Гамильтон большую часть оставшейся жизни изучал следствия из своего открытия. Излишне говорить, что он написал о нем стихотворение. («Наука высших сфер с суровым очарованием чисел и фигур влекла нас за собой, и мы стремились узреть ее нерожденное потомство…» В общем, вы уловили идею.)
Мы также можем повернуть ручку в сторону ослабления условий и рассмотреть более широкий спектр преобразований. Мы могли бы разрешить увеличение и уменьшение так, чтобы показанные далее фигуры считались равными.
Некоторые величины, раньше бывшие инвариантами (например, площадь треугольников), в таком более мягком представлении о тождественности уже ими не будут. Однако другие величины (например, углы) инвариантами остаются. На школьных уроках геометрии фигуры, одинаковые в этом более широком смысле, назывались подобными.
А еще мы можем изобрести совершенно новые понятия, с которыми никогда не сталкивались в школе. Мы можем, скажем, разрешить преобразование под условным названием скронч, которое будет растягивать фигуру по вертикали с определенным коэффициентом и одновременно сжимать ее по горизонтали с тем же коэффициентом[97].
При скронче какой-нибудь фигуры ее площадь не меняется. Это очевидно для прямоугольников, ориентированных сторонами по вертикали и горизонтали: поскольку их площадь равна произведению сторон, при скронче высота умножается на какое-то число, а ширина делится на это же число, поэтому произведение останется прежним. Посмотрим, можете ли вы доказать тот же факт для треугольника, что гораздо сложнее!
В скронч-геометрии (скрончметрии) мы называем две фигуры равными, если можем перейти от одной к другой с помощью параллельного переноса и скронча. Два скронч-равных треугольника имеют одинаковую площадь, но два треугольника с одинаковой площадью не обязательно скронч-равные: например, после скронча любой горизонтальный отрезок остается горизонтальным, следовательно, треугольник с одной горизонтальной стороной нельзя сделать скронч-равным треугольнику без горизонтальной стороны.
Даже на плоскости есть большое количество возможных типов симметрии, поэтому охватить их здесь максимально исчерпывающе нереально. Чтобы дать скромное представление об этом «зверинце», приведем диаграмму из авторитетной книги Гарольда Коксетера и Самуэля Грейтцера «Новые встречи с геометрией».
Это дерево во многом похоже на генеалогическое древо, где каждый «ребенок» – частный случай «родителя». Поэтому изометрия (то, что мы называли движением) – это частный случай подобия, а отражения и вращения – частный случай изометрии. «Прокрустово растяжение» – яркий термин Коксетера и Грейтцера для скронча. Аффинные преобразования – те, что получатся, если вы разрешите скронч и подобие. Язык симметрии дает нам естественный способ организовать многие определения в планиметрии (геометрии на плоскости). Упражнение: покажите, что эллипс – это любая фигура, получаемая аффинным преобразованием из круга. Более сложное упражнение: покажите, что параллелограмм – это любая фигура, которая получается аффинным преобразованием из квадрата.
Не существует правильного ответа на вопрос, какие пары фигур «действительно» одинаковые. Это зависит от предмета нашего интереса.
Если нас интересует площадь, то подобия будет недостаточно, поскольку площадь не инвариантна относительно подобия. Но если нас заботят только углы, то незачем настаивать на конгруэнтности: это может быть чересчур трудоемко.
Подобия вполне достаточно. Каждое понимание симметрии порождает собственную геометрию, собственный способ решать, какие вещи отличаются настолько, что лучше не давать им одинаковых названий.
Евклид непосредственно о симметрии почти не писал, но его последователи не могли не задуматься об этом, даже в контекстах, далеких от плоских фигур.
Идея, что при симметрии должны сохраняться те или иные важные величины, естественна для нашего мышления. Линкольн, например, писал в своих личных заметках в 1854 году в весьма геометрическом стиле:
Если А. способен убедительно доказать, что он может по праву поработить B., то почему B. не может воспользоваться тем же аргументом и точно так же доказать, что он может поработить А.?[98]
Линкольн предполагает, что моральная допустимость должна быть инвариантом, подобно площади евклидова треугольника, и не должна меняться только потому, что вы отразили фигуру, чтобы она указывала в противоположном направлении.
При желании мы можем пойти еще дальше, выйдя за рамки школьных уроков. Никаких карандашей, книг и неодобрительных взглядов Евклида! Мы могли бы позволить совершенно произвольно растягивать и сминать фигуры, лишь бы они не рвались; то есть треугольник может стать окружностью или сложиться в квадрат:
но не может стать отрезком, поскольку для этого его пришлось бы где-то разорвать[99]. Звучит знакомо? Этот экстравагантно неприхотливый вид геометрии, где треугольник, квадрат и окружность – одна и та же вещь, и есть топология, созданная Пуанкаре для решения задачи о соломинке. (Ладно, возможно, у него были и другие причины.) Эти симметрии, которые включают в себя все вышеупомянутые типы симметрии, представляют собой непрерывные преобразования, стоящие на ступеньку ниже самой верхней строки в диаграмме Коксетера и Грейтцера. В этой гибкой геометрии не сохраняются ни углы, ни площади. Отпадают все несущественные детали, о которых так заботился Евклид, остается только чистое представление о форме.
В 1904 году в городе Сент-Луис проходила Всемирная выставка[100], посвященная столетию покупки Соединенными Штатами огромной территории Луизианы у Франции (сделка состоялась 101 год назад, но попробуйте устроить такое масштабное мероприятие вовремя!). Выставку, одновременно с которой в городе проходили Олимпийские игры и Национальный съезд Демократической партии, посетило более 20 миллионов человек. Целью была демонстрация того, что Соединенные Штаты, и особенно их центральная часть, готовы к выходу на мировую арену. Событие было увековечено в песне Meet Me in St. Louis («Встретимся в Сент-Луисе»). Из Филадельфии приехал колокол Свободы. Выставлялись картины Джеймса Мак-Нейла Уистлера и Джона Сингера Сарджента. Родившегося в строительной палатке ребенка назвали Louisiana Purchase O’Leary (буквально – Луизианская Покупка О’Лири). Город Бирмингем в Алабаме заказал 17-метровую чугунную статую Вулкана для развития своей сталелитейной промышленности. Легендарный индейский вождь Джеронимо подписывал свои фотографии, а перед толпами появлялась Хелен Келлер[101]. Некоторые утверждают, что именно тогда изобрели мороженое в вафельном стаканчике. А в сентябре прошел Международный конгресс искусств и наук, куда съехались выдающиеся иностранные ученые со всего мира, чтобы пообщаться со своими американскими коллегами там, где впоследствии будет кампус Университета Вашингтона в Сент-Луисе. Присутствовал и сэр Рональд Росс – британский врач, лауреат Нобелевской премии по медицине за открытие механизмов передачи малярии. Приехали и соперничавшие немецкие физики Людвиг Больцман и Вильгельм Оствальд, которые вели сражение за фундаментальную структуру материи: состоит она из дискретных атомов, как думал Больцман, или базовый материал Вселенной – непрерывные энергетические поля, как считал Оствальд? Присутствовал там и Пуанкаре, которому к тому времени исполнилось пятьдесят лет, и он был самым известным геометром в мире. В последний день конгресса он прочитал лекцию на тему «Принципы математической физики» крайне осторожным тоном, поскольку в то время эти принципы подвергались чрезвычайному давлению.
«Существуют признаки серьезного кризиса[102], – сказал Пуанкаре, – которые, казалось бы, указывают на то, что сейчас мы можем ожидать каких-то перемен. Однако поводов для серьезного беспокойства нет. Мы уверены, что пациент не умрет, и даже можем надеяться, что кризис будет оздоровляющим».
Кризис, с которым столкнулась физика, касался проблемы симметрии. Хотелось бы надеяться, что законы физики не изменятся, если вы сделаете шаг в сторону или повернетесь в другом направлении, – иными словами, они инвариантны относительно движений трехмерного пространства. Более того, эти законы в представлении Пуанкаре не должны меняться, если сесть в двигающийся автобус; это просто более сложный вид симметрии, включающий координаты как пространства, так и времени.
Поначалу может показаться неочевидным, что в физике ничего не должно меняться, если наблюдатель будет двигаться, ведь, когда стоишь или двигаешься, ощущения разные, не так ли? Отнюдь. Даже если Анри не едет на автобусе, он стоит на планете Земля, а она с огромной скоростью вращается вокруг Солнца, которое и само по какой-то безумной траектории летит вокруг ядра галактики и так далее. Если не существует абсолютного неподвижного наблюдателя, то нам лучше не принимать физические законы, которые верны только с точки зрения наблюдателя. Они не должны зависеть от его движения.
А теперь о кризисе: похоже, с физикой все обстояло не так. Уравнения Максвелла, великолепно объединявшие теории электричества, магнетизма и света, оказались не инвариантными относительно симметрий, как ожидалось. Самый популярный способ разрешить эту тошнотворную ситуацию – постулировать, что существует абсолютно неподвижная точка отсчета, невидимая основа, именуемая эфиром, – то сукно, по которому катятся все бильярдные шары Вселенной. Тогда истинными законами физики были бы законы, наблюдаемые с точки зрения этого эфира, а не с точки зрения людей на планете. Однако хитроумные эксперименты,