Росс разобрался только с гораздо более простым случаем, когда комар придерживается прямой линии, выбирая, лететь ему на северо-восток или на юго-запад. Мы тоже справимся! Предположим, что комар живет десять дней и каждый день выбирает, лететь ему километр на северо-восток или километр на юго-запад. Если учесть, что выбор из двух вариантов происходит ежедневно, общее количество возможных карьерных траекторий насекомого равно 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 1024, причем все пути равновероятны (при условии, что наш комар беспристрастен). Чтобы комар закончил свои дни в 10 километрах к северо-востоку от места появления, ему нужно десять раз подряд выбрать северо-восточное направление движения, а это означает, что так поступит только один комар из 1024. Такая же крохотная доля всех комаров умрет в 10 километрах к юго-западу от родины. Сколько насекомых окажутся на расстоянии 8 километров? Для этого нужно, чтобы комар совершил определенную последовательность выборов, например:
СВ, СВ, СВ, ЮЗ, СВ, СВ, СВ, СВ, СВ, СВ,
где девять раз будет выбрано одно направление и один раз противоположное. Одинокий ЮЗ может находиться на любом из десяти мест, поэтому 10 из 1024 путей заканчиваются в 8 километрах к северо-востоку и еще 10 – в 8 километрах к юго-западу, то есть всего нужных путей 20. Присмотревшись, можно увидеть, что на внешних окружностях своей диаграммы Росс написал маленькие цифры 2 и 20. Если хотите, можете попробовать нарисовать 45 путей, которые заканчиваются в 6 километрах к северо-востоку от исходной точки, или 210, завершающихся в 2 километрах к северо-востоку, или 252, которые возвращают комара в тот самый зловонный пруд, где он родился. Самым вероятным местом могилы комара будет точка его рождения. Это имеет смысл, поскольку задачу о комарах можно смоделировать, подбросив десять монет: если выпал орел, то мы двигаемся на северо-восток, а если решка, на юго-запад. Итоговое расстояние в 8 километров означает, что выпало 9 орлов и 1 решка; возвращение домой означает 5 орлов и 5 решек, а это в действительности самый вероятный исход при подбрасывании десяти монет. Если вы построите гистограмму для всех результатов, то получится старая добрая колоколообразная кривая нормального распределения, показывающая склонность комаров держаться своих корней.
Однако мы можем узнать больше. Немного поработав, можно вычислить, что за 10 дней комар в среднем преодолеет 2,46 километра. Это типичная продолжительность жизни самцов. Самки комаров живут больше 50 дней и за это время в среднем продвинутся на 5,61 километра. Комар-долгожитель, живущий 200 дней, теоретически мог бы пролететь 200 километров, но в среднем удалится на 11,27 километра от дома. Четырехкратное увеличение жизни увеличивает расстояние всего вдвое. Здесь мы сталкиваемся со свойством, впервые обнаруженным Абрахамом де Муавром в XVIII веке (правда, он изучал не комаров, а подбрасывание монет): среднее отклонение числа орлов от половины при n подбрасываниях монеты определяется квадратным корнем из n. Комар с продолжительностью жизни, стократно превышающей норму, скорее всего, заберется всего лишь вдесятеро дальше своих недолговечных собратьев. Комар может улететь дальше, чем вы ожидаете, но с большой вероятностью этого не произойдет. Шансы, что комар на двухсотый день жизни окажется не ближе 40 километров от дома, составляют всего лишь 3 на 1000[110].
Однако 2,46 – это не квадратный корень из 10, а 11,27 – это не квадратный корень из 200! Хорошо-хорошо, я только рад, что вы читаете книгу с карандашом в руке. Более точное приближение состоит в следующем: за первые N дней путешествия комар в среднем улетит на расстояние, примерно равное Проверяем: за десять дней комар пролетает
Весьма близко! А для 200 дней получаем
что тоже прекрасно соответствует вышесказанному.
Наличие π может заставить зазвучать вашу геометрическую сигнализацию: может, π здесь присутствует из-за того, что комар пересекает круг? Увы, нет. В конце концов, в простой модели Росса насекомые двигались только по прямой. Да, поначалу мы сталкиваемся с числом π, изучая отношение длины окружности к ее диаметру, но, как и большинство математических констант, оно возникает повсеместно – вы можете просто свернуть за угол и наткнуться на него. Один из моих любимых примеров: выберите наугад два натуральных числа и задайтесь вопросом, с какой вероятностью они взаимно просты (то есть не имеют общих делителей, отличных от 1). Вероятность этого равна 6/π2, хотя никакой окружности тут не видно.
Число π у комаров появляется из анализа, в частности из величины одного интеграла, который включает π по каким-то собственным специфическим причинам. Его вычисление было сложной задачей для французских математиков XVIII и XIX веков, но сейчас мы можем этому научить в третьем семестре анализа (хотя, если не показать хитрый трюк, то с интегралом справится только одаренный студент). Вы можете увидеть его вычисленным в фильме 2017 года «Одаренная», где этот интеграл предлагается в виде задачки для Мэри Адлер – семилетней девочки-вундеркинда, которую сыграла девятилетняя Маккенна Грейс.
Я знаю это не потому, что смотрел фильм в самолете (хотя я смотрел: какое-то время его часто показывали в самолетах), а потому, что присутствовал на съемочной площадке в качестве консультанта, чтобы в фильме все было правильно с математической точки зрения. Если вы когда-либо смотрели картину с математическим содержанием, то, возможно, задавались вопросом, сколько усилий требуется для того, чтобы детали были верными. Оказывается, много. Достаточно, чтобы заплатить математику за то, чтобы он провел большую часть дня в задней части якобы лекционного зала Массачусетского технологического института (на самом деле съемки велись в Университете Эмори в Атланте), в то время как какой-то профессор в исполнении характерного актера (чаще играющего отрицательных героев-славян в полицейских сериалах) проверяет способности одаренного ребенка[111]. Как выяснилось, мне было чем заняться. В одном из диалогов Мэри обращается к своей бабушке (которая по каким-то причинам оказывается британкой и живет отдельно от дяди девочки и одновременно ее опекуна из-за доказательства проблемы Навье – Стокса, которое покойная мама вундеркинда, возможно, нашла, но не опубликовала; знаете, это долго объяснять, давайте двигаться дальше) и говорит «отрицательное», хотя в соответствии с написанным на доске надо сказать «положительное». Я подошел к матери Грейс – единственному человеку, с которым, на мой взгляд, мне было дозволено общаться, и поинтересовался, нужно ли мне кому-то об этом сообщить. Это важно? Да, это было важно. Она быстро препроводила меня к режиссеру Марку Уэббу и приказала передать ему все, что я только что ей сказал. И все мгновенно остановилось. Они изменили слово, Грейс пошла учить новую фразу, все остальные стояли и перекусывали снеками со стола с закусками. Сколько денег теряется в секунду, когда несколько десятков узкоспециализированных профессионалов, участвующих в создании полнометражного фильма на ведущей киностудии, одновременно праздно едят орехи? Это нижняя граница, показывающая, как сильно студия заботится о том, что написано математическим мелким шрифтом. Я спросил режиссера: «Кому-то есть до этого дело? Это вообще кто-нибудь заметит?» Он ответил уставшим и одновременно каким-то восхищенным тоном: «Люди в интернете заметят!»
На съемках я узнал, что создание фильма имеет нечто общее с написанием математической статьи: основная идея для изложения не так уж сложна, однако огромное количество времени тратится на мелкие детали, которые большинство людей вряд ли заметили бы.
Поскольку я уже был на съемочной площадке, Уэбб предложил мне стать перед камерой и сыграть роль профессора, рассказывая о теории чисел примерно шесть секунд, в то время как Грейс прилежно этому внимала. Готовясь к этим шести секундам, я провел в костюмерной целый час. Правда, в навязчивом стремлении съемочной группы фильма «Одаренная» к точному соблюдению всех деталей было одно исключение: мне дали туфли, которые были намного лучше и гораздо дороже, чем те, что носит на занятия любой профессор математики. А еще я узнал о киноиндустрии один грустный факт: они не позволяют вам оставить эти туфли себе.
Меня часто спрашивают, как опрос двухсот человек может сказать что-то достоверное о предпочтениях миллионов избирателей? Если так ставить вопрос, то это звучит сомнительно, словно попытка узнать, какой суп в тарелке, попробовав всего одну ложку.
Но на самом деле вы вполне можете это сделать! Ведь у вас есть все основания думать, что в вашей ложке находится случайная выборка – образец супа. Вы никогда не залезете в тарелку с клэм-чаудером так, чтобы в вашей ложке оказался минестроне[112].
Именно этот суповой принцип и делает опросы такими эффективными. Но он не говорит вам, насколько точно опрос отражает ситуацию в городе, штате или стране, в которых проводится. Ответ кроется в медленном беспорядочном движении комара из пруда. Возьмем какой-нибудь штат, например Висконсин, где я живу и где демократов и республиканцев практически поровну. Теперь представьте себе комара, движение которого определяется следующим образом: я звоню случайному висконсинцу, узнаю его политические взгляды и командую насекомому лететь на северо-восток, если мой респондент – демократ, и на юго-запад, если он голосует за республиканцев. Это в точности модель Росса: комар двигается случайно двести раз в том или ином направлении. Откуда нам знать, что мы не позвоним случайно двумстам демократам и не получим совершенно искаженное представление о том, как голосует Висконсин? Конечно, гипотетически такое возможно – так ведь и комар мог целенаправленно двигаться на северо-восток с места рождения и до смерти. Но этого с большой долей вероятности не произойдет.