Данные о COVID-19 поступают к нам ежедневно, а не ежечасно или ежеминутно. Но местоположение брошенного мяча можно измерять в гораздо более мелких временных масштабах, чем секунда. Мы могли бы спросить, как меняется скорость мяча каждые полсекунды, или каждую десятую долю секунды, или каждую пикосекунду; в максимально честолюбивом случае мы могли бы захотеть описать мгновенную скорость, с которой меняется скорость движения мяча, то есть скорость изменения скорости. Ньютон с этим справился. Суть его теории флюксий, которую мы сейчас называем дифференциальным исчислением, – разобраться в подобных вопросах. Мы не станем вдаваться в подробности, а скажем лишь то, что если в разностном уравнении сделать промежутки бесконечно малыми, чтобы адекватно описывать непрерывные изменения, то уравнение будет называться дифференциальным. Любая физическая система, эволюцию которой во времени можно описать в терминах ее текущего состояния, регулируется каким-то дифференциальным уравнением. Теннисные мячи на Венере; вода, протекающая по трубам; распространяющееся по металлическому стержню тепло; спутники, вращающиеся вокруг планет, вращающихся вокруг Солнца, – у всех есть собственное дифференциальное уравнение. Некоторые из них легко решить в явном виде, некоторые – трудно, большинство – невозможно.
Язык дифференциальных уравнений – вот что использовали в своих моделях Росс, Хадсон, Кермак и Маккендрик. Росс уехал из Сент-Луиса до того, как Анри Пуанкаре прочитал свою лекцию в последний день работы выставки 1904 года, а если бы остался, то, возможно, получил бы фору в целых десять лет для своих исследований эпидемий. Пуанкаре говорил аудитории:
Что древние подразумевали под законом?[411] Для них он был некоей внутренней гармонией, статической и незыблемой; или же моделью, которой природа старалась подражать. Для нас закон – уже совсем иное, это постоянная связь между сегодняшним и завтрашним явлением; одним словом, это дифференциальное уравнение.
Дифференциальные уравнения, которые Росс и Хадсон применяли к пандемиям, обладают критической точкой; существует пороговый уровень иммунитета – та точка коллективного иммунитета, которая разделяет два совершенно разных вида поведения. Болезнь в популяции с иммунитетом ниже этого уровня будет распространяться экспоненциально (по крайней мере, поначалу). Однако в том случае, когда иммунитет населения выше этой точки, заболевание идет на спад. Динамика двух тел в космосе подчиняется той же простой дихотомии: они либо вращаются друг вокруг друга по эллипсу, либо разлетаются по гиперболе. Однако переход от двух тел к трем порождает фантастический диапазон новых динамических возможностей. Как раз с этими дифференциальными уравнениями боролся Пуанкаре, решая задачу трех тел, сделавшую его известным. Сложное поведение, описанное Пуанкаре, стало началом новой области – теории хаоса. Когда царит хаос, малейшее возмущение текущего состояния может привести к принципиально иному будущему. Каждая точка – критическая.
Пуанкаре уже знал то, что Россу еще только предстояло изучить: дифференциальные уравнения были естественным языком для любых попыток создать что-то вроде ньютоновской физики болезней или – если учесть амбиции Росса – физики всех событий. События завтрашнего дня зависят от сегодняшних.
Глава 11. Этот ужасный закон увеличения
Совет экономических консультантов (CEA) при президенте США 5 мая 2020 года опубликовал диаграмму, отображающую количество смертей от COVID-19 на начало мая 2020 года, а также несколько потенциально возможных кривых, которые примерно соответствуют таким данным.
Одна из этих кривых, названная на диаграмме кубической аппроксимацией, представляла позицию крайнего оптимизма, показывая, что смертность от COVID-19 упадет практически до нуля за две недели. Эту кривую откровенно высмеяли, особенно после того, как выяснилось, что она исходит от советника Белого дома Кевина Хассетта. Ранее Хассетт больше всего прославился как соавтор книги Dow 36,000: The New Strategy for Profiting from the Coming Rise in the Stock Market («Доу 36 000: новая стратегия заработка на предстоящем росте фондового рынка»), опубликованной в октябре 1999 года. В ней утверждалось, что, исходя из прошлых тенденций, на фондовом рынке ожидается колоссальный рост цен. Сейчас мы знаем, что произошло с людьми, поспешившими вложить свои сбережения в компанию Pets.com. Подъем остановился вскоре после выхода книги Хассетта, а затем рынок начал падать; и только через пять лет индекс Доу – Джонса вернулся к максимуму 1999 года.
Кривая кубической аппроксимации была аналогичным завышенным обещанием. Смертность в США в мае и июне упала, но болезнь не исчезла.
С математической точки зрения в этой истории интересно не то, что Хассетт ошибся, а то, в чем именно состояла ошибка. Понять это – единственный способ овладеть умением избегать таких ошибок в будущем (помимо ограниченной в применения стратегии «не верьте Кевину Хассетту»). Чтобы выяснить, что неладно с кубической аппроксимацией, давайте обратимся к вспышке чумы крупного рогатого скота в Британии в 1865–1866 годах.
Это вирусное заболевание коров (точнее, считалось таковым до 2011 года, когда было полностью искоренено в результате многолетней кампании[412]), которому подвержены также буйволы, жирафы и другие парнокопытные. Болезнь зародилась в Центральной Азии, вероятно еще до документированной истории, и разнесена по миру гуннами и монголами. Некоторые полагают, что это пятая библейская казнь, от которой пострадали упрямые египтяне. Примерно в середине Средних веков[413] какая-то разновидность этого вируса преодолела межвидовой барьер и распространилась среди людей, ее мы сейчас называем корью. Как и корь, чума крупного рогатого скота крайне заразна, а это означает, что она может очень быстро распространиться в популяции. Партия зараженного скота прибыла в порт Халл в восточном Йоркшире 19 мая 1865 года[414]. К концу октября[415] заболело почти двадцать тысяч коров. Роберт Лоу, член парламента, а впоследствии канцлер казначейства и министр внутренних дел, предупреждал палату общин словами, которые звучат неприятно знакомо в 2020 году: «Если мы не справимся с заболеванием к середине апреля, приготовьтесь к бедствиям, выходящим за рамки любых расчетов. Вы смотрите на ситуацию в зачаточном состоянии. Подождите – и увидите, как тысячи станут десятками тысяч, поскольку нет причин, по которым ужасный закон увеличения, работавший до сих пор, не должен работать и впредь». (Лоу был знаком с математикой и разбирался в геометрической прогрессии).
С ним не согласился Уильям Фарр – ведущий британский врач середины XIX века, создатель управления демографической статистики в стране и сторонник реформ здравоохранения в густонаселенных городах. Если вы слышали это имя, то, вероятно, в связи с одним выдающимся успехом ранней эпидемиологии, когда Джон Сноу обнаружил источник лондонской вспышки холеры в 1854 году – водозаборную колонку на Брод-стрит. Правда, Фарр представлял[416] ошибавшуюся сторону этого спора – традиционную точку зрения британских медиков, что холера распространяется не живыми организмами, а забродившими миазмами от грязных вод Темзы.
Именно Фарр в 1866 году выступил против общепринятого мнения. Он написал письмо в лондонскую газету Daily News, настаивая на том, что чума крупного рогатого скота не только не угрожает уничтожить все его поголовье, но и вот-вот начнет исчезать сама. Фарр писал: «Никто не умеет высказать предложение яснее мистера Лоу, однако ясность предложения – это еще не доказательство его истинности… Математическая демонстрация допускает, что закон увеличения, который действовал до сих пор, влечет не то, что “тысячи станут десятками тысяч”, а обратное: это заставляет нас ожидать, что в марте начнется спад». Фарр сделал численные прогнозы на ближайшие пять месяцев – с точностью до одной коровы. К апрелю, по его словам, число случаев чумы должно снизиться до 5226, а к июню – всего до 16.
Парламент проигнорировал заявление Фарра, а медицинские круги отвергли его. Медицинский журнал British Medical Journal опубликовал короткий пренебрежительный ответ: «Мы рискнем сказать[417], что доктор Фарр не найдет ни одного исторического факта для подтверждения своего вывода о том, что через девять или десять месяцев болезнь может незаметно сойти на нет: может пройти по естественной кривой».
Они рискнули зря! На этот раз Фарр оказался прав. Как он и предсказал, количество случаев заболевания снизилось весной и летом, а к концу года вспышка была ликвидирована.
Фарр свел свою математическую демонстрацию к краткой сноске, правильно предположив, что читатели Daily News предпочтут не видеть голые формулы. Нам незачем быть такими осторожными. Но чтобы увидеть, что делал Фарр, мы должны вернуться к началу его карьеры. Летом 1840 года он подал руководителю службы регистрации актов гражданского состояния отчет с указанием причин и распределения 342 529 известных смертей, которые произошли в Англии и Уэльсе в 1838 году. Он убедительно хвастался, что «это более обширные сведения[418], чем когда-либо публиковавшиеся в этой или любой другой стране». Среди прочего он фиксировал смерти от рака, тифа, белой горячки, родов, голода, старости, самоубийства, апоплексического удара, подагры, водянки и чего-то с ужасающим названием «гельминтозная лихорадка доктора Масгрейва».
Фарр особо отмечает, что уровень заболеваемости туберкулезом (тогда его именовали чахоткой) у женщин выше, чем у мужчин, – как он полагает, по причине ношения корсета. Здесь перечисление статистических данных сменяется страстным призывом к реформам: «31 090 английских женщин умерли за год от этой неизлечимой болезни! Разве этот впечатляющий факт не побудит высокопоставленных и влиятельных лиц вывести своих соотечественниц из заблуждения и заставить их отказаться от практики, которая уродует тело, сдавливает грудную клетку, вызывает нервные и другие расстройства и, без сомнения, способствует появлению в теле неизлечимой чахоточной болезни? Девушки нуждаются в искусственных костях и бандажах не больше, чем юноши». (Фарр здесь не раскрывает, во всяком случае напрямую, что тремя годами ранее от туберкулеза умерла его жена.)