Физика повседневности
Читатель, вероятно, осознает, сколь важное значение физика имеет в современном мире: используемые нами гаджеты становятся все более сложными и разнообразными и потребляют все большее количество энергии. Но, быть может, он редко замечает присутствие физики во многих явлениях повседневной жизни, например во время еды. Почему пастис[9] становится непрозрачным, когда его смешивают с водой? Откуда берутся пузырьки, устремляющиеся на волю при открытии бутылки игристого вина? Почему хрустальный бокал поет, если по нему провести пальцем? Ответы на эти и многие другие вопросы вы найдете в этой части.
Путешествуя поездом, мы узнаем, что скачок давления, который ощущают пассажиры при прохождении поезда через туннель, объясняется явлением, открытым швейцарским ученым в XVIII веке. Как вы думаете, это давление избыточное или, наоборот, пониженное? Ответ вы найдете на следующих страницах…
Глава 10
Что общего между поездом, который въезжает в туннель, и потоком жидкости в сужающейся трубе? Ответ – зависимость давления в среде от скорости, неважно – поезда в туннеле или жидкости в трубке. Учение о динамике жидкостей и газов, которое появилось в XVIII веке, в том числе благодаря трудам Даниила Бернулли, находит множество примеров применения в нашей повседневной жизни.
Много лет назад, когда еще не было сверхскоростных поездов, вместе с другими физиками мы отправились из Парижа в Лион на скором поезде (илл. 1). Спустя полчаса с момента, как мы покинули станцию, поезд внезапно вошел в туннель. В момент вхождения в туннель все почувствовали неприятное ощущение в ушах – такое бывает, когда мы быстро спускаемся с горы.
– Казалось бы, в поезде мы должны быть защищены от воздействия избыточного давления, – отметил Пол, исследователь Европейской организации по ядерным исследованиям (ЦЕРН).
– Это не избыточное давление, – поправил его сидящий напротив коллега, – а, наоборот, область пониженного давления.
Мы были обескуражены. Разве поезд, двигаясь по туннелю, не сжимает воздух перед собой? Наш коллега удивился, что мы забыли об открытиях, сделанных швейцарским ученым Бернулли в XVIII веке, и вкратце напомнил, о чем речь. В 1738 году Бернулли опубликовал книгу «Гидродинамика», в которой представил фундаментальные законы движения жидкостей. Уточним, что речь идет о Данииле Бернулли (1700–1782), так как и другие члены этой семьи проявили себя в различных областях науки (его дядя Якоб и отец Иоганн также известны своими работами по математике и физике). По забавному совпадению, нашего эксперта по гидродинамике, который устроил для нас это импровизированное занятие, звали очень похоже – Дэниелом.
1. Въезд скорого поезда в туннель сопровождается неприятным ощущением в ушах пассажиров, которое вызвано понижением давления воздуха в вагоне
От въезжающего в туннель поезда…
Вот как Дэниел рассматривал проблему. Предположим, что поезд едет с равномерной скоростью по туннелю с неподвижным воздухом (в действительности воздух нигде не является статичным) (илл. 2a). Перед поездом, в точке А, воздух неподвижен. Позади поезда, в точке B, – то же самое. Но, по мере того как поезд продвигается вперед, воздух должен покидать место, занимаемое в этот момент поездом, и, наоборот, заполнять освобождающееся пространство позади него. Таким образом, в направлении, противоположном движению поезда, возникает воздушный поток, который перемещает воздушные массы спереди назад. Но для того чтобы воздух переместился, нужно, чтобы на него действовала некая сила. Эту силу прилагает непосредственно поезд? И да и нет: он в первую очередь своим движением создает перед собой область избыточного давления, а перемещение основной массы воздуха в противоположном движению поезда направлении уже происходит под воздействием возникшей разности давлений! Давление в сечении C ниже, чем в сечении A, что объясняет, почему воздух оказывается в C. Аналогично давление в сечении B должно быть выше, чем в сечении C, чтобы сдержать поток воздуха, приходящего из C. Это непременное условие, так как давления в сечениях А и B равны и соответствуют атмосферному. Таким образом, въезд поезда в туннель приводит к возникновению зоны пониженного давления рядом с поездом (илл. 3), что и почувствовали физики сквозь неплотно закрытое окно. Кроме того, поезд прикладывает силу и к обтекающему его воздуху в непосредственной близости от его корпуса, но это сила трения, и направлена она вперед, по движению поезда.
2. a. Поезд, проходящий через туннель со скоростью V, порождает возникновение воздушного потока скоростью ϑ в противоположном направлении. Воздух проходит через зону пониженного давления на своем пути. b. Аналогичная зона пониженного давления возникает при прохождении потока жидкости со скоростью V через неподвижную трубу, на которой имеется сужение
3. Изменение давления, зарегистрированное датчиком, установленным на поезде в 72 м от головы состава, во время прохождения поезда через туннель. В целом перепад давления Δp (по отношению к атмосферному давлению) при прохождении поезда отрицателен: вокруг обшивки поезда формируется область пониженного давления. Колебания кривой будут объяснены в конце главы. Согласно M. William-Louis et C. Tournier, “A wave signature based method for the prediction of pressure transients in railway tunnels”, J. of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics, 93, p. 521–531, 2005
…к движению жидкости по трубе
Даниил Бернулли в XVIII веке, очевидно, не ездил на поездах. Рассматриваемая им проблема заключалась в прохождении жидкости по трубе с переменным сечением (илл. 2b). Аналогия с поездом, движущимся через туннель, очевидна. Труба – это туннель, или даже набор «туннель + поезд»: наличие поезда в туннеле эквивалентно сужению трубы. По вышеописанной причине изменение диаметра также вызывает снижение давления P в трубе.
Бернулли сумел вычислить перепад давления в трубе для случая несжимаемой и невязкой жидкости. При этом плотность потока в любой части трубы должна быть одинаковой, а его скорость V в узкой части должна быть выше, чем в более широких частях. Полученная формула оказалась очень простой. Если ρ – плотность жидкости, то для устойчивого и нетурбулентного потока в любой точке жидкости сумма P + ρV2/2 должна быть постоянна.
Эта формула верна только в том случае, когда можно не учитывать воздействие на жидкость силы тяжести, то есть при условии, что все рассматриваемые точки находятся на одной и той же высоте. Далее мы разберемся, как учесть и силу тяжести.
Изменение давления в потоке жидкости, текущей по трубе переменного сечения, легко проверить экспериментально.
Жидкость протекает по трубе с широкой и узкой секциями, каждая из которых снабжена вертикальной трубкой, открытой сверху (см. илл.). Эти трубки играют роль «датчиков давления»: предполагается, что они тонкие и их наличие на свойства потока не влияет.
Когда поток устанавливается, то можно заметить, что высота воды в трубах различна. При этом уровень тем выше, чем сильнее давление в той секции трубы, куда вставлена трубка. Измеряя разницу высот Δh между сечениями A и C (или между сечениями B и C), можно найти перепад давления ΔP между широкой и узкой секциями на оси основной трубы: ΔP = ρgΔh. Зная мощность потока и диаметры секций трубы, легко вычислить скорости, и таким образом можно проверить справедливость теоремы Бернулли.
При наличии потока справа налево в горизонтальной трубе уровень жидкости в трубке С ниже, чем в трубках А и В. Этот опыт позволяет нам судить о перепаде давления в жидкости между узкой и широкой частями трубы, связанном с тем, что скорость в узкой части выше (V’ > V). Равенство уровней в сечениях A и B позволяет убедиться в отсутствии «потери мощности на нагрузке», то есть в том, что рассеивание механической энергии жидкости посредством трения незначительно
Сжимаемые и несжимаемые жидкости
– Если я правильно понял, – сказал Пол, – теорема Бернулли применима к несжимаемой жидкости, такой как вода. Но ведь воздух в туннеле таким не является!
– Это верно, – ответил Дэниел, – величина P + ρV2 / 2 в туннеле не совсем постоянна. Но в целом рассуждение остается правильным: поскольку поток массы остается одинаковым в любой точке трубы, то в узкой ее части воздух вынужден двигаться быстрее. Чтобы его ускорить, требуется сила, и эта сила обусловлена разницей давлений. Поэтому в узкой части возникает область пониженного давления. Это явление называют «эффектом Вентури» в честь итальянского физика, который вскоре после Бернулли изучал действие различных устройств, основанных на движении потока по трубе переменного диаметра.
Пола интересовала еще одна деталь.
Как определить скорость самолета относительно окружающего воздуха? Теорема Бернулли (с некоторыми необходимыми допущениями, поскольку на самом деле воздух не является несжимаемым) сводит это измерение к оценке разности давлений. Последняя осуществляется с помощью трубки Пито, установленной снаружи фюзеляжа. Принцип такого измерения предложил французский физик Анри Пито (1695–1771).
Трубка Пито состоит из двух Г-образных труб, в которых просверлены параллельное (C) и перпендикулярные потоку (B и B’) отверстия.
Величина, которую нужно измерить, – это скорость самолета по отношению к воздуху, которую мы обозначим – V (удобно определять скорость относительно самолета, так что скорость воздуха непосредственно перед самолетом, в точке А, равна V). При попадании в трубку встречный поток разделяется. Небольшая ее часть, C, заполняется воздухом, скорость которого здесь равна нулю, поскольку трубка заполнена и закрыта на другом конце. Скорость воздуха равна нулю также и в D: таким образом, давление в точках C и D совпадает. Другая часть воздуха обтекает трубу и достигает отверстий B и B’, практически не изменяя свою скорость V, что позволяет определить давление, которое устанавливается в точке F.
Далее с помощью манометра измеряется перепад давления PD – PF между точками D и F, который эквивалентен разнице давлений PC – PB между точками C и B и совпадает с перепадом давления PC – PA. Теперь нам осталось вычислить скорость самолета, используя теорему Бернулли. В случае несжимаемого потока последняя приводит к равенству PC = PA + ρV2/2. Поскольку измеренная разность давлений PD – PF равна PC – PA, то скорость самолета оказывается равной:
Схема трубки Пито
Трубка Пито, установленная под крылом самолета. Это устройство стало печально известным в июне 2009 года: пилоты рейса Рио-де-Жанейро – Париж, по всей видимости, отреагировали на неверные показания обледеневших трубок Пито, что привело к падению самолета
– Скорость потока в поезде и рядом с ним, очевидно, разная. Почему же давление внутри и снаружи одинаковое?
– Действительно, скорости воздуха внутри и снаружи поезда совсем разные, – признал Дэниел. – Однако если даже одно окно в вагоне затворено неплотно, то давление внутри него станет примерно равным пониженному давлению снаружи. Так, при незакрытом окне его занавески выдувает наружу. На этом явлении основан принцип действия трубки Пито, которую обычно используют для измерения скорости потока (см. главу 10, «Вытекание жидкости из сосуда и советы водопроводчика»). Она фиксирует соответствующие давления с помощью специальных отверстий, а вычислить искомую скорость можно по теореме Бернулли. Эти отверстия можно сравнить с плохо закрытым окном поезда.
– Вот именно! – заметила Клаудия, наша итальянская коллега. – В нашем поезде нет окон: только застекленные световые проемы, которые невозможно открыть!
Подошедший контролер завершил объяснение:
– Высокоскоростные поезда действительно имеют хорошую герметичность. Эффект пониженного или избыточного давления снаружи полностью ощущается нами только спустя некоторое время, порядка десяти секунд…
4. Различные приборы для измерения давления: манометр для проверки автомобильных шин (a), барометр (b) и барометрический высотомер (c). Последний позволяет определить высоту путем измерения атмосферного давления, которое уменьшается с набором высоты (см. главу 15, «Скороварка и готовка на высоте»)
Простой опыт
Наш путешественник все еще не был убежден.
– Теорема Бернулли противоречит здравому смыслу. Для того чтобы поместить предмет в отверстие, например пробку в горлышко бутылки, на него нужно надавить. Как же в таком случае объяснить, почему давление воздуха при прохождении поезда, наоборот, понижается?
– Действительно, некоторые истины кажутся парадоксальными, – ответил Дэниел. Но случаи с пробкой и поездом совершенно разные. Предлагаю вам в следующее путешествие на поезде взять с собой устройство для измерения давления – барометр или высотомер, он меньше и его легче нести (илл. 4). Тогда вы удостоверитесь, что прибор при прохождении поездом туннеля указывает на понижение давления в вагоне. Этот опыт действительно стоит поставить, поскольку теорема Бернулли предполагает, что жидкость несжимаема и ее течение ламинарно (безвихревое), в то время как, врываясь в туннель, поезд создает существенное возмущение находящегося там воздуха. На самом деле при въезде действительно регистрируется небольшое избыточное давление, затем давление, как это и предусмотрено теоремой Бернулли, понижается, а при выходе поезда из туннеля происходит мгновенный подъем давления (илл. 3). То есть, въезжая в туннель, поезд создает перед собой волну избыточного давления; эта волна распространяется через туннель со скоростью, близкой к скорости звука, и достигает выхода намного раньше самого поезда. Из-за причудливых законов гидродинамики волна вместо того, чтобы покинуть туннель, здесь отражается. Таким образом, она вновь встречает поезд, снова отражается и т. д. Аналогично после входа в туннель, за хвостом поезда формируется волна пониженного давления.
5. Опыт Бернулли, как он был представлен в его «Гидродинамике». Вода из широкой емкости вытекает через узкую трубу. При отсутствии потока уровни A и B равны. Когда же вода течет, то между уровнями A и B устанавливается стабильная разность высот. Согласно теореме Бернулли ρgzA + PA + ρVA2/2 = ρgzC + PC + ρVC2/2, в то время как в узкой трубке постоянной ширины ρgzB + PB = ρgzC + PC. Так как PA = PB равны атмосферному давлению, то получаем g(zA – zB) = VC2/2 – VA2/2. Скорости VC и VA можно определить на основе измерения потока массы жидкости (поскольку сечения сосуда в точке A и трубки в C известны)
Влияние силы тяжести
Клаудия снова вступила в разговор:
– С применением теоремы Бернулли в рассмотренной задаче связан кажущийся парадокс: наше рассуждение было основано на идее, что причиной возникновения потока жидкости является разность давлений, тогда как в конце концов у нас получилось, что, наоборот, сам поток является причиной перепада давления; поток, который чаще всего возникает под действием силы тяжести.
– Конечно, – согласился Дэниел. – Впрочем, это обстоятельство учитывалось в экспериментальном устройстве, с помощью которого Бернулли доказывал свою формулу. Жидкость текла по вертикальной трубе, установленной в нижней части сосуда (илл. 5). В этом случае поток оказывался не горизонтальным, как в туннеле, и теорему Бернулли необходимо было формулировать в более общей форме. А именно, в любой точке жидкости:
g – ускорение свободного падения и z – высота, P и V – по-прежнему давление и скорость потока (на высоте z), а ρ – плотность жидкости. Исторически Бернулли уделял особое внимание конкретной проблеме: продолжительности вытекания жидкости из сосуда через малое отверстие (см. главу 10, врезку «Вытекание жидкости из сосуда и советы водопроводчика»).
Вязкость и пограничный слой
– Вопрос вытекания жидкости из сосуда через отверстие уже изучался за столетие до Бернулли, в частности итальянским ученым Эванджелистой Торричелли. Последний заметил, что скорость потока не зависит от характера жидкости и формы сосуда и оказывается пропорциональной квадратному корню из h – высоты жидкости в сосуде. Однако этот результат был приблизительным, как и многие вещи, о которых я только что рассказал…
Изучая конкретный случай вытекания воды из какого-либо сосуда, мы увидим, что теорему Бернулли следует применять с определенной осмотрительностью.
Читатель легко может поставить следующий опыт, схема которого приведена ниже. Нальем воду в пластиковую бутылку с продырявленным дном и станем измерять время τ, за которое она опустошается, в зависимости от уровня ее начального наполнения H. Как связаны эти величины?
На первый взгляд можно решить, что величина P + ρgh + ρV2/2 (здесь h – высота уровня воды в емкости в данный момент) одинакова на поверхности жидкости и на выходе ее из отверстия. При этом и давление на обоих уровнях должно быть равно атмосферному давлению P0. Предполагая, для простоты, что площадь сечения S емкости намного больше площади отверстия s, можно легко определить скорость потока V в момент, когда высота столба воды в нем есть h:
Заметим, что эта скорость равна скорости, которой достигает изначально неподвижное тело, упавшее с высоты h.
На самом же деле полученный ответ дает нам лишь порядок искомой величины, поскольку использование выше формулы Бернулли было основано на предположениях, которые не совсем точны. Давление на выходе из отверстия действительно равно P0, но только на поверхности струи, а не внутри. У дна сосуда давление оказывается бóльшим: оно равно давлению на поверхности, к которому добавляется вес столба жидкости, то есть P0 + ρgh. Оно не может резко, скачком, уравняться с давлением P0 по всему объему рассматриваемого элемента струи, это выравнивание происходит постепенно. Таким образом, на выходе из отверстия скорость внутри струи оказывается меньшей, чем скорость воды у поверхности струи V. В конечном итоге скорость потока оказывается меньшей, чем следовало ожидать из приведенной выше оценки. Приведенная выше величина V умножается на коэффициент C, меньше или равный 1, величина которого зависит от геометрической формы отверстия: для кругового отверстия, просверленного непосредственно в нижней части сосуда, он близок к 0,6. Время слива τ с учетом этого коэффициента определяется так:
Коэффициент C может быть изменен путем оснащения отверстия приспособлением под названием «штуцер» (на илл. представлен в виде красной трубы). Штуцеры являются частью арсенала водопроводчиков: добавляя короткую трубу к отверстию потока, они таким образом могут влиять на форму и мощность струи.
Вытекание жидкости из сосуда, заполненного до высоты h. Теорема Бернулли подразумевает, что скорость слива пропорциональна таким образом, она уменьшается по мере того, как емкость пустеет
Мы пришли в замешательство. Дэниел нас дурачил?
– Я только упростил ситуацию, как и любой физик, – пояснил он. – Применяя теорему Бернулли к жидкости, текущей по трубе, мы предполагаем, что скорость жидкости V относительно стенок одинакова во всей трубе, как в середине, так и по краям. Однако это совсем не так – она постоянно меняется. В частности, скорость жидкости, соприкасающейся со стенками, должна быть равна скорости стенок, то есть нулю! Таким образом, когда поток проходит через трубу небольшого радиуса R и достаточно большой длины L, то скорость жидкости мала по всей толщине трубы. Поток Q в такой трубке определяется по формуле, которую в 1844 году вывел физик Жан Луи Мари Пуазёйль:
где ΔP – разность давлений между концами трубки и η – коэффициент вязкости жидкости (измеряемый в кг∙м–1∙с–1). Таким образом, при той же разности давлений в одной и той же трубке поток масла окажется меньшим, чем поток менее вязкой воды. И самое главное, из формулы Пуазёйля следует, что при фиксированной разности давлений величина потока очень сильно (по закону R4) возрастает с увеличением радиуса трубы!
С учетом всех этих эффектов становится понятно, что в случае вытекания жидкости из сосуда через тонкую и не слишком короткую трубу скорость потока оказывается пропорциональной уже не квадратному корню из величины уровня жидкости, а самой этой величине. Кроме того, будучи обратно пропорциональной вязкости жидкости, скорость жидкости начинает зависеть и от природы последней… Именно поэтому выше мы рассматривали достаточно широкую трубу, в которой на некотором отдалении от стенок скорость потока жидкости по поперечному сечению можно считать постоянной. Область же, где скорость существенно изменяется, убывая до нуля при непосредственном контакте со стенкой трубы, – это лишь тонкий пограничный слой.
– И какова толщина этого слоя? – спросила Клаудия.
– Это зависит от величины вязкости жидкости, которая препятствует слишком быстрому изменению скорости по мере удаления от стенок. Так, для масла пограничный слой толще, чем для воды. Более точно, материальные параметры, определяющие толщину вязкого слоя для конкретной жидкости, входят в комбинации η/ρ, где ρ – плотность жидкости. Последняя составляет около 10–6 м2/с для воды и 1,4∙10–5 м2/с для воздуха при нормальных условиях.
Дэниел достал записную книжку и карандаш, чтобы выполнить некоторые расчеты.
– Известно, что для трубы длины L, в которой поток жидкости движется со скоростью V, толщина l пограничного слоя оказывается порядка Таким образом, для 250-метрового поезда, движущегося со скоростью 180 км/ч, толщина l составляет несколько сантиметров. Это расстояние достаточно мало по сравнению с расстоянием между поездом и стенкой туннеля, поэтому им можно пренебречь, и теорема Бернулли в рассмотренном выше случае действительно применима. Аналогично для потока воды скоростью 1 м/с в трубе длиной 1 м l оказывается порядка миллиметра…
6. Резкое открытие крана или клапана может спровоцировать опасное избыточное давление в трубопроводе – гидравлический удар. Этим термином пользуются также и для обозначения возникающих в трубе при закрытии крана после резкого выключения воды неразрушающих ее колебаний. Они сопровождаются характерным глухим шумом
Еще один нюанс: гидравлический удар
Слово взял Пол.
– Кажется, я понял, почему все эти потоки в трубах в начале нашего разговора повысили мое давление! Как-то раз я уехал из дома на всю зиму. Перед отъездом я слил воду из труб и перекрыл краны. Весной, по возвращении, я, не открыв заранее краны, резко пустил воду в домашний трубопровод, и все его сварные швы лопнули. Я позвонил водопроводчику, и он объяснил, что произошел гидравлический удар (илл. 6).
– Возможно, – сказал Дэниел. – Городской водораспределитель и так подает воду в дом под давлением, заметно превышающим атмосферное. При резком же открытии клапана вода может приобрести столь высокую скорость, что инерция позволит ей сжать воздух в трубе вплоть до давления, разрушающего трубу.
Дэниел снова открыл записную книжку, чтобы продемонстрировать уравнения, моделирующие эту ситуацию. Но было поздно: поезд прибыл на станцию…