Поскольку первые девять членов в сумме дают 1, то их среднее равно 1/9. Однако среднее в арифметической прогрессии с нечетным числом членов – это ее средний член, в нашем случае пятый, поэтому он равен 1/9.
С другой стороны, сумма последних одиннадцати членов тоже равна 1, поэтому их среднее составляет 1/11. Значит, их средний член (то есть пятнадцатый во всей последовательности) равен 1/11.
√16, √17, √18, √19, √20, √21, √22, √23, √24, √25, √26, √27, √28, √29, √30, √31, √32, √33, √34, √35, √36
???? 1/9????????? 1/11?????
И этого достаточно, чтобы восстановить всю прогрессию! От пятого члена до пятнадцатого – десять шагов, и при этом нам надо преодолеть расстояние от 1/9 до 1/11, то есть 2/99. Следовательно, каждый шаг равен 2/990. Это означает, что первая разность, которая на четыре шага больше, чем 1/9, равна 1/9 + 8/990 = 118/990, а последняя, которая на пять шагов меньше, чем 1/11, составляет 1/11 – 10/990 = 80/990[423].
√16, √17 ………………………………………. √35, √36
118/990 ………………………………. 80/990
………..1/9 …………………..1/11 ……….
Так чему же равен √29 в соответствии с последними достижениями астрономии VII века? Чтобы дойти от √16 до √29, нужно сложить первые тринадцать разностей:
118/990 + 116/990 + 114/990 + … + 94/990
и добавить их к 4. Вы получите 4 + 1378/990, то есть примерно 5,392. Это приблизительно втрое точнее нашей первой оценки 54/11.
Метод последовательных разностей попал из Индии в арабский мир, а затем несколько раз был переоткрыт в Англии, в первую очередь Генри Бригсом. В 1624 году он опубликовал работу «Арифметика логарифмов» – таблицы логарифмов для тридцати тысяч чисел с точностью до четырнадцати знаков. (Бригс был первым профессором геометрии в Грешем-колледже – та самая должность, которую позже занимал Карл Пирсон, знакомивший своих слушателей со статистикой.) Как и многое другое в европейской математике XVII века, этот метод был формализован и усовершенствован Ньютоном, так что в итоге мы его называем интерполяционным методом Ньютона. В сочинениях Фарра нет никаких свидетельств, что он знал что-нибудь об этой истории. Хорошие идеи в математике часто возникают естественным образом, когда реальные проблемы мира создают потребность в их появлении.
Работа Бригса не исчерпала проблему логарифмов. Таблицы – вещь конечная, и всегда может оказаться, что вам нужен логарифм какого-то числа, лежащего между числами, включенными в «Арифметику логарифмов». Гениальность метода разностей состоит в том, что он позволяет получать оценки для весьма сложных функций, например косинусов и логарифмов, используя только операции сложения, вычитания, умножения и деления, поэтому при необходимости вы всегда можете заполнить пробелы между числами, указанными в книге. Однако, как демонстрирует пример с квадратными корнями, вам придется много складывать, вычитать, умножать и делить – и это при том, что вы изучаете всего лишь разности разностей! Чтобы получить еще лучшее приближение, вам могут понадобиться разности разностей разностей или даже разности этих тройных разностей, а то и дальше, пока у вас не закружится голова.
Вам не захочется делать это вручную. Возможно, вам понадобится какой-то механический вычислитель, который будет считать эти разности вместо вас. Это приводит нас к Чарльзу Бэббиджу, который был очарован автоматами с самого детства, когда «человек, назвавший себя Мерлином»[424] позволил мальчику войти к себе в мастерскую и показал свое самое гениальное механическое творение. Позже Бэббидж вспоминал: «Восхитительная танцовщица[425] с птицей на указательном пальце правой руки, которая вертела хвостом, хлопала крыльями, открывала клюв. Эта дама принимала удивительно очаровательные позы. Ее глаза были полны воображения и совершенно неотразимы».
В 1813 году Бэббиджу исполнился 21 год и он изучал математику в Кембридже. Вместе со своим другом Джоном Гершелем (который превзошел Бэббиджа в исследованиях и позднее изобрел цианотипию, которая стала использоваться для получения светокопий) он основал математическое общество – своеобразную пародию на множество студенческих обществ, горячо споривших о правильном толковании Писания. Задачей их общества было возвысить систему математических обозначений Лейбница над системой, которой пользовался местный герой – Ньютон. Это аналитическое общество быстро переросло свое сатирическое происхождение и превратилось в настоящий интеллектуальный салон, нацеленный на перенос новых идей из Франции и Германии в страну, которая после Ньютона стала чем-то вроде математического захолустья.
«Однажды вечером[426], – вспоминает Бэббидж в мемуарах, – я сидел в комнатах аналитического общества в Кембридже, склонив голову в каком-то мечтательном настроении над лежавшей передо мной открытой таблицей логарифмов. Другой член общества, войдя в комнату и увидев полусонного меня, воскликнул: “Бэббидж, о чем грезишь?” – на что я ответил: “О том, что все эти таблицы (указав на логарифмы) могут вычислять машины”».
Бэббидж, как и его вдохновитель Мерлин, быстро превратил мечту в медь и дерево. Его машина, которую теперь считают первым механическим компьютером, умела вычислять логарифмы с помощью метода разностей, поэтому он и назвал ее «Разностной машиной».
Существует одно огромное различие между работой Великого Вычислителя Корней и работой Фарра. Когда мы оценивали квадратные корни, мы находили значения, лежащие между уже известными нам корнями, – такой процесс называется интерполяцией. Фарр, используя известные данные по числу больных коров, пытался экстраполировать – оценивать значение функции в будущем, за пределами диапазона имеющихся данных. Экстраполяция сложна и имеет много подводных камней[427]. Представьте, что произойдет, если с помощью нашего вечериночного трюка мы возьмемся оценивать корень из 49, то есть из числа, которое больше тех двух чисел, что мы использовали в качестве исходных данных. Как вы помните, наша приближенная оценка состояла в том, что корень увеличивается на 1/11 каждый раз, когда число растет на 1. Поскольку 49 превосходит 25 на 24, то корень из него должен быть на 24/11 больше, чем 5, или примерно 7,18. Истинное значение равно 7. А как насчет 100? Оно больше 25 на 75, так что корень из 100 должен быть 5 + 75/11 ≈ 11,82. Настоящее значение 10. Теперь этот трюк плохо пахнет!
Вот в чем опасность экстраполяции. Она становится менее надежной, когда вы отходите от известных данных, на которых строятся ваши разности. И чем глубже вы погружаетесь в разности разностей разностей, тем страннее становятся экстраполяции.
Именно это произошло с Кевином Хассеттом. Хотя он не изучал эпидемиологию XIX века, использованный им метод «кубической экстраполяции» основывался на том же эвристическом рассуждении[428], которое применял Уильям Фарр для моделирования чумы. Его модель предполагала, что отношение между отношениями между отношениями последовательных данных останется постоянным на протяжении всей эпидемии. (Вам не нужно читать старинные статьи по истории медицины для реализации этой стратегии, сегодня достаточно нажать несколько клавиш в Excel.) Кривая Хассетта примерно соответствовала ходу эпидемии в прошлом – смертность от COVID-19 в США действительно достигла пика как минимум в краткосрочной перспективе, – однако он существенно ошибался относительно устойчивости эпидемии при экстраполяции этих данных на будущее.
Наивная экстраполяция может также увести вас далеко от истины в пессимистическом направлении. Джастин Вольферс, экономист из Мичиганского университета, назвавший модель Хассетта ПОЛНЫМ БЕЗУМИЕМ (прописные буквы его), всего месяцем ранее писал: «Спроецируйте кривую для США всего на 7 дней, и у вас в общей сложности получится 10 000 смертей. Сдвиньтесь еще на неделю – и у вас будет 10 000 смертей в день»[429]. Вольферс экстраполировал еще более простым методом, чем Хассетт, прогнозируя смертность с помощью обычной геометрической прогрессии. И результаты показывают, насколько быстро экстраполяция может отказать. В США действительно умерло 10 000 человек через неделю после прогноза Вольферса, однако после следующей недели уровень смертности достиг весеннего пика в 2000 смертей в день, что в пять раз меньше числа, полученного Вольферсом путем слепой экстраполяции.
Когда я объяснял доводы Фарра своему сыну-подростку, тот спросил: «Папа, а почему Фарр не подождал конца февраля, который все равно уже наполовину прошел, и не получил еще одну точку данных? Тогда у него было бы два отношения отношений отношений вместо одного и, соответственно, более прочная основа для подтверждения его величины 1,182 в качестве закона увеличения».
Хороший вопрос, сын! Лучшее объяснение, что мне приходит в голову, – выбор Фарра был победой чувств над разумом. Фарр полагал, что цифры следующего месяца покажут пик эпидемии, и, будучи гордым человеком, хотел предсказать этот пик до того, как он наступит, а не после.