Удивитесь ли вы, узнав, что музыкальные инструменты отчасти являются физическими приборами? На протяжении веков они становились все совершеннее благодаря таланту и опыту мастеров и музыкантов. Последние далеко не всегда обладали обширными научными познаниями, и все же звучание рояля, органа или барабана замечательно иллюстрирует действие законов физики. В этой главе мы ближе познакомимся с королевой струнных инструментов – скрипкой.
Наследница средневековых музыкальных инструментов, таких как лютня и виола, скрипка появилась в XVI веке в Кремоне, Италия. Этот городок прославили династии Страдивари, Гварнери и Амати, превратившие производство струнных инструментов в настоящее искусство. И сегодня Кремона остается верна традиции: посещающие ее туристы бродят среди магазинов, в витринах которых выставлены скрипки (илл. 1). Во Франции тоже есть город скрипок – Миркур в Вогезах. Лицей Жан-Батиста Вийома, названный в честь великого скрипичного мастера XIX века, уроженца Миркура, предлагает уникальное во Франции обучение искусству производства этих инструментов.
1. Собор и баптистерий в Кремоне, Италия. Известный скрипичный мастер Антонио Страдивари (1644–1737) родился и умер в Кремоне
Как смычок поддерживает вибрацию
Скрипка – струнный смычковый инструмент; она имеет четыре хорошо натянутые струны, которые опираются на струнодержатель, или подгрифок (илл. 2). Последний передает в резонаторный ящик вибрацию струн, возбужденных движением смычка. При игре скрипач совершает смычком относительно медленные движения вперед и назад; он меняет направление примерно раз в секунду или еще реже. Струна скрипки при этом совершает несколько сотен колебаний в секунду и возбуждает в окружающем пространстве звуковые колебания с частотой в сотни герц. Эта частота колебаний струны определяет соответствующую ноту (до, ре, ми и т. д.) и зависит как от натяжения струны (должным образом настроенной музыкантом с помощью колков), так и от положения пальца скрипача.
2. Скрипач проводит смычком по струне, и она начинает вибрировать. Затем звук передается на деку (верхняя часть резонаторного ящика) через подгрифок. Музыкант выбирает высоту звука, зажимая струну на грифе пальцем. Четыре колка на конце грифа позволяют регулировать натяжение струн
Вибрация скрипичной струны впервые была описана немецким ученым Гельмгольцем в 1862 году. С помощью придуманных и изготовленных им инструментов он показал, что вибрирующая струна принимает, если говорить просто, форму двух прямых сегментов (илл. 3), разделенных точкой излома, которая с постоянной скоростью перемещается от одного конца струны к другому сначала в одном направлении, а затем в противоположном.
3. Движение скрипичной струны (красный цвет), по которой ведут смычком, по Гельмгольцу. Точка излома c1 перемещается между подгрифком и пальцем скрипача слева направо по параболе, а затем справа налево (c2) по другой параболе
Оставим вопросы техники игры скрипачам, нас же будет интересовать следующая физическая задача: как движущийся по струне смычок заставляет ее вибрировать? Если читатель считает ответ очевидным, то предлагаем ему натянуть веревку между двумя точками опоры (илл. 4) и пройтись по ней линейкой. Веревка будет отклоняться от своего равновесного положения до тех пор, пока она пребывает в контакте с линейкой, однако при этом она не вибрирует. Как только линейка будет убрана, веревка вернется в свое положение равновесия, совершив при этом, возможно, несколько колебаний. Итак, натянутая веревка под действием линейки не вибрирует. Почему же вибрирует струна под скрипичным смычком? Разгадка этой тайны кроется в канифоли – смоле, которой скрипач покрывает полотно смычка.
4. Опыт с трением натянутой веревки линейкой. Веревка отклоняется от положения равновесия, но не вибрирует до тех пор, пока сохраняется контакт с линейкой. Однако звучания все же можно добиться краткими щипками веревки (pizzicato)
Статическое и динамическое трение
Смычок и скрипичная струна взаимодействуют между собой посредством трения. Обычно считается, что трение – это помеха, поскольку оно приводит к потере энергии, преобразуя часть ее в тепло. Например, значительная часть энергии, израсходованной на разгон автомобиля, теряется из-за трения между различными его частями. Тем не менее тот же автомобиль разгоняется именно благодаря трению между шинами и асфальтом, благодаря трению мы можем ходить (для того чтобы убедиться в этом, достаточно прогуляться по льду)…
Различают два вида трения: статическое – между двумя контактирующими друг с другом неподвижными объектами и динамическое – между двумя объектами, движущимися относительно друг друга. Динамическое трение этому движению препятствует (см. главу 11, врезку «Законы динамического трения»). Замечательно, что возникающее при скольжении смычка по струне трение является поочередно то статическим, то динамическим! Когда скрипач начинает играть, он кладет смычок на неподвижную струну и в дальнейшем оказывает на нее давление, которое мы примем за постоянное. В течение короткого времени перемещение смычка со скоростью v0 приводит к тому, что струна, следуя за ним, начинает двигаться с той же скоростью. Эта фаза сцепления обусловлена статическим трением между смычком и струной, сила которого увлекает струну в направлении движения смычка. В свою очередь, возрастающее натяжение струны приводит к появлению силы, приложенной к смычку и направленной противоположно его движению. Для того чтобы струна следовала за смычком, обе эти силы в каждый момент времени должны уравновешивать друг друга (илл. 5a).
5. a. Статическое трение смычка о скрипичную струну. Смычок движется вверх. Статическая сила трения f→ уравновешивает результирующую силу F→ натяжения струны: точка ее контакта со смычком A остается неподвижной по отношению к смычку. b. Когда напряжение струны превышает предельно возможное значение силы статического трения, то трение становится динамическим. Точка контакта A теперь перемещается вдоль смычка, однако ее расположение x0 по отношению к корпусу скрипки фиксировано. Динамическая сила трения f→ уравновешивает мгновенное значение результирующей силы натяжения струны F→
Эта первая фаза непродолжительна: вызванная натяжением струны сила, по мере того как струна отклоняется от положения равновесия, быстро возрастает и вскоре достигает величины максимально возможного статического трения[10]. С этого момента статическое трение больше не может компенсировать силу натяжения: смычок и струна расцепляются, струна возвращается в положение равновесия. В этой, второй, фазе «скольжения» на струну действует динамическая сила трения, которая намного меньше статической, и она совершает колебательное движение, подобно выведенной из положения равновесия пружине. При этом в некоторый момент времени, пройдя точку максимального удаления от положения равновесия, струна вновь начинает двигаться в том же направлении, что и смычок. Ее скорость увеличивается и в конечном итоге сравнивается со скоростью смычка: в этот момент происходит «сцепка», и система «струна – смычок» вновь оказывается в своей первой фазе. Она длится до тех пор, пока сила натяжения струны снова не становится слишком большой и струна не срывается со смычка. Если длина колеблющейся части струны такова, что скрипка звучит на ноте ля (частота 435 Гц), то между началами двух «фаз сцепления» проходит одна 1/435 доля секунды. Отметим, что энергию, необходимую для поддержания колебательного движения, смычок передает струне тогда, когда они имеют одинаковую скорость. Таким образом, взаимодействие смычка со струной состоит из чередующихся фаз сцепления и скольжения (илл. 6).
6. a. Скорость скрипичной струны в точке соприкосновения со смычком в зависимости от времени (пунктир – приближенное значение; сплошная линия – фактическая кривая). Как видно, значение скорости резко изменяется между фазами сцепления и скольжения, что сложно объяснить в рамках нашей очень упрощенной модели. b. Чередование фаз сцепления и скольжения приводит к изменению величины поперечной силы, с которой струна действует на подгрифок (передающий, в свою очередь, вибрацию в резонатор, основной источник звука). (По X. Boutillon, Acoustique des instruments de musique, 2013)
Роль канифоли
Мы уже знаем, что поначалу струна следует за смычком, пока не срывается с него и не начинает двигаться в обратном направлении. Затем она вновь изменяет направление движения, и ее скорость в конечном итоге вновь сравнивается со скоростью смычка. А возможно ли, чтобы струна не нагнала смычок и трение между ними все время оставалось динамическим? Чего скрипачу стоит опасаться, так это ситуации, о которой говорилось выше на примере опыта с линейкой и веревкой: того, что струна, несмотря на воздействие смычка, вместо того чтобы вибрировать, займет фиксированное положение. В этом случае возвращающая сила натяжения веревки F→ будет полностью уравновешивать динамическую силу трения f→ (илл. 5b) и струна будет оставаться неподвижной относительно скрипки, а не относительно смычка. Позвольте, но такое положение струны, в котором сумма приложенных к ней сил равна нулю, существует всегда: это положение равновесия.
Так что же, если струна окажется в таком положении, то скрипка замолчит? К счастью, благодаря замечательному свойству канифоли это не так. До тех пор пока смычок покрыт этим веществом (мы по-прежнему предполагаем, что скрипач оказывает постоянное давление на струну), динамическая сила трения f, противореча утверждению закона Амонтона – Кулона, будет уменьшаться с ростом относительной скорости струны относительно смычка (илл. 7).
В рамках очень упрощенного описания (в частности, проигнорировав скручивание струны) мы покажем, что при такой зависимости динамической силы трения от скорости трение приводит не к затуханию колебаний струны, а, наоборот, до определенного предела усиливает их. Равновесное положение струны x0 в этом случае неустойчиво, и скрипка никогда не замолкнет! Напомним, что равновесие системы может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Устойчивое равновесие нам хорошо знакомо: оно соответствует минимуму потенциальной энергии (см. главу 6). Например, шарик на дне полости, слегка отклоненный от равновесия, вернется в исходное положение. Не так обстоит дело с заостренными предметами, например карандашом, когда его прислоняют к стене таким образом, что он стоит, опираясь на кончик. Если при этом его совсем чуть-чуть сместить из положения равновесия, то, в отличие от шара, он упадет влево или вправо и примет другое конечное положение.
Динамическое трение между двумя твердыми телами обычно подчиняется законам, которые в 1699 году установил Гийом Амонтон и в 1781 году уточнил Шарль де Кулон (более известный работами по электростатике). Согласно этим законам, динамическая сила трения не зависит от скорости. Однако она зависит от силы, прилагаемой перпендикулярно к поверхности соприкосновения тел: например, от веса объекта, лежащего на земле, или, в нашем случае, от давления, оказываемого на струну смычком. Отношение же этих сил – так называемый коэффициент трения – от величины приложенной силы не зависит. Оказывается, что он не зависит и от площади контакта между телами, а определяется лишь природой материалов, из которых изготовлены соприкасающиеся тела.
Хотя французские физики Амонтон и Кулон были первыми, кто опубликовал законы трения, по-видимому, двумя веками ранее, судя по его чертежам, с ними был прекрасно знаком и Леонардо да Винчи (1452–1519). Великий тосканский художник был и талантливым физиком.
Зарисовка эксперимента Леонардо да Винчи показывает, что коэффициент трения не зависит от площади контактной поверхности (Atlanticus codex, f532r). При постепенном изменении наклона плоскости, на которой лежат тела одинакового веса, изготовленные из одного и того же вещества, однако различающиеся формой, все они начинают скользить одновременно. (По Dowson D. History of Tribology. Longman, New York, 1979)
Ситуация со скрипкой во время фазы скольжения аналогична. Предположим, что струна из положения равновесия x0 (илл. 5b) отклоняется немного назад, например, из-за неровности смычка. Натяжение струны, пропорциональное (x – x0), при этом уменьшается, и сила трения, которая направлена противоположно вектору относительной скорости (v0 – v), – тоже! Если сила трения падает быстрее, чем сила натяжения, то отклонение струны назад увеличивается еще больше. Подобная ситуация будет иметь место и при малом отклонении струны от положения равновесия вперед – при этом возрастут и натяжение струны, и сила трения. Если сила трения растет быстрее силы натяжения, то малое отклонение струны вперед от положения равновесия будет развиваться.
Итак, в рассматриваемом случае трение приводит к усилению смещения от положения равновесия: равновесие струны оказывается неустойчивым! Этот механизм необычен. Заметим, что усиление амплитуды колебаний струны трением происходит лишь до определенного предела. В тот момент, когда скорость струны сравнивается со скоростью смычка, их относительная скорость становится нулевой и динамическое трение сменяется статическим.
До сих пор мы предполагали, что единственными силами, действующими на скрипичную струну, являются трение смычка и сила натяжения. Очевидно, что имеются и другие силы, например сила сопротивления воздуха. Поскольку скрипка возбуждает звуковые волны, то последняя, разумеется, стремится ослабить вибрацию струн. Тем не менее соответствующая сила относительно мала по сравнению с теми, которые мы уже рассмотрели выше. Вызванные ею небольшие изменения можно принять в расчет, но едва ли они существенно повлияют на полученные нами результаты.
7. Значение динамической силы трения между смычком и скрипичной струной в зависимости от их относительной скорости (эта относительная скорость u = v0 – v – это разница между скоростью v струны и скоростью v0 смычка по отношению к скрипке). Красная прямая соответствует закону Амонтона – Кулона, которому подчиняется большинство твердых тел. Нарушение этого закона позволяет скрипке издавать звук
Другие последствия трения
Силы трения вызывают и другие удивительные эффекты, например обратное движение бильярдного шара (см. главу 11, врезку «Трюки и хитрости бильярдиста»). Учет законов трения имеет важное значение для решения многих промышленных задач. Так, например, при токарной обработке металла (илл. 9) в лезвии обтачивающего заготовку инструмента может возникнуть нежелательная вибрация. Она вызвана трением между резцом и скользящей по его поверхности металлической стружкой. Величина силы трения при этом иногда резко меняется, что и вызывает вибрацию. Ее можно избежать, придав лезвию подходящую форму.
8. Канифоль изготавливается из сосновой смолы. Она продается для скрипачей в виде цельного блока. Также ее в виде порошка для улучшения сцепления используют спортсмены-альпинисты
Во многих системах, таких как двигатели внутреннего сгорания, для замедления износа деталей желательно снизить трение между ними. Для этого прямого контакта между поршнем и цилиндром избегают посредством смазки трущихся поверхностей маслом. В этом случае сила трения оказывается пропорциональной относительной скорости между жидкостью и деталью (по крайней мере, если она не очень мала) (см. главу 15, врезку «Движение пузырьков и турбулентность»).
9. Эффект трения. Вибрация лезвия (слева), вызванная трением о заготовку при обточке металлической детали (справа), может быть устранена путем правильного выбора угла θ и придания лезвию подходящей формы
Струны и резонатор
Как упоминалось ранее, длина и натяжение струны определяют высоту порождаемой ею ноты. Вот только сама струна не может производить звук достаточной интенсивности: его усиление есть функция резонаторного ящика скрипки. При этом основным источником звука является вибрация его деревянных стенок.
Что означает термин «резонанс»? В физике так называют резкое увеличение амплитуды колебаний некоторой системы при совпадении частоты внешнего воздействия с определенной, характерной для данной системы частотой.
Очень простой пример явления резонанса представляет собой питаемый от генератора переменного напряжения электрический контур, состоящий из резистора, конденсатора и индукционной катушки (илл. 10). В зависимости от частоты генератора сила тока, проходящего через цепь, может изменяться от ничтожной до весьма значительной. Роль такой цепи заключается в фильтрации сигнала четко определенной частоты, поэтому ее качество характеризуется добротностью Q, которая определяется как отношение f/Δf величины резонансной частоты к ширине резонансного пика. Для радиопередатчика или приемника желательно иметь настолько узкий резонанс, чтобы он излучал или принимал радиоволны на четко определенной частоте, не перекрывающейся с другими передачами.
10. Пример резонанса в электрическом контуре. Катушка индуктивности L накапливает энергию по мере возрастания текущего через нее тока и теряет ее при уменьшении величины тока. В свою очередь, конденсатор емкости C накапливает энергию по мере увеличения на нем заряда, и эта энергия достигает максимума, когда ток в контуре становится равным нулю. Таким образом, энергия периодически перекачивается из конденсатора в катушку и наоборот, создавая таким образом колебания в контуре. Амплитуда тока i для данной разности потенциалов V в зависимости от частоты f достигает максимума при (в предположении малости сопротивления R<<f0L). Максимум тока в точке резонанса оказывается тем выше, чем меньше величина сопротивления R
Струна скрипки также является резонирующей системой. Поскольку оба конца струны зафиксированы, то резонанс достигается, когда длина волны λ колебаний струны равна ее удвоенной[11] длине L (илл. 11). Тем не менее у струны имеются и другие резонансы, соответствующие соотношениям λ = L, λ = 2L/3 и т. д. В звучании скрипки проявляют себя одновременно все эти резонансы, в пропорциях, которые и определяют уникальный тембр инструмента. Колебания струны представляют собой так называемые стоячие волны.
Бильярдный шар, если его ударить определенным образом (в направлении, указанном красной стрелкой (a)), вращается и движется вперед (b) с небольшой скоростью. Через некоторое время из-за трения скорость его поступательного движения обращается в ноль (c), после чего шар в результате его продолжающегося вращательного движения откатывается назад (d). Таким образом, по битку – белому шару (вид сверху, слева) – можно ударить таким образом, чтобы он затем столкнулся с двумя другими шарами
Если ударить бильярдный шар, как показано красной стрелкой, то он будет скользить, при этом проворачиваясь в направлении, обозначенном синей стрелкой. После столкновения с красным шаром он покатится назад
Как музыканты при игре на скрипке используют явление трения, порой и не подозревая обо всех его тонкостях, так и опытные бильярдисты способны с помощью трения творить чудеса. Ударяя шар под определенным углом, они могут продемонстрировать удивительный для неискушенного зрителя эффект – заставить шар после некоторого промежуточного движения покатиться назад, в направлении, противоположном начальному удару. Как они это делают?
Рассмотрим шар, который ударяют бильярдным кием вдоль прямой, проходящей позади центра шара и точки его соприкосновения с сукном (см. илл.). Этот удар толкает шар вперед, одновременно заставляя его вращаться против часовой стрелки. Заметим, что если бы шар катился без проскальзывания, то он вращался бы в противоположном направлении. Таким образом, шар, вращаясь, скользит по сукну, и трение уменьшает как скорость его поступательного движения, так и линейную скорость вращения. Если заданная кием начальная линейная скорость вращения достаточно велика по отношению к скорости движения центра масс шара, то последняя рано или поздно уменьшится до величины линейной скорости вращения. Шар в этот момент остановится, однако поскольку он продолжает вращаться, то сила трения о сукно заставляет его изменить направление поступательного движения. Шар покатится назад!
Другой метод заключается в ударе по мячу таким образом, чтобы он покатился обратно только после удара о другой шар. Достаточно всего лишь ударить его ниже центра (см. илл.). Как и в предыдущем случае, биток при этом вращается против часовой стрелки, однако с меньшей скоростью вращения. Удар по другому шару останавливает его поступательное движение, после чего вращательное движение заставляет его откатиться назад. Если удара не произойдет, то шар будет катиться без проскальзывания вплоть до полной остановки, в этом случае он назад не вернется.
В отличие от ситуации со скрипичной струной и смычком, трение между бильярдным шаром и сукном подчиняется закону Амонтона – Кулона (см. илл. 7 в главе 11), согласно которому сила трения равна произведению постоянного коэффициента трения на вертикальную составляющую силы реакции опоры. Последняя равна абсолютному значению веса шара. Читатель, обладающий некоторыми знаниями механики, сумеет составить и решить уравнения движения и получить условия, при которых происходит описанное нами движение.
Ударяя белый шар под определенным углом, бильярдист может достичь удивительного для непрофессионала эффекта возвращения
Когда речь идет о резонаторном ящике скрипки, то понятие резонанса приобретает несколько иное значение, чем приведенное выше. Здесь вовсе не требуется, чтобы инструмент имел острый резонанс на определенной частоте: напротив, скрипка должна откликаться на любое колебание струн, передаваемое в резонаторный ящик посредством опоры, реагируя на него возникновением стоячих волн.
11. Варианты колебаний струны с закрепленными концами
Фигуры Хладни
Колебания корпуса скрипки можно продемонстрировать, перевернув ее и посыпав дно песком. Если теперь заставить инструмент звучать на определенной частоте, например с помощью динамика, то песок начнет дрожать и скапливаться в областях, где амплитуда колебаний минимальна. Так образуются фигуры Хладни, названные в честь немецкого физика Эрнста Хладни (1756–1827).
В отличие от представленного выше электрического контура, у скрипки существует множество резонансных частот. Тем не менее узлы волн четко выражены, и можно предположить, что резонансы узкие. Как было указано выше, скрипичные мастера стараются создавать свои инструменты без явно выраженных резонансов. К счастью, они имеют дело со сложным инструментом, а не с простой пластиной. Поэтому когда скрипка собрана, то структура резонансов в ней становится намного более сложной.