вирусным, хотя на самом деле все слухи вирусные! Просто одни вирусы заразнее других.
Разностные уравнения подходят не только для моделирования заболеваний. Они лежат в основе целого множества последовательностей, интересных с точки зрения математики. Любите арифметические прогрессии? Можете получить одну из них, предположив, что разность – это фиксированное число:
А(завтра) – А(сегодня) = 5,
и получите (если начнете с 1) последовательность 1, 6, 11, 16, 21…
Если хотите получить геометрическую прогрессию, нужно взять разность, которая пропорциональна текущему значению, скажем:
А(завтра) – А(сегодня) = 2 × А(сегодня),
что дает последовательность 1, 3, 9, 27, 81 и т. д., в которой каждый член втрое больше предыдущего. Вы можете взять любое разностное уравнение, какое захотите! Например, возможно, по каким-то причинам вам захотелось, чтобы разность была квадратом текущего значения:
А(завтра) – А(сегодня) = А(сегодня)2,
что приводит к весьма быстро растущей последовательности 1, 2, 6, 42, 1806… Такого рода прогрессии не были известны Платону, их гораздо больше знает «Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей» (OEIS), которая одновременно является важным исследовательским инструментом и невероятно успешным средством прокрастинации для всех известных мне математиков. Этот проект запустил математик Нил Слоун[402] в 1965 году: сначала на перфокартах, затем в виде бумажной книги, а потом и онлайн. Вы можете задать машине список целых чисел, а она выдаст вам все, что математический мир знает о нем. Например, вышеприведенная последовательность – это последовательность A007018 в OEIS, и я узнал, что ее n-й член – это «число упорядоченных деревьев, имеющих узлы с полустепенью исхода 0, 1, 2, и таких, что все листья находятся на уровне n». (Снова деревья!)
Если вы хотите несколько усовершенствовать модель (а при моделировании болезней с претензией на реализм, вероятно, так и есть), можно сделать так, чтобы разность между сегодняшней и завтрашней ситуацией зависела не только от произошедшего сегодня, но и от того, что происходило вчера. Попробуем так:
A(завтра) – A(сегодня) = A(вчера).
Чтобы начать вычисления, нам нужны данные за два первых дня. Если и сегодняшнее, и вчерашнее значение равно 1, то завтра будет 1 + 1 = 2. Еще через день A(сегодня) = 2, A(вчера) = 1, поэтому A(завтра) = 3. Эта последовательность продолжается так:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…
где каждый член – сумма двух предыдущих. Это последовательность Фибоначчи, или A000045 в OEIS, и она настолько знаменита, что ей посвящен целый математический журнал.
Вам может быть неясно, откуда в реальном мире возьмется процесс, порождающий такое разностное уравнение. Сам Леонардо Фибоначчи в своей «Книге абака» в 1202 году предложил эту последовательность на основании совершенно неубедительной биологической модели размножающихся кроликов. Но есть и более древний и хороший способ! Я узнал о нем от Манджула Бхаргавы – не только выдающегося специалиста по теории чисел, но и серьезного исследователя классической индийской музыки и литературы. Он играет на табле[403] и знает поэзию на санскрите. Как и в английском языке, метрическая структура стихов на санскрите определяется различными типами слогов. В англоязычной поэзии мы, как правило, следим за закономерностями в чередовании ударных и безударных слогов, которые называются стихотворными размерами; среди них есть ямб, когда за безударным слогом идет ударный (To BE or NOT to BE), или дактиль, где за ударным слогом следуют два безударных (THIS is the FORest priMEval). В санскритской поэзии[404] ключевое различие проводится между лагху (легким) и гуру (долгим) слогом, при этом гуру вдвое длиннее. Метр (матра-вррта[405]) – это последовательность лагху и гуру, образующих некоторую фиксированную длину. Например, если эта длина равна 2, то есть только два варианта: либо два лагху, либо один гуру.
В английском языке существует четыре способа сложить два слога: безударный – ударный (ямб), ударный – безударный (хорей), ударный – ударный (спондей[406]) или безударный – безударный, который, как я только что выяснил, называется пиррихий[407].
Если у вас три слога, то каждый из этих четырех вариантов порождает еще два: например, после хореической стопы может следовать безударный слог, что дает дактиль, а может ударный, что дает редко используемый размер под названием амфимакр. (Вероятно, самым известным примером его применения в современном американском стихосложении является слоган пива Bud Dry: Why ask why? Try Bud Dry[408].) Итак, существует восемь вариантов для трехсложного размера стиха, шестнадцать для четырехсложного, тридцать два для пятисложного и так далее.
В санскрите все гораздо запутаннее. Если три различных метра длины 3:
лагху лагху лагху;
лагху гуру;
гуру лагху;
и пять метров длины 4:
лагху лагху лагху лагху;
лагху гуру лагху;
гуру лагху лагху;
лагху лагху гуру;
гуру гуру.
Та же самая задача в музыкальных терминах: сколькими способами можно объединить половины и четверти ноты, чтобы получить целую ноту?
Сколько вариантов получится, когда длина матра-вррта равна 5? Подсказкой будет тот порядок, в котором написаны варианты выше. Такой метр может оканчиваться лагху (это значит, что этому предшествует метр длины 4, а таких метров пять) либо гуру (это значит, что перед этим находится метр длины 3, а таких метров три). Всего 5 + 3 = 8 вариантов, сумма двух предыдущих членов. И мы вернулись к последовательности Фибоначчи, или, как любит ее называть Бхаргава, последовательности Вираханки – в честь выдающегося индийского ученого, знатока литературы, религии и математики, впервые нашедшего эти числа (за пять столетий до того, как Фибоначчи задумался над своими кроликами).
В SIR-модели мы отошли от строгой геометрической прогрессии, но не от философии, что все, что происходит сегодня, произойдет и завтра. Нам просто нужно интерпретировать это несколько шире. В арифметической прогрессии ежедневное увеличение одинаково, в геометрической – разное, но оно одно и то же, если считать его в долях от сегодняшнего числа. Правило расчета ежедневного прироста завтра будет таким же, как сегодня. Согласно нашей модели, завтра случится то, что наша гудящая машина произведет из того, что случилось сегодня. Скорость роста может разниться день ото дня, но машина всегда одна и та же.
Такой взгляд на вещи делает нас наследниками и преемниками Исаака Ньютона. Его первый закон утверждает, что тело продолжит двигаться с той же скоростью и в том же направлении, если к нему не будет приложена какая-нибудь сила. Завтра движение будет таким же, как и сегодня.
Однако большинство интересующих нас объектов не двигаются сквозь не дающий трения вакуум по вечной неизменной линии. Подбросьте вертикально теннисный мяч, он пролетит какое-то расстояние, достигнет максимальной точки и начнет опускаться, как наш график инфицирования. Это приводит нас ко второму закону Ньютона, описывающему поведение тел при приложении к ним какой-нибудь силы, например гравитации.
С доньютоновской точки зрения поведение теннисного мяча постоянно меняется. Однако характер этих изменений один и тот же! Если вы подбросили мяч вертикально, его вертикальная скорость через секунду будет на 9,8 м/с меньше. Для движения вниз все наоборот: через секунду скорость мяча в том же направлении будет на 9,8 м/с больше, чем сейчас.
Если вам нужен более единообразный способ это сказать, то можете (и должны!) думать о движении вниз со скоростью 20 м/с как о движении вверх со скоростью –20 м/с. Соответственно, если мяч падает и сейчас его скорость – 20 м/с, то через секунду его скорость будет – 29,8 м/c. Это поначалу путает людей при столкновении с отрицательными числами: когда вы уменьшаете отрицательное число, оно каким-то образом становится больше!
Разница между скоростью сейчас и скоростью через секунду – всегда 9,8 м/с, потому что сила, действующая на теннисный мяч, всегда одна и та же: тяготение Земли. Это еще одно разностное уравнение! Скорость мяча не постоянна в разные секунды времени, но разностное уравнение, предсказывающее будущее поведение скорости, остается тем же[409]. Подбросьте мяч на Венере – и получите другое разностное уравнение[410], но суть останется прежней. Что происходит сейчас, произойдет и через секунду.
Если вы, конечно, не ударите по мячу! Подобные модели предсказывают поведение системы в фиксированных условиях. Встряска или даже легкое вмешательство (например, атмосферы) меняют эти условия, и, соответственно, меняется и прогноз. Реальные системы подвержены множеству всевозможных вмешательств. Во время пандемии мы не пускаем все на самотек, а предпринимаем какие-то шаги! Однако это не делает модели бесполезными. Если мы хотим знать, что произойдет с теннисным мячом после удара, то должны иметь четкое представление, как он двигается под действием одной только силы тяжести. Модели заболеваний не предскажут будущее, поскольку не знают наших возможных действий. Однако они определенно помогут решить, что и когда нам следует делать.