Странный квантовый мир
В заключительной части, дорогой читатель, нам предстоит путешествие в удивительный, недоступный непосвященным мир. Мир, обычно открытый лишь тем, кого не пугают самые сложные уравнения и самые необычные математические методы.
Просим вас запастись терпением и довериться нам, как когда-то Данте доверился своему проводнику во время путешествия в Ад.
Не пытайтесь сразу разобраться во всем, потому что тайны квантового мира, как и закоулки Дантова Ада, бесчисленны и еще ждут своих исследователей. Скорее всего, некоторые из них до конца не поняты и вашими проводниками…
Глава 22
Нельзя точно измерить одновременно и положение, и скорость частицы. Этот «принцип неопределенности» противоречит здравому смыслу. Тем не менее он лежит в основе квантовой физики, которая описывает мир в масштабе нанометров.
1900 год, знаменующий начало XX века, является еще и датой возникновения квантовой механики. Именно тогда Макс Планк нашел решение задачи, поставленной Густавом Кирхгофом четырьмя десятилетиями ранее (см. главу 7, «Формула Планка»). Решение Планка основывалось на предположении, что энергия физической системы квантуется, то есть, например, если монохроматический свет частотой υ заключен в зеркальной камере, то его энергия обязательно окажется кратной одному «кванту» энергии, равному hυ, где h – постоянная Планка. Сперва эта гипотеза казалась относительно невинной. Однако спустя тридцать лет выяснилось, что она бросает вызов детерминистическому пониманию физики…
Принцип неопределенности
В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг сформулировал следующий принцип, называемый принципом неопределенности. Рассмотрим частицу массой m, которая движется по оси Ox со скоростью v. Если нам удастся измерить ее скорость с точностью Δv, то ее положение x оказывается невозможным определить с точностью Δx более высокой, чем ħ/(mΔv), где ħ = 1,054⋅10–34 Дж⋅с[26]. Иными словами, mΔxΔv ≥ ħ. Это утверждение можно распространить и на движение частицы, перемещающейся в трехмерном пространстве. Вместо того чтобы рассуждать о ее скорости v→, часто вводят импульс p→ = mv→. В этом случае соотношение неопределенности записывают следующим образом:
ΔxΔpx ≥ ħ. (1)
Аналогично оно записывается и для двух других составляющих вектора импульса и координат.
Это неравенство удивительно. Законы Ньютона, о которых мы говорили в главе 4, врезке «Ньютоновская механика», позволяют, исходя из начальных условий, очень точно определить положение и скорость объекта в любой момент времени. В физике Ньютона, так называемой классической механике, нет места для неопределенности. Но этот детерминизм, свойственный макроскопическому миру, перестает действовать в атомном масштабе. Объясним, почему это происходит.
Для начала приведем иллюстрацию соотношений неопределенности. Направим поток частиц (например, электронов или нейтронов) на стенку, в которой есть отверстие диаметром Δx (илл. 1). Некоторые из них пролетят через отверстие. В момент прохождения их положение определяется в плоскости стенки с точностью Δx. При этом параллельные этой плоскости составляющие их скорости могут быть известны только с некоторой неопределенностью, обратно пропорциональной Δx. Даже если скорость какой-то частицы при подлете строго перпендикулярна стенке, то после прохода через отверстие скорости всех прошедших частиц распределятся внутри некоторого телесного угла. Таким образом, здесь мы сталкиваемся с тем же явлением дифракции, что и в случае световых лучей, проходящих через узкую щель (см. главу 4, илл. 6).
1. Если частица проходит через отверстие или щель ширины Δx, то ее положение в направлении x известно с точностью Δx. Согласно найденному Гейзенбергом неравенству, ее импульс в этом направлении может быть известен только с некоторой точностью Δpx. Если частица является частью пучка, с импульсом pz вдоль оси Oz, то прохождение пучка через щель вызывает его расхождение под углом, определяемым отношением Δpx/pz
Неопределенность и измерение
Согласно толкованию Гейзенберга (илл. 2, слева), квантовый индетерминизм является результатом взаимодействия наблюдаемой частицы с измерительным прибором. Вот как он рассуждал.
Предположим, мы хотим проанализировать движение электрона. Как это сделать? Невооруженный глаз, очевидно, не обладает достаточным разрешением, а что насчет микроскопа? Разрешение микроскопа определяется диапазоном длин волн λ наблюдаемого излучения. Для света они составляют порядка 100 нм (то есть 100 миллиардных частей метра), частицы меньшего размера не будут видны. Поэтому с помощью микроскопа невозможно увидеть атомы, размер которых составляет порядка 0,1 нм, и тем более – обнаружить электроны. Предположим, однако, что нам удалось сделать микроскоп с использованием электромагнитного излучения более короткой длины волны: рентгеновского или даже γ-излучения, длина волны которого составляет менее 0,01 нм (см. главу 3, «Цветовое зрение»). Стало бы такое изобретение идеальным инструментом для точного измерения положения и скорости электрона?
Прежде чем праздновать победу, пристальнее рассмотрим наш воображаемый опыт. Для того чтобы получить информацию о положении электрона, необходимо использовать как минимум один квант электромагнитного излучения. Энергия E такого кванта равна hc/λ, где c – скорость света в вакууме. Чем короче длина волны, тем бо́льшую энергию несет квант. Однако импульс кванта пропорционален этой энергии, и при столкновении с электроном квант неизбежно передает ему часть своего импульса. По этой причине любое измерение положения, тем более для рентгеновского или γ-излучения, вносит неопределенность в величину импульса электрона. Точный анализ процесса показывает, что произведение неопределенностей в становлении положения электрона и измерении его импульса не может быть меньше постоянной Планка… Это возвращает нас к принципу Гейзенберга.
Можно предположить, что это рассуждение относится только к конкретному случаю или что метод измерения неверен. Ничего подобного. Самые выдающиеся ученые (в частности, как будет рассказано далее, Альберт Эйнштейн) пытались придумать мысленные эксперименты, которые могли бы позволить определить положение и импульс тела с большей точностью, чем предписано соотношениями неопределенности. Ни одна из этих попыток успехом не увенчалась. Принцип неопределенности – это закон природы, фундаментальный закон. Не следует думать, что эта неопределенность всегда связана с погрешностями измерения: многочисленные экспериментально установленные факты показывают, что она имеет фундаментальную природу, и что соотношение неопределенностей соблюдается даже при использовании самых точных измерительных устройств.
2. Вернер Гейзенберг (1901–1976) (слева) и Нильс Бор (1885–1962) (справа). Эти два создателя квантового индетерминизма были хорошими друзьями вплоть до Второй мировой войны. В 1941 году Гейзенберг навестил Бора, который вскоре бежал в США. Английский писатель Майкл Фрейн описал эту встречу в знаменитой пьесе «Копенгаген», поставленной в Лондоне в 1998 году
Детерминированный и квантовый миры
Кажется, что принцип неопределенности противоречит природе. До какой степени соотношения неопределенности опровергают наши детерминистические представления? Для объекта массой m принцип Гейзенберга выглядит как ΔxΔvx ≥ ħ/m. Для шара для игры в петанк массой 0,7 кг предел произведения ΔxΔvx немного превышает 10–34 м2⋅с–1, что очень близко к нулю. Если его положение известно с высокой точностью, например Δx = 10–10 м (близко к размеру атома!), то минимальная неопределенность Δvx для скорости остается крайне низкой – от 0,03 нм в час. Поэтому макроскопический мир, сообразно нашим представлениям, несмотря на соотношение Гейзенберга, остается практически детерминистическим.
А с какого же размера квантовые эффекты становятся существенными? Пойдем дальше по направлению к наномиру и рассмотрим броуновское движение мельчайших частиц в жидкости (см. врезку выше). Рассмотрим броуновскую частицу массой около 10–13 кг и диаметром примерно 1 мкм. Соотношение неопределенностей говорит нам, что произведение ΔxΔvx должно превышать величину ħ/m, в рассматриваемом случае составляющую примерно 10–21 м2⋅с–1. Если мы хотим знать положение броуновской частицы с точностью до 1 % от ее размера, то неопределенность в измерении ее скорости Δvx не может превышать 10–13 м⋅с–1, что по-прежнему очень мало. В самом деле, скорость движения броуновской частицы составляет примерно[27] 10–6 м⋅с– 1, что превышает найденную погрешность Δvx более чем в миллион раз! Таким образом, даже мелкие частицы броуновского движения правильно описаны классической механикой. Таким образом, соотношение неопределенности становится существенным только для частиц значительно меньших броуновской. Так, оно становится крайне важным для электрона. Важным настолько, что, как будет показано далее, на его основании оказывается возможным оценить размер атома.
Взвешенные в жидкости мельчайшие частицы находятся в беспорядочном движении, которое называется броуновским. Это явление было обнаружено шотландским ботаником Робертом Броуном в 1827 году. Наблюдая под микроскопом за поведением зерен пыльцы, он заметил, что эти мелкие частицы (около одного или двух микрометров в диаметре) двигаются в жидкости случайным образом (см. илл.).
Их хаотичное движение объясняется ударами, испытываемыми частицами со стороны молекул жидкости. Броуновское движение – своего рода обращение, направленное молекулами человеку XIX века: «Вы нас не видите, но мы здесь!» Это сообщение было расшифровано французскими физиками, в частности Луи Жоржем Гуи (1854–1926), лишь в конце XIX века. К тому времени уже стало известно, что молекулы при повышении температуры движутся быстрее. Фактически температура является мерой кинетической энергии молекул. В броуновском движении часть этой кинетической энергии передается мелким частицам, что и приводит к их движению, которое впервые и обнаружил Роберт Броун.
Погруженная в жидкость частица движется хаотично
Рассмотрим атом самого простого элемента, водорода, который состоит из протона и электрона. Первое по существу верное описание атома водорода привел британский физик Эрнест Резерфорд (1871–1937). Он выяснил, что электрон, обладающий отрицательным зарядом – e, и протон, несущий заряд такой же по величине, но противоположный по знаку, удерживаются вместе благодаря электростатическому взаимодействию. При этом электрон вращается вокруг протона подобно тому, как Земля вращается вокруг Солнца. Заметим, что в таком описании вращающийся электрон представляет собой циркулярный электрический ток. Однако любой замкнутый контур, по которому проходит ток, подобно антенне испускает электромагнитное излучение. В результате, согласно описанию Резерфорда, электрон должен был бы терять энергию… и в конечном итоге «упасть» на протон (илл. 3)! Но мы знаем, что он не падает – атом водорода стабилен. Чтобы дать объяснение этому факту, необходимо было ввести некий новый физический принцип, который выходил бы за рамки ньютоновской физики. Им стал принцип неопределенности Гейзенберга.
3. В классической физике атом Резерфорда был бы нестабилен: электрон в конце концов упал бы на ядро
В соответствии с этим принципом бедный электрон должен вращаться в области пространства некоторого размера с плохо определенной, но не равной нулю скоростью. И из этих смутных соображений мы собираемся оценить размер атома!
Пусть v и 2R суть скорость электрона и диаметр сферы, в пределах которой он движется. Согласно формуле (1), 2mRv>ħ. Следовательно, кинетическая энергия электрона, равная mv2/2, не может быть меньше чем ħ2/(8mR2). Добавляя электростатическую энергию его взаимодействия с протоном, находим неравенство для полной энергии электрона W:
где элементарный заряд e равен 1,6∙10–19 Кл, а εo – диэлектрическая проницаемость вакуума, константа, равная 8,85∙10–12 Ф∙м–1.
Энергия W атома не может стать ниже минимума этого выражения, который, как легко понять, реализуется при R = R0, где
Равновесное состояние механической системы соответствует минимуму ее потенциальной энергии (см. главу 11, «Струны и резонатор»). Радиус атома R не может сильно превышать величину R0, потому что потенциальная энергия электрона при этом была бы слишком высока; но он не может быть и намного меньше R0, потому что тогда кинетическая энергия была бы слишком велика, а полная энергия должна сохраняться. Именно поэтому электрон и не падает на ядро! Выражение (3) дает нам представление о размере атома водорода – это примерно 1 ангстрем (десятая часть нанометра).
Пребывая в своем основном состоянии (минимума полной энергии), атом терять энергию не может. Однако он может ее получать, переходя при этом в то или иное «возбужденное» состояние. При этом бесконечно долго возбужденным он не остается – через некоторое время, излучая свет, атом возвращается в свое основное состояние. Этот свет соответствует излучению точно определенных частот, то есть спектр излучения атома является «линейчатым» (см. главу 7, «От спектров атомов до спектра абсолютно черного тела»). Частоты спектральных линий образуют так называемое дискретное множество, то есть их можно пронумеровать, например, в зависимости от интенсивности каждой из них. Чтобы объяснить происхождение такого линейчатого спектра, разумно предположить, что значения, которые может принимать энергия данного атома, также составляют дискретное множество. Поскольку свет может излучаться только в виде фотонов (см. главу 7, «От спектров атомов до спектра абсолютно черного тела»), то закон сохранения энергии требует, чтобы энергия hυ каждого фотона была равна разности между двумя допустимыми значениями энергии атома (илл. 4). Таким образом, дискретный вид спектра излучения объясняется, по крайней мере, качественно. Остается выяснить, почему значения энергии атома составляют дискретное множество.
В начале XX века вопрос о природе атома – мельчайшей частицы вещества, являющейся носителем его свойств, – был одним из центральных в физике. Предлагаемые модели, будучи внутренне противоречивыми или не соответствующими эксперименту, одна за другой опровергались. И вот в 1913 году датский физик Нильс Бор (илл. 2, справа) предложил математически простую теорию атома, объясняющую существующие экспериментальные данные, однако основанную на столь необычных допущениях, что он сам назвал их постулатами.
4. Энергетическая диаграмма атома водорода. Атом переходит из основного состояния в возбужденное путем поглощения фотона, энергия которого ΔE = hυ соответствует разнице между двумя энергетическими уровнями атома. Энергия выражается в электронвольтах (1 эВ = 1,6•10–19 Дж)
Атом по Нильсу Бору
Нильс Бор, предлагая свою модель атома, ничего не знал о принципе неопределенности, до открытия которого оставалось еще 14 лет. В модели Бора, как и в модели Резерфорда, электрон вращается вокруг ядра, подобно тому как Земля вращается вокруг Солнца, однако при этом электрон может двигаться только по определенным орбитам (илл. 5). Например, круговые орбиты возможны только в том случае, когда произведение импульса mv электрона на радиус его орбиты R (это произведение называют «моментом импульса») является кратным постоянной Планка:
mvR = nħ. (4)
5. Атом водорода в представлении Резерфорда и Бора в начале XX века
Однако импульс электрона и радиус орбиты связаны также и тем обстоятельством, что действующая на электрон центробежная сила (см. главу 4, «Еще одна фиктивная сила: центробежная»), равная mv2/R, должна компенсировать силу электростатического притяжения. Для атома водорода, ядро которого состоит из протона, последняя равна – e2/(4πεoR). Отсюда уже можно найти радиусы Rn–1 разрешенных орбит для каждого значения n. Так, для n = 1 находим уже знакомое нам значение R0, которое соответствует основному состоянию. Предоставим читателю самому вывести общую формулу, применимую к возбужденным состояниям электрона.
Модель Бора, разработанная в 1913 году, довольно хорошо описывала спектры излучения атомов (илл. 6), однако вскоре выявились и ее недостатки. Спустя десять лет теория Бора была концептуально расширена введением вероятностного описания нахождения электрона. Так оказалось, что значение R0 (расстояние от электрона до ядра) в атоме водорода может считаться лишь некоей усредненной величиной; принцип неопределенности не позволяет четко определить расстояние между протоном и электроном.
6. Модель Бора позволяет объяснить спектр излучения атома водорода в видимой области. Линии, расположенные вблизи длин волн излучения в 410, 434, 486 и 656 нм, соответствуют переходам на уровень, соответствующий n = 2 из возбужденных состояний n = 6, 5, 4 и 3 (см. илл. 4)
Вероятность нахождения
Предположим, что в какой-то момент нам удалось установить положение электрона. Можно ли предсказать его положение через секунду? Нет, поскольку знание положения электрона неизбежно привело бы к полной неопределенности его скорости. Ни один прибор, ни одна теория не смогли бы предсказать, куда направится электрон. Так что же делать?
Сменим стратегию и отметим точку пространства, в которой обнаружен электрон, затем еще одну точку – результат аналогичного измерения с другим электроном, и многократно повторим эту процедуру. Хоть и невозможно предсказать, где появится следующая отметка, все же их распределение следует некоему правилу. Плотность отметок, которая варьирует в зависимости от точки пространства, указывает на вероятность нахождения электрона во время измерения. Мы были вынуждены отказаться от описания движения электрона, но можем теперь определить вероятность его нахождения в каждой точке пространства. Поведение электрона в наномире характеризуется вероятностью!
Читатель, не знакомый с этой концепцией, не может оценить роль случайности в законах природы. Эйнштейн, являясь одним из основателей квантовой физики (илл. 7), был потрясен предложенной концепцией квантового индетерминизма. Убежденный детерминист, он однажды написал Максу Борну: «Бог не играет в кости»[28]. Тем не менее, как вы увидите, такая вероятностная теория подтверждается серьезными экспериментальными доказательствами.
7. Знаменитый Сольвеевский конгресс 1927 года собрал почти всех основателей квантовой механики. Семнадцать присутствующих ученых были удостоены Нобелевской премии! Первый ряд, слева направо: И. Ленгмюр, М. Планк, М. Кюри, Х. Лоренц, А. Эйнштейн, П. Ланжевен, Ш. Гюи, Ч. Вильсон и О. Ричардсон. Второй ряд: П. Дебай, М. Кнудсен, У. Брэгг, Х. Крамерс, П. Дирак, А. Комптон, Л. де Бройль, М. Борн, Н. Бор. Третий ряд: О. Пикар, Э. Анрио, П. Эренфест, Э. Герцен, Т. де Дондер, Э. Шрёдингер, Ж. Э. Вершафельт, В. Паули, В. Гейзенберг, Р. Фаулер, Л. Бриллюэн
Таким образом, в наномире нахождение электрона определяется законами вероятности. Расставленные нами отметки в совокупности напоминают облако, так же как капельки воды образуют в небе облака различной плотности. Такое «электронное облако» является более точным представлением об электроне, чем маленькая планета, вращающаяся вокруг ядра, как его изображал Резерфорд.
Волна де Бройля и уравнение Шрёдингера
Что же определяет структуру электронных облаков? Существует ли уравнение, которое описывает квантовую механику так же, как классическую механику описывают законы Ньютона (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»)? Да, такое уравнение существует. Оно было предложено в 1925 году австрийским физиком Эрвином Шрёдингером (1887–1961) и является основой атомной физики и теоретической химии.
Теория Шрёдингера обобщила предложенную годом ранее французом Луи де Бройлем (1892–1987) революционную идею, которая состояла в том, что с любой частицей, обладающей импульсом p, можно связать волну длиной λ = h/p. Таким образом, любая частица может проявлять как корпускулярное поведение, так и волновое, как это делает свет (см. главу 3, «Интерференция и когерентность»). Подобно предложенной Джеймсом Максвеллом (1831–1879) волновой теории света, где электрическое поле E (x, y, z, t) является функцией времени и трех пространственных координат, уравнение Шрёдингера описывает состояние частицы с помощью «волновой функции» ψ (x, y, z, t), квадрат модуля которой определяет плотность вероятности нахождения частицы в заданный момент времени t в точке (x, y, z). Этот подход был основан на аналогии с оптикой, где квадрат модуля электрического поля определяет вероятность нахождения фотона в данной точке. Различие же заключается в том, что электрическое поле является физически измеримым, например, по его действию на электрически заряженные объекты, тогда как введенная де Бройлем «волновая функция» ясного физического смысла не имела.
Дифракция электронов редко используется для изучения кристаллов, потому что электроны поглощаются материей куда сильнее, чем рентгеновские лучи (см. главу 9, «Дифракция рентгеновских лучей на кристаллах»). Гораздо больший интерес в этом аспекте представляет собой еще одна элементарная частица – нейтрон! Если речь идет о наблюдении легких атомов или изучении атомных магнитных свойств, то дифракция нейтронов оказывается предпочтительнее рентгеновских лучей. Последняя позволяет составлять карты электронной плотности, в то время как поляризованные нейтроны дают возможность исследовать не все, а лишь электроны, находящиеся на внешних оболочках атома, – именно те, которые определяют его химические и магнитные свойства (см. главу 23, «Метаморфозы углерода»). Недостатком этого метода является то, что для производства нейтронов требуются дорогие и громоздкие ядерные реакторы (см. илл.), в то время как рентгеновской установкой легко оснастить даже скромную лабораторию.
Реактор в Институте Лауэ – Ланжевена в Гренобле. Нейтроны образуются в результате протекающих ядерных реакций (см. главу 13, илл. 3) и используются для спектрометрических исследований конденсированных сред. Активная зона реактора, помещенная в резервуар с тяжелой водой, погружена в бассейн, который поглощает испускаемое излучение. Голубоватый свет, освещающий бассейн, обусловлен эффектом Вавилова – Черенкова. Работа реактора управляется с помощью специальных стержней, поглощающих нейтроны, которые могут извлекаться в зависимости от количества оставшегося урана
С помощью уравнения Шрёдингера оказалось возможным найти пространственное распределение плотности вероятности электрона для его возможных состояний в атоме водорода. Изобразив эти распределения плотности вероятности на плоскости разными цветами, получают изображение различных атомных орбиталей (областей, в которых вероятность нахождения электрона наиболее высока). Такие изображения заменяют электронные орбиты модели атома Бора (илл. 5) и наглядно представляют поведение электронов в атоме. Основанные на уравнении Шрёдингера расчеты объясняют существование дискретных уровней энергии, которые и являются причиной линейчатых спектров, наблюдаемых при излучении и поглощении света. Подобные, но более сложные вычисления позволяют понять, как между атомами образуются химические связи.
Заметим, что работы де Бройля и Шрёдингера предшествовали открытию Гейзенбергом принципа неопределенности. Последний прост, краток, элегантен, однако содержит меньше информации, чем уравнение Шрёдингера.
Предложенная де Бройлем концепция связи между волнами и частицами, так называемый корпускулярно-волновой дуализм, привела к идее применения оптических методов исследования с заменой света на потоки частиц. Так, в 1927 году американские физики Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер бомбардировали электронами кристалл никеля. В результате они получили дифрактограммы, подобные возникающим при облучении кристаллов рентгеновскими лучами (см. врезку). Для интерпретации полученных дифракционных картин электронам следовало приписать определенную длину волны, и она совпадала с величиной, предсказанной де Бройлем. Таким образом, эксперимент блестяще подтвердил его гипотезу.
Нулевые колебания атомов
Принцип неопределенности позволяет получить интересную информацию о движении атомов в твердых телах. Под твердыми телами здесь мы будем подразумевать кристаллы (см. главу 9), поскольку при низких температурах кристаллическая структура является устойчивой формой существования почти всех чистых веществ. Атомы в кристалле не являются неподвижными: они колеблются вокруг положения равновесия. Амплитуда этих колебаний очень мала: расстояние между двумя соседними атомами всегда остается близким к своему среднему значению, которое составляет около нескольких десятых нанометра. Как правило, эти колебания обусловлены тепловым движением: чем температура выше, тем больше амплитуда колебаний (см. главу 22, врезку «Броуновское движение»). Что же происходит, когда температура опускается до абсолютного нуля (0 К, то есть –273,15 °C)? Можно предположить, что колебания прекращаются и атомы замирают. Однако в этом случае их положение было бы точно фиксировано, в то время как скорость была бы равна нулю, то есть Δx = Δp = 0, что нарушило бы соотношение неопределенности (1) (см. главу 22). Отсюда следует, что движение атомов прекратиться не может даже при абсолютном нуле температур: в этом случае тепловые колебания сменяются на «нулевые колебания».
Попробуем разобраться в этом подробнее на примере простого кристалла, состоящего из атомов лишь одного сорта (например, водорода, кислорода, железа). Упрощенное, но качественно приемлемое описание движения атома в кристалле относительно его соседей можно получить, предполагая, что при отклонении от положения равновесия на него действует возвращающая сила, пропорциональная расстоянию, так как если бы его удерживала пружина. В таком случае движение атома относительно положения равновесия описывается формулой x (t) = x0 cos (ωt – α), где x0 – максимальная амплитуда колебаний (для двух других координат формулы аналогичны). При этом скорость атома vx (t) = –ωx0 sin (ωt – α). Соотношение неопределенности требует, чтобы ΔxΔv ≥ ħ/m, и, следовательно, ωx02 было не менее ħ/m, где m – масса атома. Частота ω для большинства веществ лежит в диапазоне между 1013 и 1014 Гц (характерную частоту колебаний атома в твердых телах называют частотой Дебая). Заменяя массу m на Amn, где A – массовое число (см. главу 13, врезку «Элементы ядерной физики»), а mn – средняя масса нуклона (около 1,67⋅10–27 кг), получим, что x0 в метрах должна составлять не менее Это условие устанавливает верхнюю границу для амплитуды нулевых колебаний в 1/100 нм, которая, как правило, мала в сравнении с равновесным расстоянием между соседними атомами. Поэтому нет оснований полагать, что нулевые колебания в твердых телах разрушают его устойчивость.
Сомнения могут оставаться только для наименьших значений A, то есть для водорода (A = 1) и гелия (A = 4). Оказывается, что только гелий (He) является исключением из правила: если давление не превышает 2,5 Мпа, то нулевые колебания действительно делают его кристаллическое состояние неустойчивым при любых температурах. Все остальные простые тела, включая водород H2, при приближении температуры к абсолютному нулю рано или поздно затвердевают при любом давлении.
Мы уже видели, что согласно квантовой механике ни в какой момент времени невозможно установить точные значения положения r→ и скорости v→ электрона, вращающегося вокруг ядра. Еще более необычными оказываются свойства его магнитного момента.
Магнитный момент – это векторная величина, характеризующая свойство определенных объектов ориентироваться в магнитном поле. Например, стрелка компаса располагается по магнитному полю Земли, указывая направление на Северный магнитный полюс. Многие из элементарных частиц и объектов атомного масштаба также обладают магнитным моментом: электрон, нейтрон, протон, а также бо́льшая часть ядер, атомов и ионов.
Пространственные составляющие магнитного момента обозначаются как µx, µy, µz. Когда стрелка компаса сориентирована в определенном направлении, то четко определены и все три составляющие ее магнитного момента. В отличие от компаса, электрон или нейтрон являются объектами, принадлежащими к квантовому миру. Для них может быть измерена только одна из трех составляющих магнитного момента, при этом она способна принимать только два противоположных значения: –µ или +µ. Это, казалось бы, парадоксальное утверждение было подтверждено экспериментально: первыми опытные данные, говорящие в пользу квантования магнитного момента представителей квантового мира, еще в 1922 году получили Отто Штерн и Вальтер Герлах. В своих экспериментах они направляли пучок атомов серебра (которые благодаря электронам внешней оболочки обладают магнитным моментом) сквозь неоднородное магнитное поле. В результате было обнаружено, что этот пучок разделяется строго пополам, что и доказывает квантование магнитного момента всего на два дискретных значения (илл. 8). Действительно, если бы магнитный момент мог принимать хотя бы три значения, то и пучок делился бы натрое, а если бы магнитный момент атомов серебра мог меняться непрерывно, то и пучок просто расходился бы в конус.
Еще несколько слов о пучке атомов серебра. Выберем ось x вдоль направления магнитного поля. Тогда существует такое состояние атома серебра, в котором µx = –µ, и другое, в котором µx = +µ. Существует также состояние, при котором µy = µ. Что произойдет, если частица находится в этом состоянии и измеряется компонент µx? Измерение с равной вероятностью даст µx = –µ или µx = +µ. Таким образом, среднее значение всех измерений µx, которые можно произвести в состоянии µy = µ, равно нулю. То же самое относится к среднему значению всех измерений µx в состоянии µy = –µ. Чтобы принять в расчет эти свойства, в квантовой механике считается, что состояние µy = µ является «соединением» состояний µx = –µ и µx = µ.
Если частица находится в состоянии с µx = µ, магнитный момент получится ±µ с той же вероятностью, и поэтому среднее значение большого числа мер будет равно нулю. Это то же самое из средних измерений, которые можно выполнить с магнитным моментом в состоянии µx = –µ. Чтобы понять значение этого свойства в рамках квантовой механики, утверждается, что состояние µy = µ на самом деле представляет собой смесь состояний, имеющих µx = + µ и µx = –µ.
Результат, предсказываемый классической физикой: непрерывная линия.
8. Принцип опыта Штерна – Герлаха. Атомы серебра проходят через вертикально направленное неоднородное магнитное поле. Согласно классической физике, пучок частиц с непрерывным распределением магнитного момента должен расходиться конусом. Опыт же показывает, что он делится на две компоненты
Концепция «смешения состояний» очень хорошо описывает реальность в масштабе атомного мира. Интересно попробовать распространить ее действие на мир макроскопический. Один из примеров привел Шрёдингер. Он заметил, что, подобно тому как магнитный момент в рамках квантовой механики может принимать два различных значения, так и обычный кот при расширении последней до масштаба комнаты может находиться в двух состояниях: быть и живым и мертвым одновременно (илл. 9)! Если мы открываем дверь в комнату, мы с равной вероятностью 1/2 можем обнаружить как мертвого, так и живого кота, но пока дверь закрыта, кот одновременно и жив и мертв (см. врезку).
9. В мысленном эксперименте Шрёдингер представил себе кота, запертого в герметичной коробке. Устройство, принцип действия которого основан на случайном распаде радиоактивного атома, может разбить колбочку с ядом. По истечении заданного времени вероятность распада атома составляет 1/2. До тех пор пока наблюдатель не откроет коробку, квантовая механика утверждает, что атом одновременно и распался и не распался, следовательно, и кот теоретически и жив и мертв
«Это же абсурдно! – может решить читатель. – На самом деле кот либо жив, либо мертв и до открытия двери, неважно, знаем ли мы его состояние». Такое понимание рассматриваемой ситуации базируется на иной, некогда существовавшей интерпретации квантовой механики, основанной на понятии скрытого параметра. Согласно этой концепции, описание мира является детерминистичным, однако некоторые параметры, необходимые для его реализации, оказываются нам недоступными. Современная наука опровергает эту концепцию. Но все же индетерминизм квантовой физики порождает парадоксы, которые интуитивно сложно принять. Опишем один из них.
Сомнения в детерминизме физики микромира стали появляться еще с 1924 года, когда Луи де Бройль предложил идею корпускулярно-волнового дуализма, а три года спустя Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер доказали ее опытным путем. В результате этих открытий Нильс Бор и Вернер Гейзенберг пришли к выводам, ниспровергающим классические представления о детерминизме в применении к квантовому миру, а Эрвин Шрёдингер придумал шутку об одновременно живом и мертвом коте. В 2015 году коту Шрёдингера исполнилось 80 лет! Тем не менее, старея, он становится все более живым. Совсем недавно благодаря усилиям ученых он материализовался из области абстрактных рассуждений и стал реальностью. Конечно, это не настоящий кот, а крошечный объект, который только в шутку называют «котом Шрёдингера». Под этим названием сегодня подразумевают любой относительно макроскопический объект, приведенный в состояние квантовой суперпозиции. Этот котенок (представляющий собой лишь несколько атомов) косвенно стал одним из лауреатов Нобелевской премии по физике, присужденной в 2012 году Сержу Арошу и Дэвиду Вайнленду.
Парадокс Эйнштейна – Подольского – Розена (ЭПР-парадокс)
В 1935 году Эйнштейн и его коллеги Борис Подольский и Натан Розен предложили парадокс, который впоследствии стал темой для многих научных работ (некоторые публикуются и в наши дни). Они рассмотрели ситуацию, которую сегодня называют квантовой «запутанностью» (по-английски – entanglement). Здесь задействован уже не один объект, как в парадоксе Шрёдингера, а два. Например, возьмем кота и собаку, хотя оригинальная формулировка парадокса их и не предполагала. Предположим, что одно из животных мертво (какое – неизвестно), а другое живо. Состояние, в котором жив кот, а собака мертва, обозначим |+−>, а состояние, в котором кот мертв, а собака жива, запишем как |−+>. В случае если эти два состояния смешаны, говорят, что они запутаны. Запутанное состояние представлено обозначением Пока кот и собака находятся в двух отдельных закрытых камерах (звуконепроницаемых и т. д.), неясно, кто из них жив, а кто мертв. Но если мы откроем камеру с котом и обнаружим его мертвым, то узнаем, что собака жива, а если мы обнаружим живого кота, будем знать, что мертва собака: оба наблюдения коррелируют. Отметим, что эта корреляция сохраняется при разделении животных, в двух камерах, расположенных и на расстоянии 1000 км друг от друга. Чтобы узнать, жива ли собака, находящаяся за 1000 км, достаточно открыть камеру с котом. Таким образом, мы получаем информацию мгновенно, хотя никакой сигнал не может распространяться быстрее скорости света! Можно даже подумать, что открытие камеры с котом, которого мы обнаружим живым, мгновенно, на расстоянии, вызовет смерть собаки, которая до сих пор была только «полумертвой». Конечно, невозможно предугадать исход открытия камеры, потому что мы найдем кота живым или мертвым с одной и той же вероятностью 1/2, равно как и собаку; однако мы понимаем, что Эйнштейн, Подольский и Розен были озадачены. В конце статьи они высказали мнение о необходимости разработки новой квантовой механики. Она могла бы быть основана на предположении о существовании скрытых параметров, то есть параметров, недоступных для экспериментальной верификации и не входящих в теории Шрёдингера и Гейзенберга.
Неравенства Белла и опыты Аспе
ЭПР-парадокс оспаривали многие исследователи, в том числе и Бор. Другие выдающиеся ученые, в том числе Луи де Бройль и Дэвид Бом, подобно Эйнштейну, предпочли бы восстановить детерминизм. Дискуссия длилась долго и носила философский оттенок. В 1964 году Джон Белл смог сделать ее более конкретной и показал, что детерминистическая физика, даже со скрытым детерминизмом, должна включать в себя некоторые доступные измерению неравенства, которые противоречат обычной форме квантовой механики.
Неравенства Белла были проверены Аленом Аспе и его сотрудниками в Париже в 1982 году. Они воспроизвели ситуацию, аналогичную описанной в предыдущем параграфе. Очевидно, ученые использовали не кота и собаку, – поскольку, как мы уже показали, квантовая механика неприменима к макроскопическим объектам, – а фотоны, поляризация которых (то есть направление колебаний электрического поля) может иметь два взаимно ортогональных направления, подобно тому как кошка и собака могут находиться в двух равновероятных состояниях (живом и мертвом). Исследовали намеревались обнаружить корреляцию между поляризациями фотонов. И это лишь одна из многочисленных трудностей эксперимента. Другая сложность была связана с тем, что фотоны двигаются с огромной скоростью, а за время их перемещения следует успеть сделать очень многое. В конечном итоге опыты Аспе привели к выводу, что неравенства Белла не могут быть проверены на достоверность. Таким образом, квантовая механика, изложенная в учебниках, является правильной и не может быть заменена или дополнена теорией скрытых параметров. Опыт Аспе превратил мысленный эксперимент (Gedenkenexperiment, как говорят немцы) Эйнштейна, Подольского и Розена в эксперимент реальный.
Таким образом, ЭПР-парадокс приобрел свою реальную жизнь. Квантовая физика, а с ней и микроскопический мир парадоксальны.