанным».
(На что замахнулся шестнадцатилетний юнкер, подбадриваемый семнадцатилетним Вноровским! К каким именам — Платон, Архимед, Кеплер — вознамерился себя приобщить!)
«Пришел я к этой теме, исходя из наслаждений, испытанных мной при ближайшем изучении изящных соотношений между геометрическими фигурами; изучение же было вызвано отчетливым сознанием аналогии между тем, что мы называем телесными или пространственными фигурами (трех измерений) и фигурами на плоскости (двух измерений). Нельзя было с первого же взгляда не заметить того удивительного невнимания, почти пренебрежения, которое в интеллекте людей даже чистой науки выпало на долю первых по сравнению со вторыми. Здравый смысл требовал бы обратного, так как при всей аналогии разнообразие самих фигур и связанных с ними вопросов геометрии несравненно больше в вопросах, касающихся пространства, чем плоскости. Вот эта, казалось бы, чисто математическая гармония и заняла мой ум в начале моих робких научных попыток».
Завершились робкие попытки изданием увесистого фолианта; однако — да не покажется это противоречием — при всей обширности и дерзновенности замысла она, робость, в первых попытках все же присутствовала, своеобразно проявляемая, но об этом позже. Книга долго писалась, десять лет; закончена в 1879 году; долго продиралась в печать; долго набиралась и печаталась; как-никак в ней было две сотни сложных чертежей и около трех сотен печатных страниц. Работа чисто математическая. («Работа Федорова была математической, но написана она была для математика как-то странно», — не без раздумчивого недоумения обронил известный геометр Б. Н. Делоне. Он хотел обелить поступок прославленного академика Чебышева, возвратившего Евграфу рукопись с таким приговором: «Этим разделом наука не интересуется». Верно! Оправдывать не надо. Не интересуется, не интересовалась два тысячелетия, с платоновских времен. И тут еще разок воскликнем: дьявольским же чутьем обладал смуглолицый отрок! Учуял, что вот-вот заинтересуется. Грядет их век — фигур то есть. Впрочем, может… дело не в чутье. Просто-напросто «пришел я к этой теме, исходя из наслаждений, испытанных мной… и т. д.»?)
Работа математическая. Но с каждой страницей ее прозрачные абстракции сгущаются и обретают очертания (фигурально выражаясь) вполне реальных, хотя и немыслимо реальных, творений космоса — кристаллов, так что последняя страница ее стала первой страницей новой кристаллографии. И это во сто крат удивительнее, потому что автор ее, когда писал и даже когда написал, кристаллографом еще не был, не был даже студентом Горного института, а числился слушателем Технологического, и об кристаллографии, весьма возможно, имел туманное представление!
«Начала учения о фигурах».
(Двусмысленность названия умышленная; то ли простейшие основания учения, то ли начало ему, как и воспринял возмущенный профессор Еремеев. В названии наличествует вызывающий подтекст.)
«Сочинение это не требует никаких предварительных сведений, кроме элементарной геометрии, и составляет, в сущности, не что иное, как дополнительный курс этой науки, упускавшийся по странной нелогичности истории науки в течение столь многих столетий. В основе всего изложенного лежит понятие об измерении телесного угла, совершенно аналогично тому, как выводы планиметрии имеют в основании понятие об измерении плоских углов. Кроме общих оснований учения о фигурах, здесь изложены начала учения о симметрии, о поясах, о выполнении плоскости и пространства равными фигурами и о многогранниках высшей степени. Сочинение это излагает, между прочим, все те части учения о фигурах, которые составляют основание современной кристаллографии…»
(Выписка из федоровского «Курса кристаллографии» 1897 года, здесь заметно желание приблизить математические «Начала» к кристаллографии, будто они затевались сразу с такой целью; еще определеннее выступает это в другом месте того же «Курса»: «В результате явилась такая коренная переработка кристаллографии, после которой последняя стала наукой рациональной, математического характера, по точности метода могущей быть поставленной рядом с теоретической механикой. Это направление теоретической кристаллографии имело основанием учение о фигурах — часть геометрии, почти совершенно упущенную чистыми математиками…» Но это воистину «в результате», загадочно вытекшем из незасоренно геометрических построений.)
Нет, попервоначалу «Учение о фигурах» замышлялось как прямехонькое продолжение эвклидовых стойхей, первоэлементов, почему-то несуразным образом, по странной нелогичности истории науки, не распространенных на телесные фигуры; не зря торжественно предупреждал Евграф Степанович, что никаких особенных знаний не нужно для понимания его трактата, кроме элементарной геометрии. Образ затянутого в хитон старца с грустным от бессонницы лицом, несомненно, витал над широкими полосами бумаги, по которым потом с такой безнадежной неуверенностью елозил моноклем математик из Инженерного училища.
Ничего не попишешь, даже форма изложения застыла на той, что излюблена была древними греками: теоремы, постулаты, схолии, королларии, доказательства, аксиомы… Кто, однако, поручится за то, что может иная существовать обертка геометрическим мыслям? Евграф Степанович ее не искал и с горделивым сознанием приобщения себя к эвклидовой науке выводил свои теоремы. «Телесный угол абэцэдэ равен 180 градусам. Доказательство: наложим абэ на априм бэприм…» Теорем-доказательств набралось в трактате несколько сотен. (Любопытно, что не все они представляются Делоне верными. «В книге Федорова есть такие доказательства, относительно которых я не уверен, что их можно провести корректно до конца. Есть и такие теоремы, «доказанные» Федоровым, которые, может быть, и неверны. Например, неясно, верна ли теорема 17 в § 64, если планигоны определять так, как это делает Федоров. Доказательство, которое он приводит, определенно неверное».)
Планигон — плоский угол. На правах первооткрывателя и даже по обязанности первооткрывателя Федоров должен был и, несомненно, делал это с тем же горделивым сознанием приобщения к классикам геометрии — дать имена доселе неизвестным абстракциям. Он обратился к греческому языку (не имеет значения, что он знал его в ту нору не лучше кристаллографии): гоноэдр (гранный угол, телесный угол; «гояиа» — угол, «эдра» — грань), сфеноид и сфеноэдр и т. д. Приставляя греческие числительные, можно сразу указать число граней в фигуре.
Первый отдел трактата посвящен «разомкнутым», открытым, фигурам (пространственным, не образующим замкнутых многогранников); второй — «сомкнутым». Представив здесь цепочку теорем, Федоров вывел все возможные теоретически изогоны и изоэдры (тоже его термины; изоэдр — многогранник, все грани которого равны или симметричны между собой; изогон — многогранник, у которого все телесные углы равны или симметричны). Собственно, в первых двух разделах были описаны Федоровым все Эвклидовы свойства пространственных фигур: даже если бы он на том и остановился, имя б его не потонуло во всемирном математическом архиве: брешь, зиявшая два тысячелетия, была покрыта!
(Почти наверняка, что первые эти разделы составлены в юнкерскую пору; позднее, в 1893 году, учение о многогранниках было подвергнуто более детальному исследованию в статье «Основание морфологии и систематики многогранников». В ней он развил «естественную», как сам выразился, классификацию по граням. Тогда уж он был кристаллографом и мог обозревать проблему с характерным прищуром знатока. Ан и Эвклидовы разделы «Начал», не знатоком сочиненные, целили без ведома охотника в кристаллографию. Профессор Шафрановский так обобщает: «…Учение о многогранниках, развитое Федоровым, помимо своего чисто геометрического значения, представляло в свое время огромный интерес для кристаллографов. Так называемые простые формы кристаллов, состоящие из равных или симметричных граней и образующие замкнутые многогранники, целиком принадлежат к федоровским изоэдрам… Дав полный вывод таких многогранников и подчинив их строго математической классификации, Федоров тем самым подвел непогрешимый геометрический базис под учение о формах природных многогранников — кристаллов».)
Но не мог же Федоров, опознав элементарно-геометрические свойства фигур, не поразмыслить над имманентно-сокровенным и в то же время бьющим в глаза качеством, именуемым — симметрия. Ему отведен третий раздел книги. Как и все другие, позже он был особо разработан в специальных монографиях, что, в конце концов, привело к знаменитому выводу 230 групп симметрии. Мы расскажем о них в своем месте; теперь коснемся четвертого раздела. Тема его потрясающе сложна, темна и умозрительна; речь идет о выполнении пространства. Внутренне однородное твердое тело (а кристалл таков) забирает самим собою, своим объемом часть пространства, заполняя его без промежутков; однако, каким бы однородно-плотным ни представлялось тело, мы не можем отделаться от имманентно-рассыпчатого его строения, иначе пришлось бы отказаться от химии и физики; бесконечно-исчезающе-малые его корпускулы, сами по себе также имманентно-рассыпчатые, водят, таким образом, хороводы фигур, оставаясь, между прочим, настолько притерты друг к другу, что исчезающе-малой щелочки между ними даже теоретически вывести нельзя. Каким же образом умудряется природа достать плотнейшую упаковку; другими словами, загадка такова: какие такие фигуры могут выполнить пространство, не оставив в нем ничего от пространства (разумеется, это шутливая формулировка)? Задача диалектико-философская, но разрешимая лишь умозрительно-математическим путем; задача, главный вопрос которой полон того математического изящества, что так пленительно всегда действовало на нашего героя.
Вместе с тем изучение этой изящной проблемы ведет в самые недра кристалла — его ведь это структура, его корпускулы, собираясь в узоры, нерасторжимо плотны. «Недаром некоторые ученые считают, — констатирует профессор Шафрановский, сам, как видно, тоже так считая, — что именно этим отделом федоровской книги начинается зарождение новой эпохи в истории науки о кристаллах. Для нас отдел этот интересен еще и потому, что он представляет собой первоначальную основу того величественного научного здания теоретической кристаллографии, которое воздвиг Евграф С