R0 будет меньше 1, то каждую неделю будет все меньше и меньше случаев заболевания, и эпидемия экспоненциально пойдет на убыль. Вам не нужно полностью останавливать передачу, достаточно остановить ее в соответствующей степени.
Именно эту идею продвигал Росс в 1904 году на выставке в Сент-Луисе. С помощью рассуждений о случайном блуждании он хотел показать, что, после того как количество комаров в какой-то местности уменьшится, потребуется довольно много времени, чтобы туда залетело достаточное количество анофелесов, чтобы ситуация снова преодолела эпидемический порог.
Это также ключевая идея в борьбе с COVID-19. Хорошо, что нам не обязательно полностью устранять вероятность передачи болезни; это и невозможно. Контроль над эпидемией – это не перфекционизм.
Весной 2020 года, в самом начале пандемии COVID-19 в Соединенных Штатах, болезнь явно демонстрировала признаки плохой геометрической прогрессии. Число случаев COVID-19 росло примерно на 7 % в день. Это означало, что каждую неделю их количество увеличивалось в 1,07 × 1,07 × 1,07 × 1,07 × 1,07 × 1,07 × 1,07 ≈ 1,6 раза, то есть примерно на 60 %. Если бы так продолжалось и дальше, то 20 000 подтвержденных случаев в день в конце марта превратились бы в 32 000 в первую неделю апреля и в 420 000 в середине мая. Через сто дней, в начале июля, получилось бы по 17 миллионов новых случаев ежедневно.
Видите здесь проблему? Вы не можете поддерживать темп в 17 миллионов новых случаев каждый день, потому что тогда через три недели количество зараженных американцев станет больше, чем общее число американцев. Именно подобные чересчур легкомысленные рассуждения привели к тому, что одна отважная группа исследователей во главе с Мартином Мельцером из агентства CDC[374] написала в 2001 году после терактов 11 сентября, что преднамеренное распространение вируса оспы в Соединенных Штатах может всего за год привести к 77 триллионам заражений[375]. (Один из коллег заметил: «Время от времени доктор Мельцер теряет контроль над своим компьютером»[376].)
Что-то неладно в нашей истории с геометрической прогрессией.
Вернемся к магическому числу R0, которое показывает, сколько новых заражений генерирует один инфицированный человек. R0 – это не константа. Число зависит от биологических характеристик конкретной инфекции (которые могут отличаться для разных штаммов), от количества людей, с которыми ежедневно сталкивается больной во время периода заразности (можем ли мы его сократить при соответствующем лечении?), и от того, что происходит во время таких встреч. Стоят ли люди близко друг к другу или соблюдают дистанцию в шесть футов[377] согласно нынешним рекомендациям? Носят маски или нет? Встречаются на улице или в плохо проветриваемом помещении?
Однако даже в случае, когда в болезни или поведении людей ничего не изменилось, показатель R0 со временем меняется[378]. У вируса просто заканчиваются объекты для заражения. Например, предположим, что мы достигли точки, когда инфицировано уже 10 %. Больной может беспечно и бессимптомно резвиться, как обычно, и по-прежнему кашлять рядом с тем же количеством людей, что и раньше, но теперь каждый десятый из них либо уже болен, либо выздоровел, а значит, имеет иммунитет против повторного заражения[379]. Поэтому в течение периода заразности человек инфицирует в среднем уже не двух человек, а только 90 % от этого числа, то есть 1,8. Когда заражено 30 % населения, R0 падает до 0,7 × 2 = 1,4. Если же заражено 60 %, то R0 становится 0,4 × 2 = 0,8, и мы пересекаем критический уровень. Теперь R0 не больше, а меньше 1, и мы движемся по хорошей геометрической прогрессии, а не по плохой.
На самом деле доля инфицированных может даже не достигать 60 %. Давайте обозначим ее P. Тогда наш новый R0 = (1 – P) × 2, и, как только это число будет меньше 1, эпидемия начинает экспоненциально затухать. Это случится, когда 1 – P = 1/2, откуда P = 1/2. Таким образом, эпидемия с изначальным значением R0 = 2 начнет затухать, когда половина населения заражена. Это называется коллективным иммунитетом. Эпидемия не может продолжаться, когда достаточное количество людей невосприимчивы к болезни. Однако это «достаточное количество» зависит от исходного значения R0. Если оно, как в случае кори, равно 14, то вам понадобится (1 – P) = 1/14, а это означает, что иммунитет должен выработаться у 93 % населения; вот почему даже небольшое количество детей, не делающих прививку от кори, становится причиной уязвимости населения ко вспышке заболевания. Для болезни с более умеренным R0 = 1,5 ситуация разворачивается при заражении 33 %. Если предположение, что для COVID-19 значение параметра R0, лежащее между 2 и 3, справедливо, то нынешняя пандемия пойдет на спад, когда затронет от половины до 2/3 населения планеты[380].
Но это масса людей, болезней и удручающее число смертей. Поэтому эпидемиологи мира, расходясь во многих существенных деталях, в целом единодушны в том, что нельзя пускать дело на самотек. Нет, нет и еще раз нет!
Проще всего, если вы увлекаетесь математикой, думать о пандемии как о кривой, нарисованной на миллиметровке или на экране, с числами, отражающими абстрактные величины, изменяющиеся во времени. Однако нельзя забывать, что они отображают реальных людей, которые заболели или умерли. Поэтому нужно периодически останавливаться и думать об этих людях. Один из них – Джон Хортон Конвей – умер от COVID-19 11 апреля 2020 года. Он был геометром[381] и много чем еще занимался, однако почти вся его математика так или иначе включала рисование картинок.
Я познакомился с Конвеем во время своей постдокторантуры в Принстоне и постоянно задавал ему вопросы по математике. У него всегда находился развернутый, информативный и поучительный ответ, хотя он никогда непосредственно не отвечал на тот вопрос, что я задал. Тем не менее я многому у него научился! Конвей не усложнял жизнь намеренно, просто таков был его образ мышления – скорее ассоциативный, чем дедуктивный. Вы спрашивали его о чем-то, а он рассказывал, о чем напомнил ему ваш вопрос. Если вам требовалась конкретная информация, ссылка или утверждение теоремы, вас ожидал долгий окольный путь с неизвестным местом назначения. Офис Конвея был забит забавными головоломками, играми и игрушками, которые в известном смысле были развлечением, но одновременно и частью его математики. Казалось, он думал о математике всегда. Однажды прямо посреди улицы его посетила идея какой-то теоремы из теории групп, и в результате его сбил грузовик. Впоследствии он называл эту теорему «орудием убийства»[382].
Все математики воспринимают математику как своеобразную игру, но Конвей был уникален в своем упорстве воспринимать игру как своеобразную математику. Он был заядлым изобретателем игр[383] и любил давать им забавные названия: Col, Snort, Loony, Dud, Sesqui-up, Phutball[384]. Однако это было не развлечение ради развлечения. Из развлечений он выстраивал теорию. Мы уже встречались с его математическими играми в этой книге: именно Конвей разработал представление об играх класса «Ним» как о своего рода числах; и его коллега Дональд Кнут использовал эту идею в написанной в 1974 году книге с крайне экстремальным для того времени названием Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned On to Pure Mathematics and Total Happiness («Сюрреальные числа»[385]). Книга написана в виде диалога двух студентов, которые натолкнулись на священный текст, излагающий теорию Конвея: «Вначале везде была пустота, и Джон Хортон Конвей начал создавать числа…»[386]
Именно Конвей в конце 1960-х годов первым нарисовал на бумаге список всех узлов с одиннадцатью или меньшим числом пересечений; он разработал собственную систему записи (изобрел множество собственных обозначений) для небольших частей узла, где переплетаются нити (Конвей назвал их плетениями[387]).
Один из узлов реестра Конвея впоследствии получил его имя – это тот самый упоминавшийся уже нами узел, о котором нейронная сеть заявила, что его трудно понять, а Лиза Пиччирилло тем не менее доказала о нем теорему.
Конвей, пожалуй, наиболее известен в мире за пределами теоретической математики благодаря игре «Жизнь» – простому алгоритму, создающему невероятно сложные и постоянно меняющиеся конфигурации, которые выглядят практически как живые – отсюда и название[388]. Однако его раздражала такая слава, поскольку он считал игру «Жизнь» (справедливо) гораздо менее глубокой, чем большая часть его математических результатов. Поэтому я закончу не игрой «Жизнь», а одной из моих любимых теорем – действительно геометрической теоремой, которую Конвей доказал вместе с Кэмероном Гордоном в 1983 году