ержень легко. Но если грузы раздвинуть, то раскрутить стержень станет труднее, хотя масса его не изменилась.
Рис. 6. Схема изменения момента инерции тела.
Стало быть, инертность тела при вращении зависит не только от массы, но в большей степени от распределения этой массы относительно оси вращения. Мерой инертности тела при вращении является осевой момент инерции I, равный сумме произведений масс т всех частиц тела на квадраты их расстояний h от оси вращения:
Осевой момент инерции играет при вращательном движении ту же роль, что и масса при поступательном (прямолинейном), и таким образом, он является мерой инертности (инерции) тела при вращательном движении.
Как мы знаем, закон инерции устанавливает эквивалентность относительного покоя и равномерного прямолинейного движения – движения по инерции. Нельзя никаким механическим опытом определить, покоится ли данное тело или движется равномерно и прямолинейно. Во вращательном движении это не так. Например, совсем не безразлично, покоится ли волчок, или вращается равномерно с постоянной угловой скоростью. Как отмечал А. Ю. Ишлинский [17] , угловая скорость твердого тела является величиной, характеризующей его физическое состояние. Угловую скорость можно измерить, например, с помощью определения упругих деформаций тела, без какой-либо информации о положении тела по отношению к «абсолютной» системе координат. Поэтому термин «абсолютная угловая скорость тела» в отличие от «абсолютной скорости точки» должен употребляться в прямом смысле (без кавычек).
Таким образом, механические явления в покоящейся и вращающейся системах будут протекать по-разному, не говоря уже о том, что если тело достаточно сильно раскрутить, то его разорвет на части из-за возникших в нем напряжений.
Еще одно отличие состоит в том, что прямолинейное равномерное движение и покой эквивалентны, а вращение, даже с постоянной угловой скоростью, может быть четко отграничено не только от покоя, но и от вращения с другой угловой скоростью.
Здесь уместно упомянуть о взглядах австрийского физика Эрнста Маха (1838–1916), оказавшего большое влияние на формирование принципа эквивалентности Эйнштейна. Мах «подбором» соответствующей системы координат стремился придать законам механики такой вид, чтобы они не зависели от вращения. Что получилось бы, если бы ему это удалось? Давайте поместим быстро вращающегося наблюдателя на неподвижный маховик. Тогда можно сказать, что относительно наблюдателя маховик быстро вращается, может, даже быстрее, чем позволяет его прочность. Но маховик не разорвется, хотя наблюдателю кажется, что на него действуют огромные напряжения. А сам вращающийся наблюдатель может пострадать, так как при вращении именно в нем возникают механические напряжения.
3.2. Вопрос. Можно ли сформулировать законы инерции вращения аналогично первому закону Ньютона?
Ответ. Можно взять на себя смелость по образу и подобию первого закона Ньютона сформулировать «закон» инерции вращательного движения: «Изолированное от внешних моментов абсолютно твердое тело будет сохранять состояние покоя или равномерного вращения вокруг неподвижной оси до тех пор, пока приложенные к этому телу внешние моменты не заставят его изменить это состояние».
Почему же абсолютно твердое тело, а не любое? Потому, что у нетвердого тела из-за вынужденных деформаций при вращении изменится момент инерции, а это равносильно изменению массы точки для первого закона Ньютона.
В случае вращательного движения, если момент инерции непостоянен, придется принять за константу не угловую скорость, а произведение угловой скорости ю на момент инерции /– так называемый кинетический момент К. В этом случае «закон» инерции вращения примет более общую форму: «Изолированное от внешних моментов тело будет сохранять вектор своего кинетического момента постоянным». Если же тело вращается вокруг неподвижной оси: «Изолированное от внешних моментов относительно оси вращения тело будет сохранять кинетический момент относительно этой оси постоянным». Эти законы, правда, в несколько иной формулировке, называются законами сохранения кинетического момента.
3.3. Вопрос. Земля и Луна вращаются вокруг общего центра масс. Действуют ли на эти небесные тела центробежные силы?
Ответ. Представление, что при вращении материальных точек и тел вокруг оси или неподвижной точки на них должны действовать центробежные (т. е. направленные от центра вращения) силы, является обывательским заблуждением.
Например, и на Землю, и на Луну действуют силы тяготения, направленные друг к другу, а следовательно, к центру вращения (рис. 7). Каких-либо сил, направленных от центра, здесь вообще нет. Чтобы тела, движущиеся по инерции, т. е. равномерно и прямолинейно, свернули с этого пути и стали двигаться по кривым, на них должны подействовать центростремительные, т. е. направленные к центру вращения, силы. Такими являются силы тяготения.
Рис. 7. Схема сил, действующих на систему «Земля – Луна».
В случае, если вращается точка А, привязанная к опоре О на гибкой невесомой связи – нити (рис. 8, а), то, пренебрегая силой тяжести (допустим, опыт поставлен в невесомости), можно сказать, что на эту точку также действует центростремительная сила Fц. На саму же нить, как на связь, со стороны точки А действует направленная от центра реакция R1 = Fц, а со стороны опоры О – сила R2 = Fц (рис. 8, б). На опору О действует сила Fц, направленная от центра. На нить действует уравновешенная система сил, которая не может влиять на движение точки А.
Рис. 8. Силы, действующие на тела во вращающейся системе: а – силы, действующие на вращающуюся по окружности точку А и опору О; б – силы, действующие на связь.
В некоторых учебниках, например, для школ с углубленным изучением физики [26, с.254] специально выделено, что «центробежные силы инерции действуют не на все тела на поверхности Земли». Такая формулировка означает, что центробежные силы существуют и действуют на некоторые тела. Разумеется, это неверно.
3.4. Вопрос. Почему при быстром вращении тела оно испытывает механические напряжения и может даже разрушиться, ведь никакое другое тело с ним не контактирует, на него не действуют никакие силовые поля и т. д.?
Ответ. Действительно, если опыт по вращению, допустим, металлического кольца поставить в невесомости и в вакууме, то с этим телом не будет взаимодействовать никакое другое тело, даже воздух. Разогнать это кольцо можно вращающимся электромагнитным полем (например, возникающим в статоре асинхронного электродвигателя), особенно если кольцо стальное. После окончания разгона свободно вращающееся с угловой скоростью ? кольцо будет обладать кинетической энергией Е:
и будет растягиваться механическим напряжением ?:
где I – осевой момент инерции кольца;
? – плотность материала кольца;
v – линейная скорость кольца.
Чем же вызвано это напряжение? Выше мы видели, что на связь – нить (см. рис. 8, а, б) действуют растягивающие усилия, вызываемые точкой А, вращающейся вокруг опоры О. Ведь именно связь, действуя на точку А центростремительной силой Fц, постоянно сворачивает ее с естественного прямолинейного пути. В этом случае масса (точка А) и связь (невесомая нить) четко выделены. Но если точку А устранить, вместо нити взять массивное тело – стержень или цепь – и вращать его вокруг точки О, то картина усложнится.
В таких случаях, когда связь сама обладает массой, удобно представить ее в виде невесомой связи (нити), нагруженной отдельными массивными точками (рис. 9).
Рис. 9. Невесомая связь – нить, нагруженная точечными массами.
Если число точек невелико, центростремительные силы, действующие на эти точки, легко определить: в точке 1 это Fц1, B точке 2 – сумма двух сил (Fц1 + Fц2), а в точке 3 она максимальна – сумма трех сил (Fц1 + Fц2 + Fц3). Отсюда легко перейти к случаю, когда масса распределена по длине связи равномерно.
Так и с вращающимся кольцом – если представить, что его заменяет многоугольник из невесомых нитей с помещенными в вершинах углов грузами т (рис. 10, а), то выделив один из грузов (рис. 10, б), можем определить силы Fсв, действующие на груз (их реакции действуют на нить):
где Fц = m?2R или mv2/R, что следует из формулы (2.4).
Распределив грузы т по нити равномерно, получим массивное кольцо плотностью ?, обладающее прочностью связи (рис. 11). Для простоты вычислений отбросим нижнюю половину кольца и обозначим через F растягивающие усилия, действующие с его стороны на верхнее полукольцо. Учитывая, что центр масс верхнего полукольца С расположен на расстоянии 2R/? вверх от центра О, нормальное ускорение этого центра масс:
Записываем второй закон Ньютона в проекции на направление нормального ускорения:
Учитывая, что напряжения ? = F/S, где S – площадь сечения кольца, масса полукольца М = ??RS, и что линейная скорость v = ?R, записываем с учетом (3.6):
Таким образом, получаем формулу (3.3).
Следовательно, вращающееся кольцо будет растягиваться с силой F и напряжениями ? даже без контакта с каким-нибудь другим телом. Аналогичным образом возникают напряжения во вращающихся телах любой конфигурации, например, в движущихся гибких массивных замкнутых связях – ремнях, цепях, а также маховиках – накопителях кинетической энергии.
Рис. 10. Схематичное представление вращающегося кольца: а – замкнутый вращающийся многоугольник с помещенными в вершинах углов точечными массами; б – силы, действующие на отдельный груз.
Рис. 11. Схема для определения напряжений во вращающемся кольце.