Говорят, что мореплаватель Пифей из Массалии (нынешний Марсель) в IV веке до нашей эры уже подозревал, что основная причина приливов – Луна: он заметил, что ритм приливов соответствует ее обращению вокруг Земли. Сегодня известно, что это явление действительно обусловлено воздействием на водоемы гравитационных сил Луны и Солнца. В этой главе мы подробно опишем движение вод при приливах и отливах.
Прилив – впечатляющее явление. В некоторых местах, например на берегах Ла-Манша (илл. 1), порой прилив может оказаться опасным для тех, кто рискует отправиться на прогулку по океанскому пляжу.
Благодаря Ньютону (см. главу 4, «Ньютоновская механика») мы знаем, какой закон физики лежит в основе приливов: вскоре после открытия закона всемирного тяготения Ньютон показал, что приливы – одно из его проявлений. Луна притягивает воду океана, которая, таким образом, становится выпуклой. Эта выпуклость остается обращенной к Луне, в то время как Земля продолжает вращаться вокруг своей оси. Когда эта избыточная масса воды доходит до берега, начинается прилив. Затем, по мере дальнейшего движения Луны, ее влияние переносится на сушу, избыточный водный шлейф возвращается в океан – происходит отлив. Это описание, однако, не бесспорно. Первое возражение: Земля обращается вокруг себя за 24 часа, Луна почти не двигается в течение этого времени (ей требуется приблизительно 27 дней, чтобы совершить оборот вокруг Земли). Следовательно, можно ожидать одного прилива в день. Но их происходит два! Второе возражение: почему роль Луны в явлении прилива столь значительна, в то время как Земля с куда большей силой притягивается Солнцем?
Ответы на эти вопросы мы найдем, ознакомившись более подробно с явлением гравитации, законы которой также были открыты Ньютоном.
1. Скалы Этрета во время отлива и прилива. Амплитуда прилива (то есть разница высоты воды на одном и том же месте) здесь достигает порядка 10 м. Для сравнения: во внутреннем море, таком как Средиземное, амплитуда прилива составляет примерно 10 см
Ньютон – основатель современной физики
Легенда гласит, что Ньютон открыл закон всемирного тяготения, когда отдыхал под яблоней и увидел падающее яблоко (илл. 2). Это, сказал он себе, доказательство того, что Земля воздействует на яблоко некоей силой притяжения. Очевидно, подобная сила действует не только на яблоко, но и на все находящиеся рядом с Землей объекты. Но почему только рядом с Землей? Ньютона посетила гениальная догадка: притяжение должно быть универсальным и, следовательно, осуществляться также между Солнцем и планетами, и – более общо – между всеми обладающими массой объектами!
Падение яблока и движение планет объяснимы, если допустить, что два тела массой M и m, находящиеся на расстоянии D, притягивают друг друга (илл. 3) с силой, равной
где G – константа, называемая гравитационной постоянной. Согласно основному закону динамики (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»), плод под воздействием силы притяжения, с которой Земля действует на яблоко, падает на Землю с ускорением. Именно это, бросая камни с Пизанской башни, и наблюдал чуть ранее Галилей (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»). При этом ускорение яблока оказывается равным g = GMЗ/RЗ2, где MЗ – масса Земли, а RЗ – ее радиус. Этот радиус (около 6400 км) был известен со времен Античности, и ускорение свободного падения g (приблизительно равное 10 м/с2) было измерено экспериментально. Предполагая, что плотность Земли примерно одинакова, Ньютон смог оценить и порядок величины массы MЗ, а уже зная ее, – вычислить константу G.
Точное значение G, известное сегодня, составляет 6,674∙10–11 м3∙кг–1∙с–2. Оно невелико! Гравитационное притяжение между протоном и электроном незначительно по сравнению с электростатическим притяжением, которое также обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Для крупного же объекта, такого как Земля, сила притяжения достаточна, чтобы удерживать нас на поверхности планеты… и чтобы мы потирали ушибы, упав с дерева.
2. Ньютон за несколько секунд до открытия закона всемирного тяготения. Плод, ставший причиной несчастий Евы, помог Ньютону обрести бессмертие
Небо падает нам на голову
В отличие от яблока, Луна не падает на Землю, а Земля – на Солнце. Почему? Ведь закон всемирного тяготения работает также и в этих случаях. Чтобы понять причину, достаточно простого расчета, но, очевидно, этот парадокс казался невероятным многочисленным современникам Ньютона. Он остается немного удивительным и для нас; давайте вспомним, как он объясняется.
Если бы действие гравитационного притяжения Солнца на Землю внезапно прекратилось, то она, согласно принципу инерции (см. главу 4, врезку «Ньютоновская механика»), продолжила бы свой путь, равномерно удаляясь от Солнца по касательной к своей прежней орбите. Следовательно, именно притяжение Солнца не позволяет Земле удалиться от него, но этой силы недостаточно, чтобы заставить Землю на него «упасть». Эту ситуацию проще всего проанализировать с помощью понятия центробежной силы (см. главу 4, «Еще одна фиктивная сила: центробежная»), которая возникнет при применении основного принципа динамики к описанию движения тел во вращающейся системе. Если система вращается с угловой скоростью Ω вокруг неподвижного центра O, то центробежная сила, действующая на тело массой m на расстоянии D от центра, есть
F = mΩ2D.
Эта сила направлена по радиусу в направлении от центра круговой траектории. В случае Земли, вращающейся вокруг Солнца, центробежная сила F→2 точно компенсирует гравитационную силу F→1, с которой ее притягивает Солнце, и поэтому планета на него не падает. При этом Земля двигается вокруг Солнца по кругу радиусом DС с угловой скоростью
где MС – масса Солнца. На самом деле Земля описывает вокруг Солнца не окружность, а эллипс[3].
3. Закон гравитации. Два объекта A и B на расстоянии D притягивают друг друга с силой, пропорциональной 1/D2
4. Притяжение, осуществляемое небесным телом (Солнцем или Луной) на предмет на Земле. В центре Земли O гравитационная сила уравновешена центробежной силой. В точке A гравитационная сила больше, чем центробежная. В точке B гравитационная сила слабее центробежной. Равнодействующая F→ этих двух сил обозначена красной стрелкой. Таким образом, вода в океанах притягивается небесным телом в точке A, а отталкивается в точке B
Заметим, что эту же величину угловой скорости можно было бы найти и исходя из второго закона Ньютона, записанного для тела, движущегося под действием силы тяготения Солнца и в инерциальной системе отсчета. Однако вычисления в этом случае оказались бы значительно сложнее.
Закон всемирного тяготения, как заметил Ньютон, объясняет движение Земли вокруг Солнца и движение Луны вокруг Земли. Он показал, что этим законом объясняются и приливы.
Происхождение приливов
Для изучения приливов нужно учитывать взаимодействие между Землей, Луной и Солнцем, что требует чересчур сложных вычислений. Поэтому мы начнем с гипотетической ситуации, будто Луны не существует (чрезмерное допущение в случае приливов, но оно упростит объяснение), и рассмотрим Землю и Солнце как два отдельных тела.
Мы уже выяснили, что действующие на Землю центробежная и гравитационная силы уравновешивают друг друга. Это действительно так в центре Земли, но не на ее поверхности. В точке, наиболее близкой к Солнцу (точка A на илл. 4), расстояние D до Солнца наименьшее, следовательно, притяжение Солнца (пропорциональное 1/D2) сильнее, в то время как центробежная сила (пропорциональная D) слабее. Таким образом, равнодействующая сила направлена к Солнцу. Вода, находящаяся в точке A, притягивается к Солнцу – происходит прилив!
5. Фазы Луны. Для наблюдателя на Земле освещенная часть небесного тела зависит от его положения на орбите по отношению к Солнцу. От новолуния до следующего полнолуния проходит две недели
6. Во время полнолуния и новолуния силы Луны и Солнца накладываются друг на друга и приливы особенно сильны. Напротив, прилив смягчается во время первой и последней четверти
В точке, наиболее удаленной от Солнца (точка B), расстояние D до Солнца наибольшее, и его гравитационное притяжение оказывается слабее, в то время как центробежная сила оказывается большей, чем в точке А. Равнодействующая сила отбрасывает водные массивы от Солнца, и там тоже происходит прилив! Если бы Солнце было единственным небесным телом, вызывающим приливы, они происходили бы дважды в день: один в солнечный полдень, когда преобладает гравитационное притяжение, другой – в полночь, когда максимальна центробежная сила. В результате, если бы Земля была покрыта водой со всех сторон, она приняла бы форму удлиненного эллипсоида (как мы увидим, совсем немного удлиненного) или, как порой говорят, мяча для игры в регби (илл. 4). Удлинение вершин эллипсоида ограничено гравитационным притяжением водных масс самой Землей, которое, очевидно, сильнее, чем притяжение Луны и Солнца.
Данные для Земли, Луны и Солнца. Расчеты, приведенные в четвертом и пятом столбцах, позволяют сравнить удельные веса гравитационных сил, с которыми Солнце и Луна притягивают Землю, и действие этих небесных тел на приливы
Луна или Солнце – какое небесное тело сильнее влияет на приливы?
Чтобы упростить объяснение, ограничимся рассмотрением наиболее близкой к притягивающему небесному телу точки A (илл. 4) и наиболее удаленной от него точки B – таких, что в них обе силы F→1 (гравитационная) и F→2 (центробежная) лежат на прямой Земля – Солнце или Земля – Луна. В таком случае мы можем оперировать только их модулями и не учитывать направления векторов. Пусть M – масса небесного тела и D – расстояние до Земли. Вычислим силу, с которой небесное тело действует на тело массой δm в точке A или B. Между центром Земли O и точкой A или B расстояние до небесного тела претерпевает относительное изменение, равное RЗ/D, где RЗ – радиус Земли. Относительное изменение обеих сил F1 и F2 между точкой O и точкой A или B пропорционально этой величине. Итак, в точке O модули обеих сил равны GMδm/D2. Изменение этой величины при перемещении в точку A или B, следовательно, пропорционально GMδmRЗ/D3. Соответственно, пропорциональным GMδmRЗ/D3 оказывается и модуль равнодействующей силы F→ = F→1 + F→2, называемой приливной силой (силы в A и B направлены в противоположные стороны). Точное вычисление показывает, что коэффициент пропорциональности оказывается равным 3.
Соответственно, если небесное тело – Солнце, то результирующая сила в точках A или B будет равна GMСδmRЗ/DЛ3, а в случае Луны – GMЛδmRЗ/DЛ3. Из приведенной выше таблицы видно, что сила воздействия Луны на поверхности Земли примерно в два раза больше силы воздействия Солнца.
Напротив, сила гравитационного притяжения Земли Луной намного слабее притяжения Земли Солнцем, поскольку сила, осуществляемая массой M на расстоянии D, пропорциональна M/D2, а отношение MС/DС2 почти в 200 раз больше отношения MЛ/DЛ2 (см. таблицу). А что можно сказать о влиянии Солнца на движение Луны? Для этого надо сравнить MС/DС2 и MЗ/DЛ2, где MЗ – масса Земли. Это величины одного порядка (см. таблицу). Следовательно, воздействием Солнца на движение Луны пренебрегать нельзя[4].
Луна, жемчужина ночного неба, породила множество верований и суеверий. Мы знаем, что она действительно ответственна за приливы, а вот ее влияние на подъем сока в растениях или на наше настроение (а также на облик оборотней) представляется сомнительным
7. Последствие задержки приливов для движения Луны. Земля (З) и Луна (Л) рассматриваются наблюдателем, находящимся над Северным полюсом. Луна поворачивается в том же направлении, что и Земля, с меньшей угловой скоростью (приблизительно один оборот в месяц). Наземные приливы сдвинуты на угол φ (здесь преувеличенный) относительно движения Луны. Из-за этой задержки сила притяжения Луны Землей имеет малую составляющую f→, направленную перпендикулярно оси (ЛЗ), которая постепенно отдаляет Луну от Земли
Объяснение, приведенное для Солнца, действительно и для Луны: водные массивы, наиболее близкие к Луне, притягиваются ею, а наиболее удаленные – отталкиваются. Тогда какое небесное тело воздействует сильнее: Солнце или Луна? Чтобы ответить на этот вопрос, придется провести небольшой расчет (см. врезку). Из него следует, что сила, притягивающая воду в точке A, наиболее близкой к воздействующему небесному телу (Солнцу или Луне), пропорциональна M/D3, где M – масса этого небесного тела и D – расстояние до Земли. Итак, отношение MС/DС3 приблизительно в два раза меньше, чем MЛ/DЛ3. Значит, влияние Луны на приливы примерно в два раза сильнее, чем влияние Солнца! Так как Луна вращается вокруг Земли не очень быстро, за 24 часа происходит почти два прилива. Таким образом, из-за движения Луны между ними проходит чуть больше 12 часов (а именно 12 часов и 25 минут).
При этом воздействие Солнца на приливы нельзя считать незначительным. Когда три небесных тела выстраиваются в ряд, что происходит чуть чаще раза в месяц (илл. 5), действие Луны усиливает действие Солнца – и приливы особенно сильны. Эти квадратурные приливы приходятся на полнолуние или новолуние. А в первой или в последней лунной четверти происходят слабые сизигийные приливы (илл. 6). С другой стороны, приливы особенно сильны в дни равноденствия, когда Солнце оказывается в одной плоскости с земным экватором.
Высота приливов и их прогнозирование
Гениальная и простая, теория приливов Ньютона все же неспособна правильно предсказать их амплитуду. Их высота (разница уровня воды между приливом и отливом), согласно теории создателя классической механики, должна составлять всего несколько десятков сантиметров. В действительности же высота прилива на океанском побережье обычно достигает десятка метров. Кроме того, она значительно варьирует в зависимости от места, что нельзя объяснить теми аргументами, которые мы приводили ранее. Дело оказывается в том, что Ньютон предполагал поверхность океана всегда пребывающей практически в равновесии и смиренно повинующейся действующим на нее силам. Почти веком позже французский математик и физик Пьер-Симон Лаплас (1749–1827) показал, что правильная теория должна быть динамической. Выяснилось, что важную роль в этом процессе играет явление резонанса: высота прилива в данный момент времени и в данной точке зависит от силы приливов в предыдущие дни и, в свою очередь, оказывает влияние на амплитуду следующих приливов. Сила Кориолиса также играет роль, отклоняя движение водных массивов, поэтому изменение уровня воды во время прилива на берегах Ла-Манша достигает десятка метров с французской стороны, но практически на четыре метра меньше на английских берегах!
Приливы несут ценную энергию, которую было бы заманчиво получить. Для этого были изобретены приливные электростанции (см. илл.), которые для производства электроэнергии используют приливные течения или связанные с ними перепады высоты воды. Однако действительно ли энергия приливов неисчерпаема, как солнечная или ветровая? Как мы уже упоминали, потери энергии во время приливов приводят к замедлению вращения Земли. Так что использование энергии приливов, вполне вероятно, может усилить это замедление…
Давайте сначала оценим энергию, которую человек может максимально извлечь из каждого прилива. Дадим очень грубую оценку, предполагая, что прилив ежедневно поднимает на высоту h = 1 м площадь воды, равную RЗ2. Получается энергия порядка gρRз2h2, где ρ – плотность воды, то есть около 1018 Дж в день. Это значение огромно и близко ко всему мировому потреблению энергии, которое в 2008 году составило около 5 ∙ 1020 Дж. Теперь давайте сравним его с кинетической энергией вращения Земли. Она определяется формулой для энергии вращающегося шара: (1/5) MзRз2ω2. Подставляя в нее массу Земли Mз = 6 ∙ 1024 кг, ее радиус RЗ = 6,37 ∙ 106 м и угловую скорость ω – один поворот в день, то есть около 7 ∙ 10–5 радианов в секунду, находим, что кинетическая энергия вращения Земли составляет примерно 2,4 ∙ 1029 Дж. Разделив этот результат на 5 ∙ 1020 Дж, мы увидим, что, даже если человечество научилось бы полностью извлекать всю энергию приливов (что технически кажется неосуществимым), Земля продолжит вращаться еще на протяжении полумиллиарда лет.
В Рансе, на севере Бретани, приливная электростанция успешно работает с 1967 года. Плотина (которая также служит мостом) работает при движении воды в обоих направлениях: турбины действуют во время как прилива, так и отлива. Таким образом предприятие использует вызванное приливом изменение уровня воды для выработки электроэнергии
Высота приливов определяется не только расположением Луны и Солнца по отношению к Земле, но и очертаниями берегов и подводным рельефом. Вычисления крайне сложны, и проделать их не представляется возможным. К счастью, предсказать свойства приливов с очень большой точностью можно, принимая уровень моря в данной точке за сумму синусоидальных функций времени Σ aisin(ωit − αi). В такой сумме достаточно учесть десяток слагаемых. Частоты ωi хорошо известны, а коэффициенты ωi, так же как фазовые сдвиги αi, в каждой точке берега определяются экспериментально.
Все более долгие дни… и все более далекая Луна
Наблюдения показывают, что приливы по отношению к видимому движению Луны задерживаются примерно на 12 минут. Моделируя Землю и ее водные массивы в виде удлиненного эллипсоида, находим, что его бо́льшая ось направлена не точно на Луну, а составляет с направлением Земля – Луна угол φ порядка 3° (илл. 7). Действительно, вода из-за торможения ее движения трением о дно океанов и о берега не успевает в каждый момент времени занять самое энергетически выгодное положение. Это трение приводит к превращению части кинетической энергии вращения Земли в тепло. То есть приливы тормозят вращение Земли! Следовательно, увеличивается и протяженность дня. Об этом первым догадался в XIX веке английский физик лорд Кельвин. В дальнейшем скорость этого замедления удалось оценить с высокой точностью: исследователи изучили найденные в Индийском океане окаменевшие кораллы и нашли в них кольцевые образования, отражающие чередование дня и ночи. Возраст кораллов был оценен в 400 млн лет. Подсчитав эти кольца, ученые установили, что календарный год, то есть время, которое Земля затрачивала на полный оборот вокруг Солнца, составлял в ту эпоху 395 дней. То есть день длился всего 22 часа!
«Запаздывание» приливов имеет и другие следствия: Земля принимает форму мяча для игры в регби, чья ось все больше отклоняется от оси Земля – Луна. Сила притяжения между Землей и Луной направлена не точно к центру Земли, а имеет небольшую составляющую, перпендикулярную оси Земля – Луна. И эта компонента силы приводит к удалению Луны от Земли на 3,8 см в год… все больше разделяя нас и наших лунных соседей!