Идея четвертого измерения появилась как чисто математическое понятие, позволяющее значительно упростить рассуждения, но не допускающее наглядной интерпретации. Аналогию с понятием четвертого измерения можно усмотреть в использовании отрицательных чисел. Всякий, кому приходилось вычитать из числа 3 число 7 и получать −4, знает, как следует понимать полученный результат. Однако никому и в голову не придет, будто полученный ответ означает, что в действительности могут существовать отрицательные количества предметов. Нетрудно понять, что если в саду росло четыре дерева и спилили четыре из них, то ни одного дерева не стало, но никто не станет представлять себе наглядно минус четыре дерева, ибо даже мысленно мы можем представить себе лишь такие величины, которые получаются в результате пересчета реально существующих предметов. Однако отсутствие опыта не мешает нам вводить отрицательные числа как средство, позволяющее упростить вычисление. Идея четвертого измерения позволяет аналогичным образом упростить многие математические рассуждения, хотя из нее и не следует, будто четырехмерное пространство действительно существует.
Математические рассуждения позволили нам узнать многие свойства четырехмерного пространства. Иногда эти свойства используют для объяснения спиритических явлений, утверждая, будто четырехмерное пространство населяют духи, которых мы, человеческие существа, живущие в пространстве трех измерений, неспособны воспринимать, если только духи не соблаговолят спуститься в наше пространство. Свое утверждение обоснователи спиритизма пытаются доказать, ссылаясь на геометрические свойства четырехмерного пространства. Столь неожиданное расширение математического понятия создало у непосвященного читателя весьма превратное представление о четвертом измерении, и мы сейчас хотим провести грань между теорией четвертого измерения, развитой математиками и имеющей полное право называться научной теорией, и-тем, что известно под названием четвертого измерения и используется для обоснования спиритизма.
Наглядные геометрические изображения широко используются в науке и других областях человеческой деятельности. Чертежи и фотографии находят широкое применение в технике. Ни один архитектор не приступит к возведению здания, не составив предварительно его чертежи. В математике возможность наглядно представить кривую, описываемую алгебраическим уравнением, также намного упрощает рассуждения.
До Декарта алгебру и геометрию считали различными математическими дисциплинами, никак не связанными между собой. Однако Декарт обнаружил, что алгебраические уравнения с двумя и тремя неизвестными удобно изображать в виде геометрических фигур. Рассмотрим метод Декарта на простом примере. Из элементарной алгебры известно, что в одном уравнении с двумя неизвестными, например в уравнении у = x² − 2х + 2, переменной x мы можем придавать любые значения. Подставив выбранное нами значение x в уравнение, мы найдем соответствующее ему значение неизвестной у. Например, если x = 1, то у = 1. Нетрудно проверить, что пары значений x = 2, у = 2; x = 3, у = 5; x = 4, у = 10; x = 5, у = 17 и т. д. также удовлетворяют уравнению. Чтобы представить себе уравнение у = x² − 2x + 2 наглядно, проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые. Эти прямые называются осями координат. От точки пересечения осей вдоль оси мы будем откладывать расстояния, равные в соответствующих единицах интересующему нас значению x, а по другой оси — расстояния, равные в соответствующих единицах значениям у. На рис. 1 правые концы отрезков, отложенных по оси x, обозначены буквами а, b, с, d и e, а верхние концы отрезков, отложенные вдоль оси у, — буквами а', b', с', d' и e'. Точки (а, а'), (b, b'), (с, с'), (d, d') и (е, е') называются точками кривой, описываемой уравнением у = x² − 2x + 2. Придавая переменной x значения, отстоящие друг от друга на сколь угодно малую величину, мы сможем нарисовать довольно подробный «портрет» нашей кривой. На рис. 2 показан отрезок кривой, описываемой уравнением у = x² − 2x + 2, который соответствует значениям x, заключенным в интервале от 0 до 5.
Возможно, что кому-нибудь график кривой покажется столь же мало понятным, как и описывающие кривую уравнения. Неспециалист, взглянув на чертеж, изображающий какой-нибудь предмет, увидит лишь хаотическое переплетение линий, в то время как опытному чертежнику или механику достаточно одного взгляда на чертеж, чтобы получить полное представление об устройстве предмета. Математик, взглянув на график, получает весьма точное представление о свойствах уравнения, описывающего соответствующую кривую.
Иногда у инженера или математика возникает необходимость наглядно изобразить алгебраическое уравнение, содержащее три неизвестных, например уравнение x + у + z = 10. Рассуждая по аналогии с уравнением, содержащим два неизвестных, мы можем получать значения z, соответствующие заданным значениям неизвестных x и у. Однако значения переменной z нельзя изобразить на одной плоскости со значениями переменных x и у. Нам необходимо иметь третью ось, ось z, вдоль которой мы будем откладывать значения z, и эта ось должна быть перпендикулярна осям x и у и проходить через точку их пересечения. Введя ось z, мы сможем изобразить наглядно уравнение с тремя переменными так же, как ранее мы изображали уравнение с двумя переменными. Придавая произвольные значения переменным x и у, мы будем вычислять соответствующее им значение переменной z и откладывать все три значения x, у и z, удовлетворяющие уравнению, вдоль соответствующих осей.
Наглядное представление уравнений с двумя и тремя неизвестными настолько помогает в решении трудных задач, что математик склонен интерпретировать аналогичным образом уравнение с четырьмя переменными, которые иногда встречаются в различных физических задачах. Для того чтобы наглядно изобразить уравнение вида x + y + z + w = 16, нам необходимо иметь четвертую ось, ось w, вдоль которой мы сможем откладывать значения переменной w. Такая ось должна быть перпендикулярна осям x, у и z в точке их пересечения. Дойдя в своих рассуждениях до этого места, математики обнаруживают, что зашли в тупик, ибо не могут построить четыре взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке. Это ограничительное свойство нашего пространства не позволяет математикам наглядно изображать уравнения с четырьмя переменными так же, как они изображали уравнения с двумя и тремя переменными, но это отнюдь не мешает им продолжать изучение уравнений с четырьмя неизвестными.
Люди постоянно размышляют о том, что бы произошло, если бы события развивались иначе, чем они развивались в действительности. Они пытаются предугадать, как развивалась бы история, если бы Наполеон выиграл битву при Ватерлоо. Физик вычисляет количество тепла, которое бы выделилось, если бы Земля внезапно остановилась на орбите. Не отстает от физика и математик. Не имея возможности построить четыре взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке, он тратит свое драгоценное время, пытаясь выяснить, что произошло бы в том случае, если бы ему все же удалось построить свои четыре перпендикуляра. Эти размышления и приводят математика к понятию четырехмерного пространства.
Возможно, что читатель, впервые услышавший о четырехмерном пространстве, составит себе неверное представление о нем. Когда неспециалист слышит о том, что в четырехмерном пространстве можно построить четыре взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в одной точке, он тотчас же пытается наглядно представить себе эти четыре перпендикуляра. Разумеется, все попытки оказываются бесплодными, и поэтому неспециалист всякое упоминание о четвертом измерении считает жульничеством или бессмыслицей. Однако столь суровый приговор несправедлив, ибо неспециалист неправильно понял то, что имеет в виду, говоря о четвертом измерении, математик. Математик отнюдь не желает сказать, что четыре взаимно перпендикулярные прямые действительно можно построить. Такое построение, насколько можно судить, действительно невозможно. Однако вполне допустимо спросить себя, что произошло бы в том случае, если бы нам все же удалось осуществить его. Именно это и не более того пытается сделать математик.
Реальная, физическая, возможность и возможность математическая не всегда совпадают. Правильное математическое утверждение нередко может не допускать физическую интерпретацию. Например, так произошло с пятым постулатом Евклида. Утверждение становится возможным с математической точки зрения, если оно непротиворечиво и если оно не противоречит другим допущениям данной теории. Отец геометрии Евклид утверждал в своем пятом постулате, что через данную точку можно провести лишь одну прямую, параллельную некоторой заданной прямой. В первой половине прошлого века русский математик Лобачевский усомнился в правильности постулата Евклида. Многократные попытки доказать этот постулат, рассуждал Лобачевский, неизменно оканчивались неудачей, поэтому можно предположить, что постулат неверен. Будем считать, что через данную точку можно провести не одну, а но крайней мере две разные прямые, не пересекающие данной прямой. Пользуясь чисто математическими рассуждениями, Лобачевский построил целую геометрию, основанную на своей новой аксиоме. Сама по себе эта геометрия абсолютно непротиворечива и поэтому математически возможна. Однако евклидова геометрия проще, привычнее и подтверждается даже самыми точными измерениями. Мы по-прежнему продолжаем пользоваться ею во всех измерениях и расчетах, так как, насколько можно судить по эмпирическим данным, евклидова геометрия правильна.