Этот отчет сегодня известен в основном из-за заключительного раздела, касающегося эпидемии оспы 1838 года; именно в нем Фарр впервые обращается к развитию эпидемий, которые, по его словам, «внезапно поднимаются[419], как туман с земли, и обрушивают опустошение на народы, чтобы исчезнуть так же быстро и неощутимо, как и появились». Цель Фарра как статистика – придать какой-то числовой смысл этим неосязаемым вещам, пусть даже истинные причины заболевания и неизвестны. (В одной сноске он упоминает теорию, что эпидемии вызывают «крошечные насекомые[420], передающиеся от одной особи к другой через атмосферу», однако отвергает эту гипотезу на том основании, что лучшие микроскописты того времени не наблюдали таких «анималькулюсов».)
Фарр ежемесячно записывал количество смертей от оспы, пока эпидемия не пошла на спад. Числа выглядели примерно так:
4365, 4087, 3767, 3416, 2743, 2019, 1632.
Фарр предположил, что это снижение, как и многие другие природные процессы, будет происходить по закону геометрической прогрессии, когда отношение двух соседних членов остается постоянным. Первое отношение 4365 / 4087 = 1,068. Однако второе немного отличается: 4087 / 3767 = 1,085. Последовательность отношений выглядит так:
1,068, 1,085, 1,103, 1,245, 1,359, 1,237.
Это явно не одно и то же: числа даже не близки. Похоже, они растут (по крайней мере, до последнего члена), а это нарушает предполагаемый закон. Однако Фарр не был готов сдаться и отказаться от охоты за геометрической прогрессией. Что, если сами эти отношения (упорно непостоянные) растут геометрически? Это уже в каком-то смысле метауровень, поскольку мы спрашиваем, всегда ли одинаковы отношения отношений. Так ли это? Мы начинаем с 1,085 / 1,068 = 1,016 и получаем далее такой ряд:
1,016, 1,017, 1,129, 1,092, 0,910.
Честно скажу, что эта последовательность не кажется мне постоянной, но в то же время в ней нет явного убывания или возрастания, и для Фарра этого было достаточно. Чуть-чуть изменив ее, он смог построить последовательность:
4364, 4147, 3767, 3272, 2716, 2156, 1635,
которая вполне соответствовала данным о смертности от оспы, а отношения отношений в ней действительно были одинаковыми – 1,046. (Не кажется ли вам, что немножко корректировать числа подозрительно? На самом деле нет. Реальные данные запутанны и редко следуют – а когда дело касается людей, то я бы сказал «никогда» – какой-то определенной математической кривой с точностью до n-го знака.) И Фарр утверждал, что это правило 1,046 соответствует реальным данным достаточно хорошо для того, чтобы называться законом эпидемии.
Эта кривая показывает модель Фарра для эпидемии оспы, а точки – фактическое количество смертей для каждого месяца; построенная им плавная линия достаточно хорошо соответствует реальным данным.
Наверное, вы уже предположили, что должен был сделать Фарр с данными по чуме крупного рогатого скота. Однако, скорее всего, вы ошибаетесь! У Фарра были данные для первых четырех месяцев вспышки:
октябрь 1865: 9597;
ноябрь 1865: 18 817;
декабрь 1865: 33 835;
январь 1866: 47 191.
Он определил, что отношение между числом случаев заболевания для соседних месяцев равно 1,961, 1,798 и 1,395. Если бы это был «ужасный закон увеличения», о котором Лоу предупреждал парламент, то все эти числа были бы одинаковыми. На самом же деле они уменьшались, и это говорило Фарру о наличии некоторого ослабления. Тогда он взял отношения отношений:
1,961 / 1,798 = 1,091,
1,798 / 1,395 = 1,289,
но на этом не остановился. Эти отношения отношений не походили на константу: второе было заметно больше первого. Поэтому он нашел отношение отношений отношений:
1,289 / 1,091 = 1,182.
Единственное число 1,182 однозначно является постоянной последовательностью, поскольку тут всего одно число. И, как всегда уверенный в себе, Фарр заявил, что оно должно быть законом, который управляет всем: это отношение отношений отношений должно определять весь ход эпидемии чумы. Поскольку последнее отношение отношений равнялось 1,289, то следующее должно быть 1,289 × 1,182 ≈ 1,524. Это означает, что следующим в убывающей последовательности отношений после 1,961, 1,798, 1,395 будет число 1,395 / 1,524 ≈ 0,915. Другими словами, болезнь пойдет на убыль! Фарр пришел к выводу, что в феврале произойдет 0,915 × 47 191, то есть примерно 43 000 новых случаев.
Разрешаю вам ощутить некоторую щекотливость в рассуждениях Фарра. Почему он решил, что отношение отношений отношений останется в будущем постоянным числом 1,182? Я не берусь утверждать, что такое утверждение оправданно, но у него есть определенная логика. Позвольте мне начать с объяснения того, как я выиграл местное шоу талантов.
Каждый год в январе, в разгар студеной висконсинской зимы, в нашем районе проводится шоу талантов. Дети играют на скрипке, родители разыгрывают дурацкие скетчи. Я вычислял в уме квадратные корни, выступая под именем Великий Вычислитель Корней. И я победил! Трюку с вычислением квадратных корней в уме я научился в колледже. Его социальная полезность оказалась не такой большой, как я ожидал. Но я все равно вас ему научу.
Предположим, вас просят найти квадратный корень из 29. Чтобы трюк сработал, нужно хорошо знать квадраты, потому что у вас должно буквально соскальзывать с языка, что 5 в квадрате – это 25, а 6 в квадрате – 36. Рассмотрим теперь последовательность чисел
√25, √26, √27, √28, √29, √30, √31, √32, √33, √34, √35, √36.
Мы знаем только первый и последний из ее двенадцати членов; это 5 и 6. Нам нужно найти пятый член.
Предположим, что это арифметическая прогрессия. Хотя это не так, но давайте допустим. Великий Вычислитель Корней вам разрешает. Мы за 11 шагов переходим от 5 к 6; если все шаги одинаковы, то каждый шаг равен 1/11. Поэтому √29, который находится через четыре шага от 5, должен быть 54/11. О, я не забыл упомянуть, что еще нужно немножко уметь делить в уме? Возможно, вы знаете, что 1/11 – это примерно 0,09, так что 4/11 – это приблизительно 0,36; или вы можете прикинуть, что число 54/11 немного меньше, чем число 54/10, которое равно 5,4. В любом случае вы говорите: «Это где-то 5,3 с хвостиком, вероятно почти 5,4»[421]. (Истинное значение – примерно 5,385.)
Надеюсь, вы заметили принципиальное сходство с аргументацией Фарра, хотя мы использовали разности, а не отношения. Мы безосновательно (как и Фарр) решаем, что на самом деле все разности одинаковы, а затем, на основе имеющихся скудных данных, вычисляем разность нашей прогрессии. Это кажется неоправданным. Но ведь как-то работает!
Справедливо задаться вопросом: зачем я стал это делать (если не считать моей внутренней потребности превзойти соседского ребенка, который научился играть песню Free Fallin’)? Неужели я не мог просто нажать кнопку квадратного корня на своем калькуляторе? Мог. Но Уильям Фарр не мог. И астрономы VII века тоже не могли. Вот как далеко в прошлое уходит эта идея. Чтобы следить за движениями небесных тел, нужны значения тригонометрических функций; эти значения сохранялись в огромных таблицах, составленных с колоссальными затратами сил и времени. Для этих таблиц требовалась более высокая точность, чем может обеспечить мой фокус с квадратными корнями. Примерно в 600 году[422] возникла одна новая идея – у астронома и математика Брахмагупты из индийской исторической области Гурджарадеша и китайского астронома и создателя календаря Лю Чжо, жившего во времена династии Суй.
Нам незачем вдаваться в детали календаря империи, поэтому я для объяснения их метода ограничусь примером с квадратным корнем. С точки зрения арифметики это самая суровая часть во всей теме, так что предполагается, что вы не сможете проделывать это в уме на вечеринке в колледже, попивая пивко.
Чтобы применить подход Брахмагупты – Лю, понадобятся три квадратных корня, а не два: например: √16 = 4, √25 = 5, √36 = 6. От √16 до √36, то есть от 4 до 6 – двадцать шагов, поэтому если вы последуете рецепту Великого Вычислителя и предположите, что корни будут образовывать арифметическую прогрессию, то расстояние между ее членами будет 2/20. Я говорил вам, что это не совсем так, и вот доказательство: если бы эта последовательность была арифметической прогрессией, то √25 (девять шагов от √16) был бы 4,9, а он на самом деле равен 5.
Вот способ поправить дело. Только что мы убедились: нельзя настаивать на том, что квадратные корни образуют арифметическую прогрессию, если у нас есть какие-то три числа; иными словами, мы не можем считать все получающиеся разности одинаковыми.
Следующее предположение: пусть тогда эти разности сами образуют арифметическую прогрессию, то есть чтобы одинаковыми были разности между разностями! Но это в точности идея Фарра об отношениях отношений.
√16, √17, √18, √19, √20, √21, √22, √23, √24, √25, √26, √27, √28, √29, √30, √31, √32, √33, √34, √35, √36
????????????????????
Итак, чтобы это сработало, нам нужна во второй строке арифметическая прогрессия из двадцати чисел, сумма которых равна 2 (она будет убывать, потому что расстояния между корнями становятся все меньше и меньше); однако при этом сумма первых девяти чисел должна составлять 1, потому что они ведут от √16 = 4 до √25 = 5. Оказывается, существует всего одна подходящая прогрессия. Вот удобный способ ее найти.