Ну… иногда – да. Но не всегда. Как только вы увидите несколько подобных доказательств, вам больше не нужно их записывать. Вы видите «и так далее…» и считаете это доказательством не потому, что так оно и есть, а потому, что у вас достаточно опыта, чтобы понимать, что вместо многоточия можно написать строгое доказательство.
Игра «Ним» – это разновидность математики, или, если угодно, такая математика – это разновидность игры. Игру любят и охотно в нее играют по всему миру. Возникает вопрос: почему мы не обучаем ей в школе? Возможно, навыки игры в «Ним» не будут непосредственно связаны с вашей профессией (если вы не участник реалити-шоу), но если мы допускаем, что обучение математическому мышлению помогает нам лучше понимать все остальное[205], то такой анализ будет способствовать образованию. Нас постоянно ругают за то, что школьная система образования подавляет у учеников природное чувство игры. Если бы мы больше играли на уроках математики, стали бы школьники активнее ее изучать?
И да, и нет. Я преподаю математику больше двадцати лет. Когда я начинал, меня интересовали такие вопросы: как правильно учить математическим понятиям? Сначала примеры, а потом объяснение? Или сначала объяснение, а затем примеры? Дать возможность учащимся открыть принципы на основе приведенных мной примеров или написать на доске принципы и позволить ученикам самим подобрать примеры?
Я пришел к выводу, что единого правильного способа не существует. (Зато, вне сомнения, есть несколько неправильных.) Ученики разные, и нет универсального метода преподавания, который подошел бы всем. Должен признаться, что я не люблю игры. Я ненавижу проигрывать, поэтому они меня нервируют. Однажды я поссорился с мамой моего приятеля, когда она в карточной игре «Червы» добилась «выстрела по луне»[206]. Если бы план урока основывался на игре «Ним», он бы, вероятно, оттолкнул меня. Зато мог бы очаровать моего соседа по парте! Я думаю, что учителя математики должны применять все возможные методики преподавания и быстро их менять. Так вы повысите вероятность того, что каждый учащийся почувствует хотя бы иногда, что преподаватель после столь скучных неинтересных подробностей говорит о предмете в разумной манере.
Вы последовали моему совету и действительно сыграли в «Ним» 2 × 2? Это было не особо похоже на игру, верно? Когда вы знаете стратегию, это уже своего рода работа – как выполнение бессмысленного и чисто механического процесса. Вы правы. Он настолько механический, что его можно сделать таковым буквально. Вот американский патент (№ 2 215 544) 1940 года, а рядом «Ниматрон» во всей красе! Эта машина играет в «Ним», причем идеально. В электрическом духе того времени вместо камней использовались светящиеся лампочки. Через несколько лет один из ее изобретателей, физик Эдвард Кондон из компании Westinghouse Electric, присоединился к Манхэттенскому проекту, но ушел уже через шесть недель, жалуясь на «болезненно удручающую»[207] секретность.
Однако в 1940 году в Америке еще царил мир, и Кондон демонстрировал «Ниматрон» на Всемирной выставке в парке Флашинг-Медоуз в Нью-Йорке (раздел «Мир завтрашнего дня»). Тем летом «Ниматрон» сыграл на выставке в «Ним» сто тысяч партий. Газета The New York Times писала:
Что касается новинок, то компания Westinghouse[208] объявила о представлении «Ниматрона» – нового электрического робота 8 футов высотой, 3 фута шириной и массой 900 килограммов. «Ниматрон» противопоставит свой электрический мозг мыслительному аппарату человека и сыграет со всеми желающими в один из вариантов старинной китайской[209] игры под названием «Ним». В игре нужно выключать размещенные в четыре ряда лампочки, пока не погаснет последняя. «Ниматрон» обычно выигрывает, но если он проиграет, то противник получит жетон с надписью «Чемпион по “Ним”», обещают представители компании.
Но как человек мог победить, если «Ниматрон» играл идеально? Дело в том, что «Ниматрон» предлагал на выбор девять стартовых позиций, среди которых были выигрышные для человека, поэтому люди могли победить, если тоже играли идеально. Но обычно такого не случалось. По словам Кондона, большую часть поражений[210] автомат потерпел от операторов, которые демонстрировали публике, что его можно обыграть, поскольку люди после многочисленных попыток решали, что он непобедим.
В 1951 году британская электронная компания Ferranti построила собственного робота для игры в «Ним», назвав его Nimrod. Во время мирового турне он собирал толпы людей. В Лондоне группа экстрасенсов пыталась нарушить идеальную игру Nimrod с помощью концентрированных телепатических вибраций, но безуспешно. В Берлине машина сразилась с будущим канцлером Западной Германии Людвигом Эрхардом и обыграла его три раза подряд. Алан Тьюринг, работавший[211] над компьютером Ferranti Mark 1, заметил, что Nimrod настолько очаровал немецкую публику, что даже пустовал бесплатный бар в холле.
То, что компьютер может играть в «Ним» так же, как человек, казалось потрясающим (потрясающим вплоть до отказа немцев от пива!), но так ли это? Сам Тьюринг выразил определенный скептицизм, написав: «Читатель может спросить[212], почему мы используем эти сложные и дорогие машины для столь тривиального занятия, как игра». Конечно, игры играм рознь. Зная то, что нам сейчас известно о «Ним», мы понимаем: чтобы стать идеальным игроком, не нужно никакого человеческого мышления – достаточно всего лишь промаркировать дерево, шаг за шагом, от листьев до корня. Если вы играли в крестики-нолики, то, вероятно, наблюдали то же самое. Причина в том, что крестики-нолики тоже имеют геометрию дерева. Первые несколько шагов выглядят так[213]:
Однако есть разница: игра в крестики-нолики, в отличие от «Ним», может закончиться ничьей. На деле, если обоим игрокам больше семи лет, в основном так и происходит: большинство игр заканчиваются вничью.
Никаких проблем: это просто означает, что нам нужна буква Н для ничьей и три правила вместо двух.
Первое правило: если каждый мой ход ведет в позицию В, то моя текущая позиция – П.
Второе правило: если я могу сделать ход, ведущий в позицию П, то моя текущая позиция – В.
Третье правило: если ни один мой ход не ведет в позицию П и не все мои ходы ведут в позицию В, то моя текущая позиция – Н.
Третье правило длиннее, но оно описывает, что значит находиться в ничейной позиции. Его первая часть говорит, что я не могу выиграть; согласно второй части, я не проиграл, потому что могу сделать какой-то ход, который не приведет противника к выигрышной позиции; а если ни я, ни он не можем друг друга обыграть, то это ничья.
Я прошу обратить внимание, что, независимо от того, какие варианты у нас есть в игре в крестики-нолики, мы всегда находимся в ситуации, когда применимо одно из трех правил, поэтому, как и в «Ним», можем добраться до корня игры – пустой доски, на которой оказывается буква Н.
Неудивительно, что никакой секретной стратегии для игры в крестики-нолики нет. Если оба игрока действуют идеально, неизменно получится ничья.
В математике так часто бывает. Вы сели решать одну задачу, а когда закончили (через день, месяц или год), понимаете, что одновременно решили еще несколько. Если у вас есть гвоздь и требуется изобрести для него молоток, то этим молотком можно будет забивать все, что похоже на гвоздь. Так происходит в большинстве случаев.
Крестики-нолики имеют геометрию дерева, поэтому три правила гарантируют, что игра закончится либо победой первого игрока, либо победой второго, либо ничьей. Более того, чисто механические расчеты могут нам сказать, какой из трех вариантов действительно реализуется и как выглядит идеальная стратегия.
По тем же соображениям это верно для любой игры, геометрию которой можно представить в виде дерева, где два игрока ходят по очереди, результат хода предопределен (участники не бросают монету, не крутят стрелку, не вытягивают карты и не используют прочие методы случайного выбора), а игра заканчивается через некоторое конечное число шагов. Для такой игры справедливо одно из утверждений.
1. У первого игрока есть стратегия, которая всегда гарантирует ему победу.
2. У второго игрока есть стратегия, которая всегда гарантирует ему победу.
3. Каждая безошибочно сыгранная игра заканчивается вничью.
Мы можем выяснить эти стратегии, маркируя дерево буквами В, П и Н в соответствии с тремя правилами от листьев к корню. Это может потребовать много времени, но результат будет гарантирован.
Многие игры – это деревья. Английские шашки – дерево. «Четыре в ряд» – дерево. Шахматы – дерево. Да, даже шахматы! Мы считаем их своего рода романтическим искусством, способом передать дух сражения на маленькой деревянной доске. Что-то в этом есть. О них сняты фильмы, написаны романы и даже мюзикл, созданный бывшими участниками группы ABBA.
И тем не менее это дерево. Игроки ходят по очереди, случайностей нет, а игра не может длиться дольше 5898 ходов. Этот теоретический максимум никогда не появится в партии, где игроки действительно стремятся выиграть. Самая длинная из когда-либо сыгранных турнирных игр[214] состояла из 269 ходов и заняла чуть больше 20 часов.
Если вы не разбираетесь в шахматах, то можете задаться вопросом, почему число ходов ограниченно. Это ведь не «Ним», вы не теряете пешку или фигуру с каждым ходом. Почему бы ладье и коню не гоняться друг за другом на доске вечно? Причина в том, что в шахматах установлены правила, запрещающие это. Если за 50 ходов не было взятий или ходов пешкой, то партия признается закончившейся вничью. Такие правила обусловлены той же логикой, которая заставляет нас исключить 1 из перечня простых чисел. Если бы 1 было простым числом, то процесс разложения на множители мог бы продолжаться бесконечно: 15 = 5 × 3 × 1 × 1 × 1… Это не совсем неверно, но совершенно бессмысленно. Правило 50 ходов не позволяет шахматам двигаться по тому же унылому вечному пути