Помните, что мы изначально говорили о простых числах?
Кстати, этот принцип может многое рассказать нам о цикадах. Каждые 17 лет мой родной штат Мэриленд буквально оккупирует большой восточный выводок: из-под земли появляются сотни миллиардов насекомых, покрывающих землю стрекочущим ковром. Какое-то время вы пытаетесь на них не наступать, но потом сдаетесь, потому что их слишком много.
Но почему 17? Многие специалисты по цикадам (этих специалистов гораздо больше, чем вы думаете, и, буду с вами честен, они давно ведут по этому поводу жаркие споры, проявляя удивительную изобретательность в издевательствах над чужими гипотезами о периодичности цикад) говорят, что цикады считают под землей до семнадцати, потому что 17 – простое число. Например, если бы они появлялись на поверхности раз в 16 лет, то можно было бы вообразить хищника, который эволюционировал бы так, чтобы активно размножаться раз в 8, 4 и 2 года, чтобы у него при каждом появлении имелось достаточное количество пищи[253]. Однако ни одна голодная ящерица или птица не может синхронизироваться с большим восточным выводком[254], если только у нее самой не будет периода длиной в 17 лет[255].
Когда я говорю, что 7 (как 5, 17 или 2) не делится ни на что, я преувеличиваю: конечно же, 7 делится на 1 и на 7. Поэтому существуют два вида групп браслетов: группы по семь браслетов и группы по одному браслету. И в группе из одного браслета все камни должны быть одинаковыми, поскольку любой поворот оставляет браслет без изменений.
Таким образом, полностью опаловый и полностью жемчужный браслет – единственные две группы из одного браслета; остальные 126 браслетов разбиваются на группы по семь. Вот теперь все получается, потому что 126 / 7 = 18 групп.
Что, если мы перейдем к 11 камням? Общее количество браслетов вычисляется путем перемножения одиннадцати двоек, то есть равно 211 = 2048. Опять же, есть только два однородных браслета, а остальные 2046 распадаются на группы по 11; если быть точным, то таких групп 186. Вы можете продолжать аналогичным образом:
213 = 8192 = 2 + 630 × 13;
217 = 131 072 = 2 + 7710 × 17;
219 = 524 288 = 2 + 27594 × 19.
Заметили, что я пропустил 15? Я сделал это, во-первых, потому что оно составное, 15 = 3 × 5, а во-вторых, потому что оно не сработает! 215 – 2 = 32 766, и это число не делится на 15 нацело. (Энтузиасты поворачивания браслетов могут самостоятельно проверить, что 32 768 браслетов можно разделить на 2 группы по одному браслету, 2 группы по три, 6 групп по пять и 2182 группы по пятнадцать браслетов).
Вы думаете, что мы дурачились с вращающимися браслетами? Но на самом деле мы использовали геометрию окружности и ее вращение, чтобы доказать факт о простых числах, который на первый взгляд совершенно не выглядит геометрическим. Геометрия скрыта повсюду, в самой сути вещей.
Наше наблюдение о простых числах – это не просто факт, а факт с именем: его называют малой теоремой Ферма в честь Пьера де Ферма – первого человека, который его записал[256]. Какое бы простое число n вы ни взяли, каким бы большим оно ни было, 2 в n-й степени будет на 2 больше, чем число, кратное n (при делении 2 в n-й степени на n получится остаток 2).
Ферма не был профессиональным математиком (во Франции XVII века таких людей практически не существовало). Провинциальный юрист, советник парламента в Тулузе, он жил вдали от центра событий в Париже и участвовал в научной жизни того времени в основном путем переписки со своими современниками-математиками. Впервые он сформулировал малую теорему в 1640 году[257] в письме Бернару Френиклю де Бесси, с которым активно обменивался мнением о совершенных числах[258]. Ферма изложил теорему, но не привел ее доказательства, написав Френиклю, что включил бы его в письмо, «если бы оно не было таким длинным»[259]. Это классический прием Пьера де Ферма. Если вы слышали его имя, то, скорее всего, в связи не с малой теоремой, а с Великой (или Последней) теоремой Ферма, которая вообще была и не теоремой, и не последней в его жизни. Это было предположение о числах[260], записанное на полях экземпляра «Арифметики» Диофанта примерно в 1630-х годах. Ферма отмечал, что придумал поистине удивительное доказательство, но поля книги слишком малы, чтобы его вместить. В конце концов Великая теорема Ферма действительно оказалась теоремой, но это выяснилось только в 1990-х годах, когда Эндрю Уайлс и Ричард Тейлор наконец завершили ее доказательство[261].
Один из способов это принять – согласиться с тем, что Ферма был своего рода провидцем, умеющим делать правильные математические утверждения без их доказательства – примерно так, как талантливый шашист может интуитивно ощущать правильность хода, не просчитывая всей дальнейшей последовательности ведущих к победе ходов. Но лучше все же предположить, что Ферма был обычным человеком, причем не всегда внимательным! Несомненно, Ферма быстро понял, что у него нет доказательства так называемой Великой теоремы, поскольку позднее писал о ее частных случаях и больше никогда не заявлял, что знает доказательство в общем случае. Французский специалист по теории чисел Андре Вейль[262] писал о преждевременном заявлении Ферма: «Едва ли могут оставаться[263] какие-то сомнения, что это произошло из-за некоторого недопонимания с его стороны, хотя, по иронии судьбы, известность Ферма среди некомпетентных людей опирается именно на это».
В конце письма Френиклю Ферма выражает убеждение, что все числа вида 22n + 1 являются простыми, и, как обычно не предлагая доказательства, уточняет: «Я в этом почти убежден», проверив это утверждение, когда n равнялось 0, 1, 2, 3, 4 и 5. Но Ферма ошибался. Его предположение не выполняется для всех чисел, даже для 5! Он не заметил, что число 4 294 967 297, которое он счел простым, на самом деле составное и равно 641 × 6 700 417. Френикль тоже не заметил ошибки Ферма (очень жаль, поскольку по тону писем понятно[264], что он действительно стремился опровергнуть своего более именитого корреспондента), и Ферма придерживался этого мнения до конца жизни, по-видимому не утруждая себя проверкой первоначально проделанных арифметических исследований. Иногда вещи кажутся правильными; но даже если ты математик масштаба Ферма – не все, что кажется правильным, таковым является[265].
Теорема о браслетах позволяет проверить, является ли простым некое число, подобно тому как вышибала проверяет гостей у дверей фешенебельного клуба. Если у входа в шикарном костюме появляется число 1 020 304 050 607 и пытается пройти, то мне понадобится некоторое время, чтобы удостовериться в его праве (я буду пробовать делить его на 2, 3, 5, 7 и так далее). Однако гораздо легче возвести число 2 в степень 1 020 304 050 607, вычесть 2 и проверить, разделится ли результат на 1 020 304 050 607[266]. Если нет, то это означает, что число 1 020 304 050 607 – точно не простое, и я могу выпроводить его своей мускулистой рукой.
Однако здесь есть странность: мы, несомненно, доказали, что число 1 020 304 050 607 разбивается на меньшие множители, но это доказательство не дает никаких подсказок, какие именно это множители! (Это хорошо; вспомните, что вся система криптографии с открытым ключом основана на сложности поиска таких множителей.) К подобным «неконструктивным доказательствам» требуется привыкнуть, но в математике они встречаются повсеместно. Такое доказательство в чем-то сродни автомобилю, внутри которого каждый раз сыро во время дождя[267]. По наличию воды и запаху вы понимаете, что где-то протекает. Но доказательством, как ни досадно, будет сам факт существования протечки, а не то, где именно она находится.
Нам нужно вникнуть еще в одну важную особенность этого доказательства. Если ваши коврики влажные во время дождя, то протечка есть; но это не значит, что если они сухие, то протечки нет! Протечка может быть в другом месте, или ваши коврики могут очень быстро сохнуть. Можно сделать два различных утверждения.
Если ваши коврики влажные, протечка есть.
Если ваши коврики сухие, протечки нет.
В терминах логики второе утверждение называется противоположным первому. Существуют и другие варианты.
Обратное утверждение. Если в автомобиле есть протечка, то коврики на полу будут влажными.
Контрапозитивное утверждение. Если в автомобиле нет протечки, то коврики будут сухими[268].
Исходное утверждение эквивалентно своему контрапозитиву; это просто два разных набора слов, выражающих одну и ту же идею, словно 1/2 и 3/6 или «величайший шорт-стоп в моей жизни» и «Кел Рипкен – младший»[269]. Вы не обязаны соглашаться ни с тем, ни с другим, но если соглашаетесь с одним, то вынуждены согласиться и с другим. Однако утверждение и обратное утверждение – две совершенно разные вещи. Может оказаться, что оба истинны, оба ложны или одно истинное, а другое ложное.