Мое любимое свойство золотого сечения привлекает относительно немного внимания, так что у меня есть шанс известить вас о нем! Причина, по которой я вынужден писать φ = 1,618… с раздражающим многоточием, – то, что это число иррациональное; вы не можете выразить его в виде отношения двух целых чисел, а это означает, что вы не можете записать золотое сечение в виде конечной десятичной дроби или даже периодической десятичной дроби вроде 1/7 = 0,142857142857142857…
Но это не значит, что нет рациональных чисел, достаточно близких к нему. Конечно же, они есть! В конце концов, десятичное разложение числа – это способ записать дроби, близкие к нему:
16/10 = 1,6 (довольно близко);
161/100 = 1,61 (ближе);
1618/1000 = 1,618 (еще ближе).
Десятичное разложение дает вам дробь со знаменателем 1000, которая отличается от золотого сечения не более чем на 1/1000[448]; если взять дробь со знаменателем 10 000, то мы получим точность в пределах 1/10 000 и так далее.
Однако есть способ лучше, чем применение десятичных дробей! Вспомните, что отношения между соседними числами Фибоначчи – это тоже дроби, которые стремятся к золотому сечению:
8/5 = 1,6;
13/8 = 1,625;
21/13 ≈ 1,615.
Забравшись далеко в последовательности, вы получите число
233/144 = 1,6180555555…
которое всего лишь на 2/100 000 отличается от золотого сечения, и это существенно лучше, чем 1618/1000, хотя знаменатель 144 нашей дроби и меньше 1000. По сути, разница меньше сотой часть дроби 1/144.
Некоторые знаменитые иррациональные числа можно аппроксимировать еще точнее. Цзу Чунчжи, астроном V века[449] из Нанкина, заметил, что простая дробь 355/113 невероятно близка к π – с точностью до двух десятимиллионных. Ученый назвал это число «милю» – «очень близкое отношение». Книга Цзу с математическими методами утеряна, а потому мы не знаем, как он придумал это приближение. Однако это не самая очевидная вещь: пройдет еще тысяча лет, прежде чем такое приближение заново откроют в Индии, еще через сто оно станет известно в Европе, и еще через столетие будет окончательно доказано, что на самом деле π иррационально.
Насколько точно можно приближать иррациональные числа к рациональным? Это арифметическая задача, но лучше всего думать о ней геометрически. Для этого есть изумительный трюк, придуманный в начале XIX века немецким математиком Петером Густавом Лежён Дирихле. Мы нашли дробь 233/144, расстояние от которой до числа φ составляет меньше сотой доли от 144. Можно ли найти какую-нибудь дробь p/q, расстояние от которой до числа φ будет составлять менее тысячной доли от знаменателя q? Можно, и доказательство Дирихле для этого факта настолько простое, что я не могу вам его не показать[450]. Нарисуйте отрезок числовой прямой от 0 до 1 и разделите его на тысячу равных частей-отделений. Я не могу нарисовать тысячу равных частей, так что просто вообразите их.
Теперь начинаем выписывать кратные для числа φ:
φ = 1,618…
и отмечать на числовой прямой дробную часть каждого из этих чисел – ту часть, которая идет после десятичной запятой. Если я нарисую дробные части первых трехсот кратных для числа φ в виде вертикальных линий ради лучшей заметности, то у меня получится своеобразный штрихкод.
Каждая из этих линий попала в одно из тысячи отделений. Само золотое сечение находится в 619-м отделении. (Не в 618-м – по той же причине, по которой мы сейчас живем в XXI веке, хотя номер года начинается с 20; первое отделение соответствует числам между 0,000 и 0,001, второе – числам между 0,001 и 0,002 и так далее.) Следующее кратное 2φ попадет в отделение номер 237, 3φ – в отделение номер 855. Продолжайте раскладывать числа по отделениям. Если какое-то из этих кратных окажется в первом отделении, мы выиграем, потому что в этом случае какое-то число qφ будет иметь дробную часть от 0 до 0,001. Это значит, что разница между qφ и каким-то целым числом p составляет не более 0,001, а потому после деления обоих чисел на q получаем, что разница между φ и дробью p/q составляет не более одной тысячной от 1/q.
Но почему какое-то кратное должно попасть в первое отделение? Может быть, подобно фишке в игре «Монополия», никак не желающей попадать на нужное нам поле, кратные будут обходить это отделение?
Вот тут и появляется замечательная идея Дирихле. Сам математик называл ее «принципом выдвижных ящиков» (Schubfachprinzip), а в англоязычных странах называют «принципом голубей и ящиков»[451]. Он гласит: если вы рассаживаете голубей по ящикам и количество голубей больше, чем ящиков, то как минимум в одном ящике окажется два голубя.
Это утверждение настолько очевидно, что трудно поверить в его полезность. Иногда такое случается с самой глубокой математикой.
В нашем случае голуби – это числа, кратные φ, а ящики – это тысяча отделений. Если мы возьмем 1001 число, кратное φ, то как минимум два из них попадут в одно отделение. Предположим, в одном отделении окажутся 238φ и 576φ. На самом деле это не так (эта пара чисел находится в отделениях 93 и 988 соответственно), но допустим, что так. Тогда разность между ними должна быть не более 1/1000 от какого-то целого числа. Назовем его p. Однако эта разность составляет 338φ. Следовательно, число 338φ должно оказаться в первом отделении или, честно говоря, в самом последнем отделении, заканчивающемся числом 0,999… (числа там тоже отличаются от целого не больше чем на 1/1000). В любом случае p/338 – это наше требуемое приближение.
Не имеет значения, какие именно два кратных числа φ окажутся в одном отделении; любая пара даст дробь, достаточно близкую к φ. На самом деле первые голуби, оказывающиеся в одном ящике, – это числа φ и 611φ = 988,6187…; оба попадают в отделение 619. Их разность равна 610φ, то есть примерно 987,0007, и поэтому 987/610 – действительно хорошее приближение для φ. Вы не удивитесь, узнав, что 610 и 987 являются последовательными членами последовательности Фибоначчи, идущими как раз после того места, где мы остановились в вычислениях.
В числе 1000 нет ничего принципиального. Если вы желаете найти рациональное число p/q, которое отличается от φ менее чем на миллионную долю 1/q, то можете добиться и этого, хотя, возможно, число q будет равняться почти миллиону.
Разность между «близким отношением» Цзу Чунчжи 355/113 и π составляет всего одну тридцатитысячную от 1/113. Что касается метода Петера Густава Лежёна Дирихле, то вам, возможно, придется искать дроби со знаменателем едва ли не в 30 000, чтобы найти такое же хорошее приближение. Однако на самом деле этого не потребуется! Число «милю» – это не просто хорошее приближение для π, а потрясающе хорошее приближение.
Давайте посмотрим, как это выглядит на числовой прямой. Если я посмотрю на первые триста кратных числа 1/7 и отмечу их дробные части вертикальным штрихом, как делал для числа φ, то получу такую картинку. На ней всего семь линий, поскольку, на какое число ни умножай 1/7, я получу какое-то количество седьмых, дробная часть которых будет 0, 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7 или 6/7.
То же самое верно и для любого рационального числа; мы можем брать сколь угодно кратных, однако линии будут образовывать конечный набор, равномерно распределенный между 0 и 1.
А что насчет π? Вот дробные части для трехсот первых кратных.
Здесь штрихов много. Но не триста. Если бы вы сосчитали видимые линии, то увидели бы, что их ровно 113. Вы видите тут подпись числа «милю». Поскольку π очень близко к 355/113, то его первые триста кратных тоже близки к какому-то количеству «сто тринадцатых», а это означает, что штрихи останутся очень близкими к числам 0, 1/113, 2/113 (представьте, что я здесь написал все 113 вариантов), 112/113. Поскольку π не точно равно 355/113, то его кратные не точно попадут в места этих дробей: более толстые линии на рисунке – на самом деле несколько линий, слившихся вместе.
Это возвращает нас к золотому сечению. Штрихкод для числа φ, который я уже рисовал выше, распределен равномернее, без кластеров, как у линий числа р. Нарисуйте тысячу кратных – и получите то же самое, только линий будет больше.
Сколько бы кратных числа φ мы ни брали – тысячу, миллиард или больше, – эти линии никогда не окажутся в каком-то маленьком множестве равномерных положений, как это было в случае рациональных чисел, и даже не сконцентрируются около таких положений, как в случае с числом р. Здесь нет своего числа «милю».
Вот красивый факт, который несколько сложноват для того, чтобы привести здесь его доказательство: вы не найдете лучших рациональных приближений для φ, чем те, которые дает последовательность Фибоначчи, и эти приближения никогда не будут существенно лучше тех, что гарантирует теорема Дирихле. Фактически в каком-то смысле (этому утверждению можно придать строгость, но не здесь) из всех вещественных чисел φ хуже всего аппроксимируется дробями; это