Порой за столом, во время затянувшегося ожидания блюда, спонтанно образуется оркестр: гости в знак протеста заставляют свои бокалы петь. Да, из бокала с вином легко извлечь гармоничный звук, но попробуйте-ка сделать то же самое с фужером шампанского! Давайте разгадаем тайну пения бокалов, а уж потом займемся музыкальными пузырьками…
Каждый знает, что бокалы умеют «петь». Достаточно лишь окунуть палец в воду и провести им, еще мокрым, по краю бокала. Сначала производимый звук может быть неприятным, но вскоре, когда край стекла увлажнится равномерно, звук станет более гармоничным. Изменяя давление пальца, можно регулировать высоту звука. Также она зависит от размера бокала, его формы и толщины стенок. Механизм возникновения звука здесь подобен извлечению звука из струны с помощью трения (см. главу 11, «Роль канифоли»): сменяющие друг друга фазы сцепления и скольжения возбуждают колебания стеклянной стенки. Вибрируя, стекло периодически сжимает окружающий воздух и таким образом генерирует звуковые волны (см. главу 2, «Распространение звуковых волн»). Если бокал наполнить водой более чем на половину, то вы сможете наблюдать рябь, которая возникает на поверхности жидкости под воздействием вибрации стенок.
Не все бокалы музыкальны, и поиск подходящего может занять некоторое время. Лучше всего поют очень тонкие бокалы в форме параболоида вращения, на длинной ножке (илл. 1). В общем, те, которые легче всего бьются! Один из авторов этой книги не сумел найти их у себя дома, потому что все они разбились и были заменены небьющимися. Последние же оказались непригодными для извлечения музыки, поскольку слишком толстое стекло вибрирует очень слабо.
1. «Поющие» бокалы в форме параболоида вращения (форма, полученная путем вращения параболы вокруг ее оси). Проводя влажным пальцем по краю бокала, можно извлечь из него звук. Вода способствует возникновению фазы проскальзывания
Пение бокалов подверглось серьезным исследованиям, которые установили, что колебания края бокала в основном происходят между двумя эллиптическими конфигурациями (илл. 2). Они имеют четко определенную частоту, которая зависит от формы бокала и упругих свойств стекла, поэтому производимый звук оказывается очень чистым. Уровень жидкости в бокале существенно влияет на высоту этого звука: чем более наполнен бокал, тем ниже будет звук. Если вы найдете несколько бокалов разного размера и толщины, то, искусно подбирая уровень воды в них, сможете воспроизвести все ноты октавы и, приноровившись, сумеете исполнять музыкальные мелодии. Именно на этом принципе основан не получивший широкого распространения музыкальный инструмент – стеклянная гармоника (см. главу 12, врезку «Стеклянная гармоника Бенджамина Франклина»).
2. При генерации звука стенки бокала вибрируют (здесь изображен край бокала, вид сверху): они поочередно принимают удлиненную форму то в одном направлении, то в другом, ему перпендикулярном
Ваше здоровье!
Еще один, намного более простой способ заставить звенеть бокалы – ими чокнуться. При столкновении бокала с другим его стенка отклоняется от равновесного положения. После некоторого промежутка времени, соответствующего их затухающим колебаниям, бокалы приобретают свою первоначальную форму. Именно в течение этого промежутка времени они и издают звук. Обычно, если они пустые или наполнены вином, этот звук приятный. Однако он гораздо менее мелодичен, если в бокалах налито шампанское или другое игристое вино, – в этом случае звук оказывается глухим и невыразительным. Почему?
Бенджамин Франклин играет на своей стеклянной гармонике
Феноменом поющих бокалов интересовался великий американский ученый и выдающийся государственный деятель (достоинства, которые в наши дни редко встречаются в одном человеке) – Бенджамин Франклин (1706–1790), более известный своими экспериментами по изучению атмосферного электричества и изобретением громоотвода. Он применил свойство бокалов «петь» в придуманном им музыкальном инструменте – стеклянной гармонике. Она состояла из батареи стеклянных чаш, нанизанных через отверстие в центре на ось, на равном расстоянии друг от друга. Устройство было оснащено педалью, приводившей к вращению устройства, как, например, в старинных швейных машинках или гончарных кругах. Касаясь влажными пальцами вращающихся полусфер, музыкант получал кристально чистый звук, от самого высокого на маленьких чашах до самого низкого на чашах большего диаметра.
В 1763 году Франклин подарил стеклянную гармонику англичанке миссис Дэвис, которая много лет демонстрировала ее на гастролях по всему миру. Затем инструмент бесследно исчез; вероятно, его постигла та же участь, что и многие бокалы, разбившиеся из-за неосторожного движения… Другие экземпляры инструмента еще долго оставались в обращении. Его музыкальные качества оценивались по-разному и, конечно, зависели от мастерства исполнителя. Чарующие звуки стеклянной гармоники даже подверглись обвинению в том, что они провоцируют преждевременные роды или вызывают безумие играющих на ней музыкантов! Тем не менее музыку для гармоники писали известные композиторы и ее высоко ценили некоторые именитые слушатели, такие как великий скрипач Никколо Паганини. Но постепенно мода прошла, и к 1830 году этот инструмент полностью исчез из салонов. В течение нескольких последних десятилетий стеклянную гармонику снова изготавливают; вращение полусфер теперь обеспечивает электрический двигатель, а для увлажнения пальцев исполнителя служит пульверизатор. Читатель может составить собственное представление о качествах этого инструмента с помощью интернета: найдите интерпретацию французского виртуоза Томаса Блоха рондо K. 617 Моцарта для стеклянной гармоники.
Человеческое ухо воспринимает звуки частотой примерно от 20 до 20 000 Гц. «Хрустальный» звон стекла обусловлен присутствием в нем звуковых волн, принадлежащих к верхней части этого диапазона, то есть с частотами в интервале от 10 до 20 кГц. При звоне пустых или наполненных негазированным напитком бокалов после удара стеклянных стенок колебания продолжаются достаточно долго. И наоборот, звук затухает очень быстро, когда в бокалах находится шампанское… Объяснение этого различия кроется в содержащихся в игристом вине пузырьках углекислого газа CO2 (см. главу 14, «Пузырьки шампанского»). Действительно, после соударения бокалов в их содержимом распространяются звуковые волны: зоны сжатия жидкости чередуются с зонами разрежения (см. главу 2, «Когда звук распространяется зигзагами»). Но растворимость газов в жидкости зависит от давления: она тем сильнее, чем давление выше (закон Генри – Дальтона). Итак, понижение давления приводит к «дегазации» шампанского: в бокале возникают пузырьки, которые рассеивают энергию колебаний. Поэтому звук в игристом вине затухает намного быстрее, чем в вине «спокойном», где пузырьки отсутствуют (илл. 3).
В положении равновесия форма воздушного пузырька небольшого размера в воде является сферической. Его радиус таков, что давление воздуха внутри пузырька компенсирует давление воды. В результате внешнего воздействия (например, звуковой волны) пузырь деформируется и затем начинает колебаться около своего равновесного положения.
Эти колебания могут быть представлены в виде суммы большого числа различных деформационных мод. Некоторые из них приводят к значительным смещениям поверхности пузыря; такие моды называют резонансными. Один из таких резонансов, резонанс Миннарта, происходит на весьма низкой частоте: при этом он соответствует возбуждению звуковых волн весьма больших длин (как в воздухе, так и в воде) по сравнению с размерами самого колеблющегося пузырька. Эти колебания оказываются аналогичными колебаниям подвешенного на пружине и выведенного из положения равновесия шара (см. илл. ниже): при отсутствии затухания шар начинает колебаться с определенной частотой ƒ, которая зависит только от величины его массы и жесткости k пружины. Чтобы понять аналогию с пузырьком, заметим, что масса шара M в случае пузырька соответствует массе вовлеченной в движение жидкости, в то время как роль возвращающей силы упругости пружины в случае пузырька играет сила избыточного давления, стремящаяся вернуть его поверхность в положение равновесия. В случае пружины эта сила пропорциональна удлинению x пружины: F = –kx, где постоянная k является характеристикой пружины. Частота колебаний шара равна
Она тем выше, чем жестче пружина и меньше масса.
Колебания подвешенного на пружине шара (a) аналогичны колебаниям пузырька (b), который осциллирует между двумя крайними позициями (пунктирные окружности) около своего равновесного положения (сплошная линия)
А какой же будет формула для колебаний пузырька? Воспользуемся методом размерности и подберем для пузырька характерные физические параметры, которые заменят M и k. Таким образом мы немного сократим сложный расчет (который, однако, остается необходимым для получения точного количественного результата). Характерные величины, которые, очевидно, должны войти в ответ, – это плотность ρ жидкости, радиус пузырька R в положении равновесия и начальное давление жидкости P. Действительно, возвращающая сила, воздействующая на поверхность пузыря, возникает из-за давления внутри него, которое в равновесном положении должно быть равным давлению жидкости. Масса же вовлеченной в движение жидкости по порядку величины соответствует произведению объема пузырька на ее плотность: (4/3)πR3ρ. Что же касается коэффициента жесткости k, то он должен представлять собой отношение возвращающей силы к длине. Единственная величина, имеющая размерность длины в нашей задаче, – это радиус R, а величина с размерностью силы – это произведение давления P на площадь поверхности пузыря, то есть PR2. Таким образом, коэффициент жесткости k должен быть порядка PR. Подставив эти значения в предыдущую формулу, получим результат, близкий к выражению, которое вывел Марсел Миннарт:
где для пузырька воздуха γ = 7/5. Поверхностное натяжение σ в эту формулу не вошло: его роль становится существенной лишь в случае достаточно малых пузырьков.
Эти наблюдения, сделанные в результате произнесения авторами многочисленных тостов, тем не менее остаются эмпирическими. Эксперименты, проведенные в Университете Париж VII, позволили более точно изучить распространение звука в газированной жидкости. Исследователи, очевидно, использовали для своих экспериментов не шампанское, а содержащую пузырьки воздуха воду. Они обнаружили, что достаточно даже низкой концентрации воздушных пузырьков (порядка одного пузырька диаметром в миллиметр на кубический сантиметр жидкости), чтобы снизить скорость звука в несколько раз (порядка 10) и существенно смягчить слышимый звук. Влияние наличия пузырьков на скорость звука легко выяснить: последняя определяется комбинацией где χ – сжимаемость (адиабатическая) среды, а ρ – ее плотность. Наличие небольшого количества пузырьков мало влияет на плотность жидкости (в рассмотренном выше случае – шампанского), в то время как сжимаемость, крайне низкая при отсутствии пузырьков, с их добавлением заметно увеличивается. Что же касается затухания звука в слышимом диапазоне, то это явление во многом связано с резонансом отдельных пузырей в жидкости. Ниже мы рассмотрим это явление подробнее.
3. Пузырьки спонтанно образуются в бокале шампанского (см. главу 14, «Пузырьки шампанского»). Их средний диаметр составляет около 0,5 мм. Из-за их наличия звон бокала оказывается более приглушенным
Музыкальные пузырьки
Как мы уже выяснили, пузырьки в жидкости рассеивают звуковые волны, однако при этом они и сами способны издавать звук! Бормотание ручья, большая часть создаваемого потоком шума и песнь закипающей воды (см. главу 15, «Пение кипящей воды») порождаются именно ими. Чтобы понять это, рассмотрим пузырек диаметром в несколько миллиметров, образующийся при впрыскивании воздуха в большой объем воды. Оторвавшись от трубки, пузырь некоторое время колеблется, тем самым создавая вокруг себя звуковые волны. Основная частота колебаний называется частотой Миннарта, в честь бельгийского ученого Марсела Миннарта (1893–1970), указавшего на музыкальные способности пузырьков еще в 1933 году. Для пузырьков воздуха в воде радиусом в несколько миллиметров при атмосферном давлении эта частота принадлежит к слышимому диапазону звуков и составляет нескольких килогерц (см. врезку выше).