Эти заостренные «морские звезды» представляют собой концентрические окружности, которые обозначают точки, находящиеся ровно в десяти, двадцати, тридцати, сорока и пятидесяти минутах езды на трамвае от их общего центра – площади Пикадилли-Гарденс в Манчестере (Англия). Карты такого рода называются изохронными[317].
Различная геометрия города дает различные виды окружностей. На Манхэттене (слоган: «Я здесь хожу!») люди перемещаются пешком, и, если кто-то спрашивает вас, как далеко вы от дома, вы называете число кварталов. Окружность из точек, находящихся на расстоянии четырех кварталов от центра, выглядит как квадрат, поставленный на один из своих углов.
(Смотрите, мы таки умудрились квадрировать круг!) И любая изохронная карта покажет кучу концентрических квадратов, которые в данном контексте представляют собой окружности вокруг центральной точки.
Везде, где есть понятие расстояния, есть и понятие геометрии, и сопутствующее понятие окружности. Например, мы привыкли к словосочетанию «дальний родственник» и из геометрии генеалогического древа можем вывести это понятие расстояния. Вы со своим братом или сестрой находитесь друг от друга на расстоянии 2, потому что, для того чтобы добраться от вас до него или до нее, нужно подняться на одну ветвь к одному из родителей, а затем спуститься на один шаг к своему брату/сестре.
Расстояние до вашего дяди равно 3: сначала один шаг до вашего родителя, который, как мы только что выяснили, находится на расстоянии 2 от своих брата или сестры. Расстояние до вашего двоюродного брата (или двоюродной сестры) равно 4: два шага до бабушки или дедушки, а потом два до кузена или кузины. Вы можете аналогично поступить для любого уровня родства и получить красивую формулу:
расстояние до вашего n-юродного брата = 2n,
поскольку n-юродный брат – это человек, с которым у вас общий предок находится на n уровней выше вас.
Вы являетесь собственным нольюродным братом, поскольку ваш общий родственник – это вы и есть, ноль шагов вверх! (То же самое говорит и формула: расстояние от вас до себя равно 2 × 0 = 0.) Что касается ваших родителей, то у них нет общего предка (если только они не из истинно аристократического клана), зато есть общий родственник – вы! – ниже по дереву, так сказать, на – 1 уровень вверх. Так что ваши родители друг другу – «минус-одноюродные» брат и сестра. Ваша минус-двоюродная сестра – это человек, с кем у вас общий внук, например теща вашего сына. Такие сложные отношения, называемые «самдхи» на хинди, «консуэгро» на испанском, «атони» на языке кикамба (на котором говорит народ камба в Кении), «мехутаним» на иврите и «махатунем» на идише[318], не имеют названия в английском языке, который бедноват в сфере именования родственных отношений.
Если представить людей своего поколения из моей семьи в виде точек на некоторой плоскости, то круг радиуса 2 будет включать меня и всех моих родных братьев и сестер[319]; круг радиуса 4 – меня, всех моих братьев и сестер и всех двоюродных братьев и сестер; круг радиуса 6 – всех вышеперечисленных плюс моих троюродных братьев и сестер. И здесь мы видим очаровательно странную особенность «кузеновой» геометрии. Как выглядит круг радиуса 4 вокруг моей двоюродной сестры Дафны? В него входит Дафна, ее родные и двоюродные братья и сестры – другими словами, все внуки моих общих с Дафной бабушки и дедушки. Но ведь это в точности тот же круг радиуса 4, что и у меня! Так кто же находится в его центре – я или Дафна? Никуда не денешься – мы оба. В этой геометрии каждая точка круга является его центром.
Треугольники в «кузеновой» плоскости тоже отличаются от тех, к которым мы привыкли. Мы с сестрой находимся на расстоянии 2 друг от друга, и каждый из нас находится на расстоянии 4 от нашей кузины Дафны, – следовательно, мы образуем равнобедренный треугольник. Представьте себе: любой треугольник в этой плоскости – равнобедренный. Предлагаю вам самостоятельно убедиться, что это так. Странные геометрии наподобие этой называются неархимедовыми. Они могут показаться уродливыми научными курьезами, тем не менее встречаются в математике регулярно. Например, существует «2-адическая» геометрия целых чисел, в которой расстояние между двумя числами – величина, обратная наибольшей степени двойки, на которую делится их разность. Серьезно, оказывается, это хорошая идея.
Практически не бывает настолько абстрактных контекстов, чтобы там нельзя было изобрести понятие расстояния, а за ним и сопутствующую геометрию. Дмитрий Тимочко, теоретик музыки из Принстона, пишет целые книги о геометрии аккордов[320] и о том, как композиторы инстинктивно подбирают кратчайшие пути от одного музыкального положения к другому. Даже язык, на котором мы говорим, обладает определенной геометрией, и ее построение ведет нас к карте всех слов.
Представьте, что кто-то пытается вам описать, как выглядит штат Висконсин, сообщив список городов и указав расстояние между любыми двумя из них. Да, в принципе это скажет вам, какую форму имеет Висконсин и как в нем располагаются города. Однако на практике ни один человек (даже такой любитель чисел, как я) не сможет ничего сделать с длинным списком названий и чисел. Наши глаза и мозг воспринимают информацию в форме карт.
Кстати, не совсем очевидно, что эти расстояния опишут вам форму карты! Предположим, в Висконсине всего три города. Знание расстояний между любыми двумя из них означает, что у нас есть длины трех сторон треугольника, а согласно упоминавшемуся в главе 1 утверждению Евклида, если вы знаете три стороны треугольника, то знаете и его форму. Однако куда больше усилий нужно, чтобы доказать, что можно восстановить форму, образованную произвольным множеством точек, если вы знаете расстояния между любыми двумя из них[321]. Мы с вами на основе этих данных можем составить разные карты, но мою карту можно будет перевести в вашу с помощью движения – переноса и поворота, без изменения формы[322].
Зачем представлять форму Висконсина в таком сложном для улавливания табличном виде, когда карты уже существуют? Незачем. Однако для других – негеографических – сущностей мы можем ввести понятие расстояния и с его помощью создать новые виды карт. Например, мы могли бы составить карту индивидуальных черт личности. Что бы мы подразумевали под расстоянием между двумя чертами? Самый простой способ – спросить людей. В 1968 году[323] психологи Сеймур Розенберг, Карнот Нельсон и П. С. Вивеканантан раздали студентам колледжа пакеты из 64 карточек с различными чертами и попросили сгруппировать карточки так, чтобы в одной группе оказались черты, которые, по их мнению, могут принадлежать одному человеку. Тогда расстояние между двумя чертами можно определить по частоте, с которой студенты объединяли соответствующие карточки. Слова reliable («надежный») и honest («честный») часто встречались вместе, потому что они близки по смыслу; а слова good-natured («добродушный») и irritable («раздражительный») – реже, потому что плохо сочетаемы и должны располагаться подальше друг от друга[324].
Как только получите такие числа, можете попробовать составить карту черт личности, чтобы расстояние между ними на бумаге соответствовало расстояниям, установленным в эксперименте.
Возможно, у вас не выйдет! А вдруг вы обнаружите, что любые два слова из набора reliable («надежный»), finicky («разборчивый»), sentimental («сентиментальный») и irritable («раздражительный») находятся на одинаковом расстоянии друг от друга? Вы можете попытаться расположить четыре точки на плоскости на одинаковых расстояниях друг от друга, но у вас ничего не получится. (Я настоятельно рекомендую действительно попробовать это сделать, чтобы ваша геометрическая интуиция осознала, почему это невозможно.) Одни множества расстояний можно передать на плоскости, другие – нет. Существует так называемый метод многомерного шкалирования, который позволяет нарисовать карту, если вы соглашаетесь, чтобы расстояния на ней только приблизительно соответствовали найденным. (Кстати, вам нужно быть готовым к тому, что студенты колледжа, участвующие в психологических экспериментах за деньги на пиво, не обеспечивают точность на уровне электронного микроскопа.) Вы получите следующую картину:
Думаю, вы согласитесь, что эта схема отражает кое-что в геометрии личности. (Оси на рисунке нарисованы исследователями: это их интерпретация того, что на этой карте в действительности означают направления[325].)
Кстати, в трех измерениях сделать одинаковыми все шесть расстояний очень просто: вы размещаете четыре точки в вершинах правильного тетраэдра.
Чем больше размерность пространства, тем точнее вы сможете разместить на своей карте точки так, чтобы расстояния между ними соответствовали измеренным. Это означает, что данные могут сказать вам, в пространстве какой размерности они «хотят» быть[326]. Политологи определяют сходство между членами конгресса на основе их голосования, затем помещают конгрессменов на карту так, чтобы рядом оказались голосовавшие аналогичным образом. Знаете, какая размерность пространства нужна, чтобы вполне качественно расположить американских сенаторов в соответствии с их голосованиями? Всего единица. Вы можете расставить[327]