Совершенство – это не красота. У нас есть абсолютное доказательство того, что идеальные игроки не выигрывают и не проигрывают. Любой наш интерес к игре существует именно потому, что люди несовершенны. И возможно, это неплохо. Идеальная игра – это вовсе и не игра в прямом смысле слова. Наше личное присутствие в игре происходит в силу нашего несовершенства. Мы что-то чувствуем, когда наши недостатки сталкиваются с недостатками других людей.
Глава 6. Загадочная сила метода проб и ошибок
Мы не знаем, как полностью маркировать дерево шахмат буквами В, П и Н. Когда я говорю, что, возможно, никогда и не узнаем, я отнюдь не имею в виду, что у нас не хватит на это ума, а хочу сказать, что количество позиций, которые требуется промаркировать, насколько велико, что Вселенная может угаснуть раньше завершения этого процесса. Строго говоря, возможно, существует какой-нибудь способ избежать этой тягомотной канители с началом в листьях (в таком множестве листьев!) и возвратом к корню с расстановкой букв на этом пути, как произошло в «Игре с вычитанием» в реалити-шоу Survivor. Если игра начинается со 100 000 000 флагов, то вы, конечно, можете кропотливо идти с конца, расставляя буквы В и П, а можете применить теорему флагов, доказанную чуть выше. Поскольку 100 000 000 делится на 4, то теорема говорит нам, что второй игрок всегда может выиграть. И мы даже знаем как: если первый игрок возьмет один флаг, вы берете три; если он берет два, то и вы два. Если он возьмет один, то вам нужно взять три. Повторите это еще 24 999 999 раз и наслаждайтесь победой.
Я не могу доказать, что подобной простой выигрышной стратегии не существует для шахмат. Но это кажется маловероятным.
Тем не менее компьютеры играют в шахматы. И играют очень хорошо. Лучше, чем я, вы, Гарри Каспаров, мой кузен Закари, да и любой другой человек. Как они это делают, не маркируя все позиции в игре?
Причина в том, что машины нового поколения искусственного интеллекта даже не пытаются быть идеальными. Они действуют совершенно иначе. Чтобы объяснить это, нам нужно вернуться к простым числам.
Вспомните: система криптографии с открытым ключом, на которую всё опирается, зависит от двух больших простых чисел, используемых в качестве вашего личного ключа, причем «большие» означает «триста цифр или около того». Где их взять? В торговых центрах нет магазинов простых чисел. А если бы и были, то вряд ли вам захотелось бы покупать их в магазине, потому что весь смысл секретного ключа в том, что он не общедоступен (если вы, конечно, не реконструктор, занимающийся криптографией конфедератов).
Поэтому вам нужно генерировать собственные простые числа. Поначалу это кажется сложным. Если мне необходимо составное число из трехсот цифр, я знаю, что нужно делать: просто перемножать кучу небольших чисел, пока не доберусь до трех сотен цифр. Но простые числа – как раз те, которые не состоят из таких мелких строительных блоков. С чего вообще начинать?
Это один из вопросов, которые мне часто задают как преподавателю математики: «С чего же начинать?» Я всегда рад слышать такой вопрос независимо от того, насколько озадаченным выглядит ученик, ведь подобный вопрос – это возможность преподать один урок, суть которого состоит в следующем: не так важно то, с чего вы начинаете, как то, что вы уже начали. Пробуйте что-нибудь. Может не сработать. Тогда пробуйте что-нибудь еще. Учащиеся часто растут в мире, где просят решить математическую задачу по фиксированному алгоритму. Если вас попросят перемножить два трехзначных числа, то вы умножите первое число на последнюю цифру второго, запишете результат и т. д.
Реальная математика (как и настоящая жизнь) не имеет с этим ничего общего. Там сплошные пробы и ошибки. На этот метод часто смотрят свысока, вероятно из-за слова ошибка. Но в математике не боятся ошибок. Ошибки – это отлично! Ошибка – это просто возможность проверить еще одну версию.
Итак, вам нужно трехсотзначное простое число. «С чего начать?» Со случайного выбора числа из трехсот цифр. «Откуда мне знать с какого?» Серьезно, это неважно. «Ладно, тогда как насчет единицы с тремястами нулями после нее?» Ну хорошо, не с этого, потому что оно явно четное, а четное число (за исключением 2) не может быть простым, потому что разлагается на множители – 2 и еще какое-то число. Это ошибка, переходим к следующей попытке. Возьмите другое число с тремя сотнями цифр, на этот раз нечетное.
Итак, теперь ваше число, насколько вы можете видеть, простое. По крайней мере вы не видите явных причин, почему это не так. Но как в этом убедиться? Можно махнуть топором разложения на множители и посмотреть, что будет. Делится на 2? Нет. А на 3? Нет. На 5? Нет. Прогресс наметился, но вы снова упираетесь в возраст Вселенной. На практике вы не сможете проверить таким способом, простое ли число, как не сможете решить шахматы, обозначив буквами В, П и Н все ветви шахматного дерева.
Существует способ лучше, но придется задействовать другую геометрию – геометрию окружности.
Перед вами браслет: семь камней, расположенных по кругу, – несколько опалов и несколько жемчужин[250].
Вот еще три браслета.
А вот все браслеты с четырьмя камнями.
Их шестнадцать. Вы можете пересчитать браслеты на рисунке и убедиться, что я ничего не пропустил, но существует и более причудливый способ. Начиная сверху и двигаясь по часовой стрелке, мы получаем два варианта выбора для первого камня: это либо опал, либо жемчужина. Для каждого из этих двух вариантов есть два способа выбрать второй камень; следовательно, два камня мы можем выбрать четырьмя способами. Для каждого из этих четырех способов у нас есть два варианта выбрать третий камень, то есть всего получается восемь вариантов выбрать три камня. И наконец, для каждого из этих восьми вариантов последний камень может оказаться опалом или жемчужиной, так что в итоге получаем 2 × 2 × 2 × 2 = 16.
Ну, или можно просто посчитать! Однако преимущество нашего причудливого способа в том, что это рассуждение можно перенести на другие браслеты, например на изображенный выше браслет из семи камней. Число способов его изготовить 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128, и мой фломастер не настолько тонок, чтобы уместить все эти варианты на одной странице.
Однако я уже слышу, как вы говорите: а не нарисовано ли тут больше браслетов, чем надо? Посмотрите на первый и третий браслет с семью камнями: третий получится, если вы повернете первый на две позиции по часовой стрелке. Это действительно другой браслет или тот же, если смотреть на него под другим углом?
Пока будем придерживаться версии, что браслеты разные, если они выглядят на странице по-разному. Однако не забудьте об идее вращения. Мы могли бы назвать два браслета конгруэнтными, если один можно повернуть и получить второй (разумеется, это означает, что второй тоже можно повернуть так, чтобы получился первый)[251].
Может, давайте красиво расположим все браслеты в витрине по конгруэнтности? Каждый браслет можно повернуть семью способами, поэтому группируем все 128 браслетов блоками по семь штук. Сколько будет блоков? Поделим 128 на 7 и получим 18,2857142…
Ура, снова ошибка! Что-то пошло не так, поскольку 128 не делится на 7.
Проблема возникла из-за некоторых браслетов, которые я не нарисовал. Например, вариант исключительно из опалов.
Семь вращений этого браслета дадут тот же самый браслет! Поэтому это не группа из семи предметов, а группа из одного предмета. Браслет исключительно из жемчужин тоже образует собственную группу.
А могут быть другие группы меньшего размера? Конечно. Вот эти два браслета из четырех камней образуют собственную группу.
Причина в том, что поочередное расположение опал – жемчужина повторяет себя при двух поворотах. Поэтому вы получите из первоначального браслета не четыре разных расположения, а только два.
Однако для браслета с семью камнями это не так. Включите воображение и представьте, что у вас есть браслет с семью камнями, который можно повернуть три раза и получить исходный. Тогда у вас группа из трех предметов: исходный браслет; браслет, повернутый один раз; браслет, повернутый дважды. Погодите, а если некоторые из них будут одинаковыми? Чтобы избавиться от этого неприятного варианта, давайте предположим, что три – это наименьшее число поворотов, которое возвращает браслет в первоначальное положение[252].
Если тройной поворот возвращает нас к исходному браслету, то аналогичный возврат будет происходить после шести и девяти поворотов. Но теперь у нас возникает проблема, потому что семь поворотов браслета однозначно переводят его в первоначальное положение, так что девять поворотов – это то же самое, что и два поворота; однако два поворота не могут перевести браслет в исходное положение, поскольку мы только что предположили, что для этого нужно не менее трех поворотов.
И мы опять ощущаем острый привкус противоречия.
Возможно, начинать с числа 3 было неудачной идеей? Что, если в группе пять элементов, то есть пять – это наименьшее количество поворотов, восстанавливающих исходный браслет? Но тогда десять поворотов тоже его восстановят, а десять поворотов – то же самое, что и три. Снова противоречие?! А если два поворота? Это срабатывало для браслета с четырьмя камнями. Если два поворота восстанавливают исходный браслет, то это же сделают четыре, шесть и восемь поворотов, но восемь – ой-ой-ой – то же самое, что и один поворот.
У нас не было такой проблемы с четырьмя камнями. Вы дважды поворачиваете браслет и получаете исходный, поворачиваете четыре раза и тоже получаете исходный. Однако никакого противоречия тут нет, потому что четыре поворота вернут вас в начало. Все у вас выходит, поскольку четыре кратно двум. А проблемы с семью камнями возникают, потому что семь не делится на три, пять или на два. Семь вообще ни на что не делится, потому что семь – простое число.